Две большие разницы

Игорь Акулич
«Квантик» №5, 2020

— А сегодня, Даня, у тебя вид недовольный... Какая тут причина, и где же корень зла?

— Не знаешь где? Ты, Федя, и есть этот самый корень!

— Я?

— Конечно. Предлагаешь задачи, даешь к ним неверные решения, я тебе верю, а потом оказывается — всё не так!

— Что за обвинения? Конкретику давай!

— Пожалуйста. Вот та самая задача^*:

В некоторый момент времени относительная скорость движения концов часовой и минутной стрелок (то есть скорость, с которой меняется расстояние между концами стрелок) оказалась равной 6 мм/с. Может ли она в какой-то другой момент оказаться равной 5 мм/с?

А вот и твоё решение. В нём мы исходим из того, что:

— угловая скорость вращения часовой стрелки в 12 раз меньше, чем минутной;

— часовая стрелка всегда короче минутной.

Следовательно, если скорость движения конца минутной стрелки равна \(v\), то скорость движения конца часовой стрелки заведомо меньше \(\frac{1}{12}v\). Поэтому относительная скорость концов стрелок лежит в пределах от \(\frac{11}{12}v\) до \(\frac{13}{12}v\), и отношение относительных скоростей в любые два момента времени больше \(\frac{11}{13}\), но меньше \(\frac{13}{11}\). А так как \(\frac{5}{6} < \frac{11}{13}\), то относительная скорость не может составить 5 мм/с.

— По-моему, безупречно.

— Как бы не так! Ведь что такое относительная скорость двух движущихся точек? Как известно, чтобы её определить, надо связать систему отсчёта с одной из точек (как бы сделать её «неподвижной»), и тогда скорость второй точки в этой системе отсчёта как раз будет той самой относительной скоростью движения точек. Верно?

— Верно.

— А ты что в условии написал? Посмотри — в скобках! По твоему мнению, относительная скорость есть скорость, с которой меняется расстояние между концами стрелок. А это, как говорят в Одессе, две большие разницы!

— Неужели?

— Вот именно! Приведу простой пример. Рассмотрим на часах одну стрелку длиной r, которая вращается с угловой скоростью ω. Какова скорость движения конца стрелки относительно оси вращения?

— Понятно, какая: ωr.

— Но ведь расстояние между осью вращения и концом стрелки постоянно. Поэтому скорость изменения этого расстояния равна нулю — это и будет относительная скорость согласно твоему определению!

— ???

— Ага, рот раскрыл! Вот так и оставайся, поделом тебе.

— Да, похоже, ты прав... Скорость изменения расстояния — это не совсем то, что принято считать относительной скоростью.

— Совсем не то! И если уж в условии тебя угораздило дать иное определение относительной скорости (в твою честь уместно назвать её Ф-скоростью), то и решение должно соответствовать именно ему. А у тебя не соответствует! Так что надо искать верное решение — другого выхода нет.

— Может, поищем?

— Об этом я как раз и думаю. Но что-то пока не выходит. Оттого-то и грусть-тоска меня съедает.

— Погоди-ка, по-моему, всё не так сложно. Когда стрелки направлены в одну сторону, с какой скоростью меняется расстояние?

— Не знаю. Если Ф-скорость ненулевая, то расстояние в данный момент или возрастает, или убывает.

— Точно! Но когда стрелки направлены одинаково, расстояние между их концами наименьшее возможное. Чуть позже и чуть раньше расстояние больше, а значит, ни убывать, ни возрастать не может.

— Значит, Ф-скорость в этот момент — ноль?

— Да. И потому в процессе плавного перехода от 6 мм/с к нулю обязательно наступит момент, когда она примет и промежуточное значение 5 мм/с! Ведь не может же она, непрерывно меняясь, через него «перепрыгнуть»!

— Получается, ответ в задаче противоположный: «может»!

— Конечно, так оно и есть. Сожалею, что я тебя ввёл в заблуждение, но повинную голову меч не сечёт — тут топор нужен. С другой стороны, возникает вопрос: при каком угле между стрелками достигается максимальная возможная Ф-скорость, если заданы длины стрелок r и R...

— ...и угловая скорость часовой стрелки ω!

— А вот это, полагаю, задавать не надо. Мы ведь и так знаем, что минутная стрелка проходит один оборот за час, так что значение ω легко вычисляется.

— Верно. Ну, что — подумаем?

— Подумаем!

Художник Мария Усеинова

^* См. статью «Федя, Даня и Кэрролл» из 12-го номера «Квантика» за 2016 год.