Задачи о часах
Алексей Заславский
«Квантик» №2, 2025
Сейчас уже не каждый знаком с часами со стрелками, хотя ещё недавно они были повсеместно распространены и послужили поводом для многих интересных математических задач — например, сколько раз в сутки совпадают часовая и минутная стрелки и т. п.
В таких часах секундная стрелка совершает полный оборот за одну минуту, минутная — за один час, а часовая — за 12 часов. Поэтому, например, все три стрелки совпадают в полночь и в полдень. А есть ли между полуночью и полуднем ещё моменты, когда все три стрелки совпадают? А если нет, то могут ли они совпасть с небольшой погрешностью?
В этой статье мы ответим на этот вопрос, решив задачу 1.
Задача 1. Докажите, что в любой момент времени между 00:00:00,1 и 11:59:59,9 какие-то две стрелки часов образуют угол, больший 0,5°.
Поскольку сразу решить задачу 1 довольно сложно, разберём несколько задач попроще. Начнём с часов, имеющих только две стрелки.
Задача 2. Сколько раз строго между полуднем и полуночью совпадают минутная и часовая стрелки?
Ответ: 10 раз.
Решение. Чтобы стрелки совпали, минутная стрелка должна пройти на целое число оборотов больше часовой. Пусть доля полного оборота, пройденная часовой стрелкой, равна x (где 0 < x < 1). Тогда минутная стрелка прошла 12x, следовательно, 11x — целое число. Значит, x = k/11, где k = 1, ..., 10 (значения k = 0 и k = 11, соответствующие полудню и полуночи, мы не считаем).
Задача 3. Рассеянный часовщик сделал часы с двумя одинаковыми стрелками. Сколько раз между полуднем и полуночью по этим часам нельзя определить время?
Ответ: 132 раза.
Решение. Время нельзя определить в те моменты, когда возможно поменять стрелки местами. Как и в предыдущей задаче, обозначим долю полного оборота, пройденную часовой стрелкой, через x. Тогда минутная стрелка прошла 12x. Когда часовая стрелка находится в положении минутной, пройденный ею путь равен 12x – n, где n — какое-то целое число оборотов. Поэтому путь, пройденный минутной стрелкой, равен 144x – 12n и отличается от x на целое число оборотов. Следовательно, x = k/143, где k = 1, ..., 142. Но 10 моментов, когда стрелки совпадают, надо исключить, поскольку в эти моменты время определяется однозначно.
Дополним теперь часы секундной стрелкой и решим аналог задачи 2.
Задача 4. Сколько раз строго между полуднем и полуночью совпадут все три стрелки?
Ответ: ни разу.
Решение. Как мы знаем, минутная и часовая стрелки совпадают, когда путь, пройденный часовой стрелкой, составляет k/11 полного оборота. Аналогично, для совпадения часовой и секундной стрелок этот путь составляет m/719 полного оборота, где m = 1, ..., 718. Приравнивая эти выражения, получаем, что 719k = 11m. Поскольку числа 11 и 719 простые, это равенство возможно, только если k кратно 11 и m кратно 719, то есть совпадение будет лишь в полдень и в полночь.
Теперь, наконец, можно приступить к решению задачи 1. Прежде всего отметим, что за 0,1 секунды секундная стрелка проходит угол, равный 0,6°, а часовая — в 720 раз меньше. Поэтому в 00:00:00,1 и 11:59:59,9 угол между этими стрелками будет больше, чем 0,5°.
Далее, покажем, что для любого момента времени, когда секундная и часовая стрелки не совпадают, найдётся момент, когда секундная стрелка совпадает с часовой, а максимальный угол между стрелками меньше. Действительно, рассмотрим какой-то момент, когда секундная стрелка догоняет часовую. Если минутная стрелка в этот момент находится позади секундной, то угол между ней и часовой уменьшается. А если минутная стрелка находится впереди часовой, то уменьшается угол между ней и секундной. Аналогично, если секундная стрелка уже обогнала часовую, то угол между минутной и какой-то другой стрелкой за время, прошедшее с момента совпадения, увеличится.
Таким образом, достаточно доказать утверждение задачи для моментов совпадения секундной и часовой стрелок. Как мы знаем, в эти моменты доля полного оборота, пройденная часовой стрелкой, равна k/719. Значит, минутная стрелка прошла 12k/719, а поскольку она не совпадает с часовой, они образуют угол, не меньший 1/719 полного оборота, что больше, чем 0,5°.
* * *
В заключение приведём ещё несколько интересных задач о часах. Надеемся, что теперь они не будут слишком сложными для читателей.
Задача 5. Известен следующий способ определять стороны горизонта по часам и солнцу: надо направить часовую стрелку на солнце, и тогда прямая, делящая пополам угол между часовой стрелкой и положением «1 час» на часах, укажет на юг. В чём секрет этого способа? В какое время года его лучше применять? В каких широтах он даст более точные результаты? Как быть, если часы электронные? А как определить время по солнцу и компасу?
Решение
В России используется декретное время, отличающееся от астрономического на 1 час. Поэтому примерно в 13 часов солнце находится на юге. Если бы часовая стрелка делала за сутки один оборот, то, направив её на солнце, мы получили бы, что направление на юг соответствует делению «1 час». Поскольку часовая стрелка вращается вдвое быстрее, угол между ней и этим делением надо поделить пополам. Надёжнее всего этот способ работает летом в умеренных широтах северного полушария.
Задача 6. После того как Мартовский Заяц уронил часы в чай, у них изменилась скорость вращения секундной стрелки. В результате, кроме полудня и полуночи, все три стрелки стали совпадать и в некоторые другие моменты. Сколько всего в сутках таких моментов?
Решение
Ответ: 20.
Моменты совпадения минутной и часовой стрелок делят циферблат на 11 равных частей. Пусть в какой-то из этих моментов, через время t после полудня, секундная стрелка тоже совпала с ними. Тогда через время t после этого момента стрелки опять совпадут, так как каждая повернётся на такой же угол. Поэтому моменты совпадения делят циферблат на k равных частей, причём 11 делится на k. Так как число 11 простое, k = 11. Значит, стрелки совпадут 10 раз между полуночью и полуднем и столько же раз между полуднем и полуночью.
Задача 7. У часов, изображённых на рисунке, неизвестно, где верх, где низ и где какая стрелка. Зато известно, что часы показывают правильное время. Какое?
Решение
Ответ: 4 ч 50 мин.
Когда часовая стрелка показывает на часовое деление, две другие стрелки показывают на «12». Значит, на рисунке часовой будет единственная стрелка, не показывающая на деление. Из двух других стрелок секундная показывает на «12», значит минутная показывает либо на «2», либо на «10». По положению часовой видим, что имеет место второй случай. Тогда часовая стрелка находится между делениями «4» и «5», откуда получаем ответ.
Задача 8. Муха в полночь села на секундную стрелку часов и до полудня каталась на стрелках, пересаживаясь с одной на другую при каждом обгоне одной стрелки другой. Сколько кругов по циферблату она сделала и на какой стрелке оказалась в полдень?
Решение
Ответ: 245.
Посадим по мухе на две другие стрелки, чтобы они ехали по тем же правилам. При встрече двух стрелок сидящие на них мухи меняются местами и, значит, не обгоняют друг друга. Поэтому количества кругов, сделанных любыми двумя мухами, отличаются не больше, чем на 1. Но суммарное число кругов равно суммарному числу оборотов, сделанных тремя стрелками, то есть 720 + 12 + 1. Значит, передняя муха сделает 245 кругов, а две другие — по 244.
Задача 9. Как с помощью двух часов измерить высоту дома?
Решение
Сбросить одни часы с крыши и определить по другим время падения.
Художник Алексей Вайнер