Сколько будет совпадений?

Игорь Акулич
«Квантик»№1, 2024

— Марь-Иванна¹, а можно вас спросить?

— Что поделать, спрашивай.

— Мне тут попалась старая фантастическая книга...

— Какого автора?

— Э... забыл, как фамилия... Похоже на «Брэд»... Брэд Питт, что ли?

— Может, Брэдбери?

— Точно, Брэдбери! Так у него там в заглавии температура указана в каких-то градусах по Фаренгейту! Это сколько по-нормальному-то будет?

— Что значит «по-нормальному»?

— Ну, в наших градусах, которыми все нормальные люди пользуются.

— Не будем делить людей на нормальных и ненормальных по термометрам, которыми они пользуются. Да, сейчас в большинстве стран в быту применяется шкала Цельсия — по фамилии шведского учёного, предложившего её в середине XVIII в. Он взял две «опорные точки» — температуры плавления льда и кипения воды при так называемом нормальном давлении — и «расстояние» между ними поделил на 100 равных частей. Каждая часть и есть привычный нам градус Цельсия (обозначается так: °С). Кстати, поначалу Цельсий принял за 0 температуру кипения, а температуру плавления — за 100. Пришлось потом переворачивать. А вот немецкий учёный Фаренгейт предложил свою шкалу несколько раньше, и, по-видимому, ставил другую цель — сделать её максимально «бытовой».

— Это как?

— Чтобы в пределах от 0 до 100 градусов лежали температуры, которые нам чаще всего встречаются в жизни, и чтобы отрицательными приходилось пользоваться пореже. Потому он принял за 0 температуру плавления смеси снега и нашатыря (хлорида аммония). Это примерно –18 °С — приличный мороз, холоднее бывает нечасто! А нормальная температура человеческого тела соответствует 98 градусам по Фаренгейту.

— Ну и число! Почему именно столько?

— Есть разные версии. Возможно, он просто ошибся при измерениях, а потом решил уже ничего не менять. Поначалу вроде бы планировалось, чтобы нормальная температура тела соответствовала 100 градусам, но... что вышло, то вышло². Во всяком случае, шкала Фаренгейта оказалась довольно живучей и по сей день используется в некоторых странах — скажем, в США. Градус Фаренгейта обозначается так: °F. Соотношение же между двумя шкалами таково: 0 и 100 °С — это соответственно 32 и 212 °F. Зная эти значения, легко переведёшь любую температуру из одной шкалы в другую. Составишь соответствующую формулу?

— Ну-ка, попробую! Диапазон от плавления до кипения по Цельсию — 100 градусов, а по Фаренгейту получается 212 — 32 = 180 градусов. Значит, один градус Цельсия — это \(\frac{180}{100}\) = 1,8 градуса Фаренгейта. Ну, и ещё сдвиг на 32 градуса. Выходит, если температуры по Цельсию и Фаренгейту обозначить через T_C и T_F, то они связаны между собой так:

T_F = 32 + 1,8T_C

— Верно! Между прочим, в своё время было предложено немало иных температурных шкал. Например, несколько раньше свою температурную шкалу разработал великий Исаак Ньютон. За ноль он принял опять-таки температуру плавления льда, а нормальную температуру человеческого тела (подобно Фаренгейту) приравнял к 12 градусам. Почему именно к двенадцати? Видимо, потому что это — дюжина, вовсю тогда применявшаяся при счёте. Например, в шиллинге было 12 пенсов. Опять же, имеет много удобных делителей: 2, 3, 4... Градус Ньютона, естественно, обозначают так: °N. И температура кипения воды равна 33 °N. Напиши-ка по-быстрому формулу связи между температурами Ньютона и Цельсия.

— Легко! Тут = 0,33 и T_N= 0,33T_C. Сдвига-то нет!

— Хорошо. Были и другие забытые ныне шкалы: Реомюра, Рёмера, Делиля и так далее. Но гораздо актуальней ещё две применяемые по сей день шкалы: Кельвина и Ранкина (иногда говорят «Ренкина»). Это уже знакомые тебе шкалы Цельсия и Фаренгейта, но начало их сдвинуто к абсолютному нулю. Кстати, в отличие от других шкал, понятие «градус Кельвина» (и сам значок градуса) не применяют — вместо него говорят просто «Кельвин», а в формулах используют лишь букву «К». Например, температура кипения воды есть 100 °С или 373 К. Ну, а градус Ранкина обозначается °Ra — двумя буквами.

— Что за абсолютный нуль такой?

— Поясню. Температура отображает тепловое движение молекул. Чем быстрее молекулы движутся относительно соседних молекул (а в твёрдых веществах — чем сильнее колеблются вблизи положения равновесия), тем выше температура. Как следствие — теоретически возможна такая температура, при которой всякое тепловое движение отсутствует. Она и называется абсолютным нулём. Ниже её спуститься просто невозможно (да и её-то саму достичь практически нереально). Поэтому температуры по Кельвину и Ранкину никогда не могут принимать отрицательных значений. Исследования показали, что абсолютный нуль соответствует –273,15 °С, поэтому связь между шкалами Кельвина и Цельсия можно записать так:

T_K = 273,15 + T_С.

А связь шкал Ранкина и Цельсия запишешь?

— Попробую. Если температура абсолютного нуля по Цельсию равна –273,15 °С, то по Фаренгейту это 32 + 1,8 ⋅ (–273,15) = –459,67 °F. Значит, шкала Ранкина есть шкала Фаренгейта, сдвинутая на 459,67: T_Ra = 459,67 +T_F = 459,67 + 32 + 1,8T_C = 491,67 + 1,8 T_C.

— Вот, пожалуй, и всё. Надеюсь, я ответила на твой вопрос? Впрочем, не до конца. Ты ведь имел в виду роман Брэдбери «451 градус по Фаренгейту»?

И спрашивал, сколько это будет по-нормальному, то есть по Цельсию. Сам найдёшь теперь ответ?

— Конечно! Если в формулу, связывающую T_F и T_C, подставить T_F = 451, получим 451 = 32 + 1,8 T_C, откуда T_C = 232,8 °С.

— Правильно. Как отмечает сам Брэдбери, это температура воспламенения бумаги, хотя разные справочники приводят разные значения. Но позволь и мне задать тебе вопрос. Мы более-менее подробно рассмотрели пять температурных шкал: Цельсия, Фаренгейта, Ньютона, Кельвина и Ранкина. A бывает ли такая температура, что в каких-то двух различных шкалах она принимает одно и то же числовое значение? И если да, то сколько всего таких «точек совпадения»?

— А что тут считать? Всего шкал пять. Первую можно выбрать пятью способами. Вторую — одну из оставшихся — четырьмя. Всего получается 5 ⋅ 4 = 20 пар. Но... здесь, по-моему, надо ещё поделить на 2.

— Почему?

— Ну, если мы выбрали шкалу Цельсия, а к ней в пару шкалу Фаренгейта, а потом в пару к шкале Фаренгейта шкалу Цельсия — это та же пара! И  для других пар то же самое. Поэтому всего получается не 20, а 10 пар. Каждой паре — своя «точка совпадения».

— Думаю, всё-таки меньше.

— Это почему?

— Рассмотри, скажем, пару «Цельсий — Кельвин». Температура по Кельвину всегда выше температуры по Цельсию на 273,15. Потому совпадение температур здесь невозможно.

— Верно... Но ведь то же самое будет и для пары «Фаренгейт — Ранкин»! Так что остаётся восемь пар.

— Ещё меньше.

— Но почему? А, понял: наверно, есть точка, в которой совпадают сразу три шкалы! Да?

— Нет, дело в другом. Подумай, в чём именно. Кстати, два совпадения из твоих предполагаемых восьми ты назовёшь «с ходу», ничего не вычисляя.

— Э... это как?

— Рассмотри шкалы Цельсия и Ньютона.

— А, у них ноль совпадает! В смысле, за ноль принята одна и та же точка — температура плавления льда.

— Вот именно. А для пары «Кельвин — Ранкин» совпадение имеет место в абсолютном нуле. Насчёт остальных пар — поразмыслить надо...

Дорогие читатели! Поразмыслите и вы: наберётся ли 8 точек попарного совпадения или их вправду меньше, как утверждает Марь-Иванна?

Художник Мария Усеинова

---

¹ Это, разумеется, учительница. У кого же ещё может быть такое имя-отчество?

² Поэтому нынешние 100 градусов по Фаренгейту — это примерно 37,8 градусов по Цельсию. Изрядная простуда!