Премия за теорему Ферма
Михаил Цфасман
«Троицкий вариант» №6(200), 22 марта 2016 года
15 марта 2016 года Абелевская премия этого года была присуждена профессору Оксфордского университета сэру Эндрю Уайлсу (Andrew J. Wiles) за «его великолепное доказательство последней теоремы Ферма». О том, как математики 300 лет продвигались к доказательству этой теоремы, и о самом лауреате премии ТрВ-Наука рассказал Михаил Анатольевич Цфасман.
Уже древние вавилоняне и египтяне отлично знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный. 32 + 42 = 52. Знали они и множество других треугольников с этим свойством. Диофант Александрийский (примерно III век н. э.) сумел перечислить все такие треугольники — все решения уравнения х2 + y2 = z2 в целых положительных числах.
Его трактатом «Арифметика» заинтересовался французский нотариус и математик очень хорошего уровня Пьер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601–1665). На полях его экземпляра этого трактата имеется много интересных обобщений и замечаний. В 1637 году он написал: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
В XIX веке немецкий математик Эрнст Куммер (Ernst Eduard Kummer) придумал и подробно написал действительно чудесное доказательство, у которого был один недостаток: оно оказалось неверным, что он сам вскоре и заметил. При этом он получил множество интересных результатов, которые были отмечены Большим призом Парижской академии наук в 1837 году. Вся современная алгебраическая теория чисел возникла из этой работы Куммера.
Никто не знает, было ли у Ферма доказательство; я думаю, что Ферма имел в виду то же самое доказательство, что и Куммер, и, так же как и Куммер в первой своей работе, не заметил неоднозначности разложения целых алгебраических чисел на простые.
После этого эту теорему доказывало бесконечное количество «ферматистов», математиков-любителей, тем более что за нее была обещана большая премия. Но ни в одном из их неверных доказательств не было ничего, что бы продвинуло науку дальше. Одновременно этим занимались и многие профессионалы, их работы были важны для теории чисел, они доказали теорему Ферма во многих частных случаях. А дальше наступила последняя четверть XX века — эту историю я наблюдал уже собственными глазами, когда к теореме Ферма появился совсем новый подход.
Он связан с именами замечательных математиков: француза Ива Эллегуарша (Yves Hellegouarch), немца Герхарда Фрая (Gerhard Frey), американца Кена Рибета (Ken Ribet) и, может быть, лучшего математика второй половины XX века, которому в этом году исполняется 90 лет, француза Жан-Пьера Серра (Jean-Pierre Serre). В их работах наука пошла сильно дальше и свелась к очень красивой задаче арифметической алгебраической геометрии. При этом было использовано невероятно много различных областей современной математики.
В итоге задача доказательства теоремы Ферма свелась к очень трудной проблеме о модулярности эллиптических кривых (проблема Таниямы — Шимуры — Вейля); как раз ее частный случай, достаточный для теоремы Ферма, к лету 1993 года и доказал Эндрю Уайлс. При этом в первом его решении довольно быстро была найдена ошибка. Он год бился, и, когда уже решил, что ничего не получается, 19 сентября 1994 года к нему пришло озарение. И после этого, как говорят математики, на эту ошибку «была наложена заплата» страниц в 200, написанных Уайлсом в соавторстве с его бывшим студентом Ричардом Тейлором (Richard Taylor). Статья была опубликована в мае 1995 года, и на этом история теоремы Ферма была завершена, мы получили ее законченное доказательство.
Еще раз повторю, что на пути к доказательству великой теоремы Ферма математики придумали массу всего интересного, что очень значимо, даже если полностью забыть про исходную проблему. Тем самым этой теореме мы можем поставить памятник как мощному двигателю прогресса в математической науке.
-
Более отвратительной новости и представить нельзя. Док-во ВТФ должно быть понятным каждому школьнику, и когда нить его найдут.
-
Спокойнее, никто никому ничего не должен. Найдёте доказательство, "понятное каждому школьнику" --- хорошо. Лично я в этом сильно сомневаюсь, учитывая, что: а) за 400 лет никто простого доказательства не нашёл; б) "простому школьнику" доказательство и малой-то теоремы Ферма, как правило, абсолютно непонятно.
-
Простейшее доказательство дает abc-гипотеза, оно понятно каждому молокососту...
Пусть a+b=c - упорядоченная тройка взаимнопростых чисел, тогда П(abc) - произведение составляющих эти числа простых сомножителей, взятых строго по одному разу.
Имеем с=П(abc)^q, где q лежит в интервале (1/3, 5/3). Нижний предел с очевидностью следует из случая, когда a b c примерно одного порядка и плохо факторизуемы, верхний предел следует из численных проверок. Собственно, abc-гипотеза имеет дело со степенями 1+eps, а уж в такой величине как 5/3 никто не сомневается. Это численно установленный факт.
Теперь рассмотрим
a^5 + b^5 = c^5
a^6 + b^6 = с^6
....
Собственно, это тоже суммы троек чисел, однако П(a^n b^n c^n)=П(abc), это значит, для первой суммы q>5/3, для второй q>2, что выходит за пределы интервала допустимых значений q.
Таким образом, ВТФ доказана для n>=5
Данное доказательство проливает новый свет на ВТФ. Ее компетенция реально ограничена случаями n=3 и n=4, которые давно рассмотрены Ферма и Эйлером. Для n>=5 мы сталкиваемся с более общей проблемой разложения высококомпозитного числа на сумму двух высококомпозитных слагаемых. Поэтому вся четырехвековая гонка доказательств ВТФ для все больших n, а потом и для всех n, выглядит театром абсурда, хотя и принесла свои плоды.
Более строгое доказательство того, что качество q (то есть показатель степени на жаргоне abc) не может быть 2 и выше.
Есть кроме качества еще такая штука merit (добротность вероятно). Она показывает скорость того, как в среднем качество троек падает с ростом размера чисел, устремляясь к единице.
m = (q-1)^2 * ln c/q * ln(ln c/q)
Поскольку перебор хитовых троек выполнен уже до уровня 10^20,
это накладывает ограничение на m<72 при q<2, на m<48 при q<1.75 (Baker 2004, wiki англ.), и m<40 при q<1.666 (что использовалось выше). Экспериментальный предел это m<39-
Кхм... и что там с abc-гипотезой? Аналогичная гипотеза для многочленов доказывается применением производной. Беглый взгляд в инет обнаруживает, что производную от натурального числа уже вводили некоторые товарищи, но она у них малость ненормальная: (a+b)' не равно a'+b' (ну и есть ещё тов. Мотидзуки, придумавший "ни на что не похожую" теорию)...
-
-
Да, но это пока ГИПОТЕЗА и никто не получил мильён за рядом выросшую гипотезу же Била (из неё ВТФ очевидна).
-
А вот интересно, утверждение, что "существует тройка наивысшего качества, и существует следовательно качество, недостижимое ни для какой тройки, например, 5/3 или 2", эквивалентно самой abc-гипотезе, или же его проще доказать? Я слышал мнение, что для качества 2 это легко доказывается, но это значит что легко доказываются гипотезы и Ферма и Била для некоторых достаточно больших степеней...
-
-
-
.jpg)
