Перекраивание многоугольников: мозаики

По материалам сайта «Математические этюды»
«Квантик» №7, 2025

В задачах на разрезание иногда требуется разрезать данную плоскую фигуру на несколько частей и сложить из них другую данную фигуру. А как понять, когда такое разрезание вообще возможно? Как минимум, должны быть равны площади фигур. Но есть ли ещё какие-то требования? Оказывается, если обе фигуры — многоугольники, ответ давно известен математикам. Замечательная теорема Бойяи — Гервина утверждает, что в этом случае других требований нет: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то первый можно перекроить во второй.¹

А как найти нужное разрезание? И можно ли обойтись небольшим количеством частей? Теорема Бойяи — Гервина этого не объясняет. При этом мы знаем много красивых примеров конкретных разрезаний.

Так, чтобы перекроить равносторонний треугольник в квадрат, достаточно 4 частей (рис. 1) — это разбиение опубликовал в начале XX века известный популяризатор и математик Генри Дьюдени (см. также сюжет «Разбиение Дьюдени» на сайте «Математические этюды»). Недавно было доказано, что меньшим числом частей обойтись нельзя.

A чтобы перекроить правильный восьмиугольник в квадрат той же площади, хватит 5 «несложных частей» (рис. 2). Это разбиение стало популярным в первой половине XX века, когда Дьюдени опубликовал работу кембриджского профессора Джеффри Томаса Беннетта.

Но как такое разрезание можно было бы придумать? Есть две известные мозаики: можно замостить плоскость правильными восьмиугольниками и маленькими квадратами, а можно — квадратами двух размеров. Оказывается, если наложить эти мозаики одну на другую, как на рисунке 3, — сразу видно нужное разрезание! (Маленькие квадраты в мозаиках одного размера, восьмиугольник первой мозаики имеет такую же площадь, как большой квадрат второй.)

Такой приём помогает при решении разных задач на разрезание. Мы уже видели это в заметке Н. Авилова «Ступенчатый крест» в этом номере. Другой пример см. в заметке Г. Мерзона «Как разрезать верблюда» в «Квантике» №5 за 2020 год. Там обсуждается и то, как при помощи замощения квадратами двух размеров доказать теорему Пифагора. Наконец, и перекраивание правильного треугольника в квадрат, с которого мы начинали, можно увидеть, наложив одну мозаику на другую (рис. 4).

Много других красивых примеров и более подробное обсуждение применений мозаик к задачам на разрезание можно найти в книге Гарри Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание». Но, конечно, мозаики помогают не всегда, да и малым количеством частей при перекраивании одной фигуры в другую не всегда получается обойтись.

Иллюстрации: «Математические этюды»

---

¹ Доказательство можно прочитать в брошюре В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные фигуры» (см. также книгу: С. Л. Табачников, Д. Б. Фукс. Математический дивертисмент. М.: МЦНМО, 2011).