Параллельники, полупараллельники и равные площади

Фёдор Нилов
«Квантик» №11, 2020

Рис. 1

Параллельник¹ — это многоугольник с таким хитрым свойством. Будем двигаться по контуру многоугольника, начав с любой вершины или стороны, одновременно в двух направлениях: доходим до двух «следующих» вершин (по часовой стрелке и против) и проводим соединяющий их отрезок, идём до двух следующих вершин — и соединяем, и т. д. (Мы как бы «разлиновываем» многоугольник на «полоски», в основном четырёхугольные, только в начале и в конце может быть треугольник, рис. 1.) Так вот, если, с какой вершины или стороны ни начни, все проведённые отрезки будут параллельны друг другу (и стороне, если с неё начинали), перед нами — параллельник.

Рис. 2

Любой параллелограмм — параллельник. На рисунке 2 вы видите пятиугольный параллельник (наборы паралелльных отрезков окрашены одним цветом).

Если вы знакомы с правильными многоугольниками (в них равны все углы и все стороны), можно сказать ещё и так: в параллельнике параллельны друг другу те же стороны и диагонали, как если бы он был правильным.

А теперь посмотрите на рисунок 3. В центре — произвольный треугольник (зелёный). На его сторонах построили «наружу» белые квадраты. Некоторые из их вершин соединили отрезками, на них снова построили «наружу» белые квадраты и т. д. В промежутках между квадратами образовались треугольники и четырёхугольники. Оказывается, площади всех многоугольников одного и того же цвета равны, а все четырёхугольники — трапеции. Эту теорему доказали в 2001 году американские математики D. DeTemple и M. Hudelson².

Рис. 3

Они же заметили, что треугольник в центре можно заменить на любой параллельник — и теорема будет верна! На рисунках 4 и 5 — примеры, когда в центре параллелограмм и пятиугольный параллельник.

Рис. 4 (слева) и 5

Рис. 6

А что, если вместо параллельника взять полупараллельник? Его определение почти такое же, только теперь мы всегда начинаем обход многоугольника с пары соседних вершин (см. рис. 1, справа). Для нечётноугольников ничего не изменится: даже если начнём со стороны, придём к вершине. А для чётноугольников мы выкинем половину условий. На рисунке 6 — пример шестиугольного полупараллельника. Диагонали, отрезающие противоположные углы, уже не обязаны быть параллельными (таких там три пары).

Оказывается, теорема тоже будет верна «наполовину». Раньше в каждом «круговом» слое были равны площади всех многоугольников между белыми квадратами, а теперь в чётных слоях (2-м, 4-м, 6-м, ...) они будут равны «через один». На рисунках 7 и 8 равные площади — одного цвета.

Рис. 7 (слева) и 8

Теперь четырёхугольники между белыми квадратами будут трапециями лишь в чётных слоях. Отметим также, что диагонали одноцветных четырёхугольников делят друг друга в одинаковых отношениях. Четырёхугольники могут даже самопересекаться, и тогда надо рассматривать их ориентированную площадь (но это тема для отдельного разговора).

Доказательства утверждений о полупараллельниках планируется напечатать в одном из ближайших номеров журнала «Квант». Чертежи к статье подготовлены в программе GeoGebra. Поэкспериментировать с чертежами можно по ссылке.

Художник Сергей Чуб

¹ По-научному — аффинно правильный многоугольник.

² D. DeTemple, M. Hudelson. Square-Banded Polygons and Affine Regularity // The American Mathematical Monthly, vol. 108, no. 2 (feb., 2001), pp. 100–114.