Потенциальная яма и принцип чайной ложечки

Сергей Дворянинов
«Квант» №8, 2018

Потенциальная яма — это, конечно, выражение образное. Вспомним подобные выражения: не вешать носа, развесить уши, дать прикурить, говорить под руку, искать ветра в поле. Ясно, что повесить нос можно только в переносном смысле, а вот загрустить, впасть в уныние — это бывает.

Рис. 1

Вводя понятие потенциальной ямы, в учебниках физики обычно рисуют шарик, который катается по кривой, представляющей собой график функции, имеющей две точки минимума и точку максимума между ними (рис. 1). Функция выражает значение потенциальной энергии шарика. Точке минимума соответствует потенциальная яма, точке максимума — потенциальный барьер. Таким образом, потенциальной ямой физики называют состояние рассматриваемой системы с минимумом ее потенциальной энергии. Сам по себе из одной ямы в другую шарик перекатиться не может. Для его перемещения требуется приложить внешнюю силу и совершить достаточную для преодоления потенциального барьера работу. (Правда, имеются ситуации, когда частица, не макроскопический шарик, с некоторой вероятностью может преодолеть такой барьер без всякой «внешней» помощи. Этим объясняется, например, явление альфа-распада тяжелых ядер.)

Потенциальную яму каждый из нас наблюдает чуть ли не ежедневно. Представьте, например, что на столе стоит стакан чая с чайной ложечкой внутри и блюдце. Размешав чай, вы хотите положить ложечку на блюдце. Для этого надо совершить работу — поднять ложечку выше стакана, преодолеть потенциальный барьер. Положение ложечки и в стакане, и на блюдце — устойчиво. Если чаепитие происходит, скажем, в вагоне движущегося поезда, то небольшие толчки или сотрясения оставят ложечку на месте и в стакане, и на блюдце. В этой простейшей ситуации дно стакана и блюдце — это две потенциальные ямы, а ложечка — перекатываемый из одной ямы в другую шарик.

Оказывается, подобная абстрактная «ложечка» присутствует во многих окружающих нас конструкциях, где вместо потенциальной энергии гравитационного взаимодействия с Землей надо рассматривать потенциальную энергию деформируемой пружины.

Рис. 2

Электрический выключатель. На рисунке 2 изображена схема электрического выключателя, когда электрическая цепь разомкнута. При повороте пластмассового рычажка АВ вокруг точки О против часовой стрелки пружина из положения KA переходит в положение KA′ и замыкает цепь. На этом пути пружина сначала сжимается (ее потенциальная энергия увеличивается), потом разжимается. Почему? Да потому, что в треугольнике АОK сумма длин двух сторон АО и АK больше длины стороны KО. Когда пружина и отрезок АО располагаются на отрезке KО, пружина неизбежно оказывается сжатой. Крайние положения пружины — это потенциальные ямы. Оба эти положения пружины (и рычажка АВ) устойчивы.

Проведем простой эксперимент. Если слегка нажать на клавишу настенного включателя и затем отпустить ее, то клавиша, щелкнув, вернется в исходное положение. Это и есть явное проявление устойчивости. Никакие слабые случайные возмущения этого устройства (т.е. несильные толчки или сотрясения) не нарушат состояние системы: электрическая цепь останется либо замкнутой, либо разомкнутой, т.е. будет функционировать устойчиво.

На рисунке 2 представлена, как говорят, принципиальная схема выключателя, в каждом конкретном случае она реализуется разными технологическими решениями.

Рис. 3

Велосипедная подножка. Теперь обратим свое внимание на велосипед, а точнее — на атрибут современных велосипедов, называемый подножкой (рис. 3). Это устройство призвано удерживать неподвижный велосипед от падения.

Снова рассмотрим лишь принципиальную схему устройства, т.е. будем говорить только о важнейших его элементах, не вдаваясь во все детали. Таких элементов здесь всего два — собственно подножка и пружина. Они вместе играют роль чайной ложечки. Пусть один конец пружины закреплен в точке K, в положении ОА подножка убрана, а в положении OA′ она удерживает велосипед от падения (рис. 4). Если мы переводим подножку из одного положения в другое, то пружину мы вначале растягиваем. Про достижении на пути из ОР в OP′ серединного положения пружина начинает сжиматься и подножка с ударом переходит в новое устойчивое положение. Потенциальный барьер соответствует неустойчивому положению пружины (и подножки). Малейшее отклонение подножки от этого положения или же придание ей скорости мгновенно переводит систему в одно из устойчивых положений. На деле одно из этих устойчивых положений соответствует убранной подножке, и оно востребовано при движении велосипеда. Другое устойчивое положение подножки, опирающейся на землю, используют для покоящегося велосипеда.

Рис. 4

Обратите внимание: на практике важны именно устойчивые положения равновесия! Использование же неустойчивых точек покоя — явления редкие, можно сказать, экзотические. Вот поэтому и демонстрируют их цирковые эквилибристы или же переходящие через горные ущелья канатоходцы.

Устойчивость и неустойчивость положений равновесия. Устойчивость — понятие универсальное. В наши дни часто говорят о принципах устойчивого природопользования и устойчивого развития человечества, о социальной стабильности в обществе. Иными словами, термины «устойчивость» и «неустойчивость» сегодня являются широко распространенными и многозначными. Заметим, что в математике есть целое направление — математическая теория устойчивости; многочлены, все корни которых имеют отрицательные вещественные части, называются устойчивыми. В школе учащиеся впервые знакомятся с устойчивостью и равновесием на уроках физики. А в жизни, конечно, намного раньше: когда качаются на детских качелях или сооружают из кубиков непадающие башни.

Напомним, что положение равновесия называют неустойчивым, если всякое малое отклонения системы от этого положения приводит к появлению силы, которая это отклонение увеличивает. Самый популярный и наглядный пример таков. Шарик находится на вершине холма и неподвижен — можно рассматривать маленький шарик, находящийся на «северном полюсе» большого шара. Всякое малое смещение малого шарика или же придание ему сколь угодно малой скорости приведет к появлению скатывающей силы, удаляющей его от исходного положения равновесия или исходного положения покоя. Значит, и равновесие, и покой в этом случае неустойчивы. Другой пример — карточный домик.

Если же при отклонении системы от положения равновесия появляется сила, возвращающая систему в исходное состояние, то это положение равновесия называют устойчивым. Примером служит шарик, находящийся в ямке (или ложбине).

Для сжатия или растяжения пружины требуется совершить некоторую работу. Эта работа приводит к увеличению потенциальной энергии, накопленной пружиной. Деформированная пружина стремится вернуться в исходное недеформированное состояние, которому соответствует минимум потенциальной энергии. Недеформированное состояние пружины является устойчивым потому, что ее растяжение или сжатие вызывает появление силы упругости, которая стремится вернуть пружину (и связанную с ней систему) в исходное состояние.

Рис. 5

Где еще применяют такие пружины. Существует очень много механических реализаций рассмотренных принципиальных схем и их модификаций. Даже на фотоаппарате, которым были сделаны снимки, представленные далее на рисунках 5–7, прикрывающая контакты крышка в положениях открыто / закрыто фиксируется подобным запирающим устройством.

Рис. 6

Так, в трамвае крышка аварийного люка находится в состоянии устойчивого покоя (см. рис. 5). Для того чтобы в случае опасности открыть люк, пружину следует сжать и провести ее через состояние неустойчивого равновесия. Отметим, что при растяжении пружина всегда остается прямолинейной, а вот сжатие длинной пружины иногда приводит к ее «выпучиванию». Во избежание этого пружину, работающую на сжатие, помещают внутрь обоймы или патрона.

Механизм, удерживающий форточку в трамвае в состоянии открыто / закрыто (см. рис. 6), фактически описан в статье.

Рис. 7

А теперь — конструкторская задача. На рисунке 7 показаны две банки для чая. Их замки действуют согласно изложенному в нашей статье принципу. А где же здесь пружина? Оказывается, роль пружины выполняет эластичная резиновая прокладка, укрепленная по периметру крышки (одновременно эта прокладка обеспечивает герметичность банки). При закрывании банки крышка вначале прижимается к ней, а потом чуть-чуть (примерно на миллиметр) поднимается вверх. Оба рычага столь жесткие, что практически не деформируются. Прокладка, будучи деформированной и потом освобожденной от внешнего воздействия, легко приподнимает крышку. Если удалить прокладку, система перестает действовать.