Казино «Верный выигрыш»

Виктор Анатольевич Уфнаровский
«Квант» №1, 2012

– Ну, как дела в казино на фоне мирового кризиса? — с привычной улыбкой спросил Тед своего старого приятеля Билла, основателя и владельца нового казино в городе. Однако привычной ответной шутки так и не услышал. — Неужто так плохо? — на сей раз в голосе Теда было искреннее сочувствие.

– Да как тебе сказать. Народу по-прежнему много — все с удовольствием пьют бесплатные напитки. Но большие деньги теперь редко увидишь. Народ экономит. Да и вы, математики, постарались — уже все знают, что в казино вероятность проиграть больше, чем вероятность выиграть. Вот и ставят только маленькие суммы. А в результате одни убытки. За напитки и аренду тоже надо платить, только об этом в книжках по теории вероятностей почему-то не пишут.

– Ну, тогда надо сделать все наоборот. Чтобы за напитки посетители платили, а вероятность выиграть была больше, чем вероятность проиграть.

– Да уж. Только объяви, что зеро в рулетке¹ в пользу посетителя, так сразу весь город нагрянет и будет играть да пить пиво. Я даже название казино готов сменить на «Верный выигрыш», чем не реклама? — чувство юмора Билл все-таки сохранил. Но закончил он свою тираду на минорной ноте. — Только, боюсь, что тогда я уж точно разорюсь. Если посетитель будет выигрывать в 19 случаях из 37, казино ожидает крах — это и без теории вероятностей понятно.

– А как насчет психологии? Ведь если посетитель выиграет, он с удовольствием заплатит за напитки. Кока-кола в баре стоит 15 крон, а ты вряд ли платишь больше двух за баночку. Я уже не говорю о напитках покрепче. Вот тебе и теория вероятностей. — Тед усмехнулся и неожиданно добавил. — Но раз уж математика тебе мешает, пусть она же тебе и поможет. Мне нравится идея нового названия. Мы сделаем так...

* * *

Премьера прошла замечательно. Реклама была что надо: «Верный выигрыш! Зеро в пользу посетителя! Только у нас! Приходите и не пожалеете!»

Народу набежало — просто не протолкнуться. Все хотели обыграть казино по, казалось бы, невыгодным для него правилам. Многие не могли отойти от стола, за которым шла игра в кости. Тед улыбнулся, вспомнив, как нелегко было убедить Билла ввести новые правила...

– Ты с ума сошел! Значит, теперь можно будет поставить на любую цифру и получить удвоенную ставку, если она выпадет на любой из трех брошенных костей? Правильно я тебя понял?

– Угу.

– Но ведь цифр всего шесть! Что останется моему казино, если в половине случаев я теряю столько же, сколько могу выиграть в других?

– Ты прав. Я забыл специальные правила на случай, если цифра выпадет больше чем на одной кости.

– Ну, слава Богу, хоть и мне что-то достанется. Так что в этом случае? Никто не выигрывает? Или заново кости бросают?

– Наоборот, если цифра выпала на двух костях, клиент получает утроенную ставку.

– Что?!

– Ну, и, скажем, в пять раз больше, если выпало на всех трех.

В тот момент у Билла дар речи, похоже, попросту пропал, поскольку в его лексиконе остались одни согласные.

Но сейчас все шло в точности так, как описал в одной из своих книг Мартин Гарднер: когда кто-то получал пятикратную ставку, проигравшие ненавидели счастливчика, а не казино, не задумываясь, что именно здесь оно и выигрывало.

А в центре внимания оказалась, конечно же, рулетка. Правила были исключительно просты. Кроме обычных (вроде возможности ставить на красное или черное с получением удвоенной ставки, если выпал выбранный цвет), добавились еще четыре:

1. Если выпадает зеро, игрок тоже получает удвоенную ставку.
2. Каждый игрок делает ставки ровно три раза.
3. Величина ставки не меньше трети имеющейся суммы.
4. Максимальная сумма, которую посетитель может унести, — 100 тысяч крон.

Очередь выстроилась такой длины, что дополнительное объявление было воспринято как само собой разумеющееся: «Игроки с начальным капиталом 50 000 и больше проходят без очереди». Таких было достаточно много, что только подогревало интерес и азарт. Тед прислушался к разговору неподалеку.

– Ах, барон, это замечательная игра! У меня было 60 тысяч, я поставил половину на красное и выиграл. Эти 30 тысяч я поставил еще раз, но не угадал. Тогда опять поставил 40 тысяч на красное, и выпало зеро! В любом другом казино это было бы крахом, а здесь я стал обладателем разрешенных 100 тысяч и намерен основательно потратить их в местном баре — казино это заслужило!

– Согласен, граф. Вы ведь знаете, для меня деньги не так важны, меня привлекает сама игра. У меня было 30 тысяч сначала, и я поставил все. Уже после второй игры имел 120 тысяч! Третий раз поставил минимум — сорок — не такой я дурак, и проиграл, но выигрыш в 50 тысяч у меня в кармане. Так что в бар немедленно — нам есть на что гулять!

Конечно, как и в любом казино, были свои неудачники. Но жаловались они не на казино: «Только с моим вечным невезением можно проиграть, когда вероятность выигрыша больше, чем проигрыша!»

С автоматами тоже все было в порядке. Объявление гласило: «Мы — не владельцы автоматов и, к сожалению, не можем изменить вероятность выигрыша. Но мы наняли наших самых больших неудачников, чтобы они взяли на себя большую часть неудач. Дождитесь, пока они проиграют достаточно много раз, и берите игру на себя!»

Конечно, это был чисто психологический трюк, но он работал. Все были в заблуждении, что после пяти неудач кряду шанс выиграть существенно лучше, чем до этого. Поэтому спрос на помощников казино, готовых за мизерную плату эту неудачу создать, был огромный. Этой идеей Билл был особенно доволен.

– Замечательно! Вместо того чтобы выслушивать жалобы от работников здравоохранения, будто мы разрушаем семьи и создаем самоубийц, мы наняли этих безнадежных игроков, чтобы они могли играть до одурения с единственной целью — проиграть как можно больше раз подряд, притом не теряя своих денег! Они и даром бы согласились, но еще и приплачивать им за это — гениальная задумка!

* * *

На праздничном обеде по случаю удачной премьеры Тед был на самом почетном месте.

– Спасибо тебе огромное за прекрасный замысел, — сказал Билл, подливая вина в бокалы. — Никогда еще бар не приносил такой прибыли, как вчера. Мы спасены! Но знаешь, мне повезло даже с рулеткой: она тоже принесла вчера прибыль!

– Почему это повезло? — возмутился Тед. — Так и должно было быть!

– Ты хочешь сказать, что ожидал этого? Я думал, ты только на буфет рассчитывал.

– Хорошего ты мнения о друзьях! Конечно же, казино должно было выиграть и без буфета.

– А вот этого я уже решительно не понимаю! Объясни, как можно выиграть, если вероятность выигрыша меньше половины?

– С удовольствием, но сначала я закончу с лакомствами. Спустя немного времени друзья поднялись в комнату Билла и вооружились бумагой и ручками.

– Давай еще раз посмотрим на кубики, — предложил Тед.

– Там ты мне вроде бы уже все объяснил. Если у нас шесть посетителей ставят одновременно по одной кроне на разные цифры, то пока все цифры на трех брошенных кубиках различны, мне от этого ни холодно, ни жарко: я получаю их ставку в шесть крон и троим из них выплачиваю по две. Если же одна и та же цифра выпала на двух кубиках, то одному посетителю я плачу три кроны, две — другому, а одна остается мне. То же самое, если все три кубика выпали одинаково: везунчик получит пять крон, а я забираю шестую. Это я уже оценил.

– Спасибо. А можешь ли ты прикинуть, сколько в среднем выигрываешь?

– Сейчас спрошу кассира.

– Его услуги не понадобятся — пусть допивает шампанское. Какова вероятность того, что все цифры будут разные?

– Э-э-э. Ну, всего у меня шесть в кубе, то есть 216 разных возможностей набрать три цифры. Из них надо выбрать такие, где цифры разные. Сейчас напишу на бумажке.

– И без бумаги легко. Первую цифру можно выбрать шестью способами, для второй остается пять возможностей и четыре для последней цифры. Итого: 6 на 5 на 4.

– Ишь ты! Так и впрямь проще считать. И вероятность, следовательно, будет (6·5·4)/6³ = 5/9. Значит, свою крону я зарабатываю с вероятностью 4/9. Лучше, чем я думал.

– Да уж, не жалуйся! А теперь мы легко можем оценить ожидаемый выигрыш: 0·5/9 + 1·4/9 = 4/9. Это, собственно, и есть математическое ожидание результата одной игры для казино. Самое главное, что именно математическое ожидание, а не вероятность, определяет, выгодная игра или нет.

– Это понятно.

– Значит, понятно? — Тед ухмыльнулся. — Тогда, ты, конечно, не будешь сердиться, если узнаешь, что от твоего имени я слегка изменил правила и теперь, если выпадают три одинаковые цифры, угадавший получает 10 крон, а не 5, как раньше? Видел бы ты, сколько народу сразу набежало!

– Скажи, что ты пошутил, — взмолился Билл. — Ведь даже последний дурак поймет, что теперь казино в проигрыше. Ты меня разыгрываешь, правда?

– И не думал. Просто проверяю, внимательно ли ты меня слушал. Дурак, значит? И сколько, по-твоему, такой дурак выиграет в твоем казино? Ты вроде не жаловался на убытки? — По непроницаемому лицу Теда трудно было догадаться, какое удовольствие ему доставляла беседа. — Не мог бы ты все же посчитать математическое ожидание игры для другого дурака, который владеет этим казино?

– Я же уже посчитал. Если цифры разные, то результат ноль, если все одинаковые — казино проигрывает 4 кроны, а если ровно две одинаковые, то выигрывает, но только 1 крону. Что тут неправильно?

– Только то, что все эти цифры весьма далеки от того, что мы вычисляем, — от среднего ожидаемого результата. Чтобы его посчитать, надо каждый возможный выигрыш² умножить на вероятность его появления и все это сложить. Именно это умножение все меняет! Помнишь, как я тебе объяснял, почему надо считать математическое ожидание, а не вероятность выигрыша?

– Да, помню. Пример был убедительный: если я выигрываю сто крон с вероятностью 3/4, а в оставшихся случаях теряю тысячу, то играть не стоит, хотя вероятность выигрыша больше половины. Но это было понятно. Мы даже посчитали ожидаемый результат: 100·3/4 + (–1000)·1/4 = –175.

– Тогда что тебе мешает посчитать математическое ожидание здесь?

– Ну, здесь же три случая.

– Какая разница? Просто считай вероятность каждого из них, умножай на результат и складывай. Какова вероятность, что все цифры одинаковые?

– Это как раз понятно: 6/216 = 1/36 — такие случаи нечасто встречаются. Но как мне считать вероятность того, что выпадут ровно две одинаковые цифры?

– А очень просто. Мы же уже сосчитали вероятность того, что не все цифры разные.

– Да, получалось 4/9, и это было легко.

– В эти 4/9 входит вероятность того, что все три цифры одинаковые (она, как ты помнишь, равна 1/36). Что осталось?

– Понял! Осталась как раз вероятность того, что одинаковых цифр ровно две, и это 4/9 – 1/36, т.е. 5/12.

– Тоже немало. И математическое ожидание для казино, если игрок поставил одну крону, будет, значит,

0·5/9 + 1·5/12 + (–4)·1/36 = 11/36.

– Ничего себе! Больше 30 процентов прибыли!

– Да уж!

– Это я, наконец, действительно понял. Но все равно не верю, что в нашей рулетке математическое ожидание в мою пользу. Правда, оценить его я просто не в состоянии — слишком уж много вариантов, все не переберешь.

– Да, это и вправду похитрее будет. Давай для начала упростим игру: уберем правило с одной третью и оставим только ограничение на максимальный выигрыш 100 тысяч. Тогда это точно будет в пользу посетителя, раз вероятность выигрыша больше половины. Но как ему выгоднее играть? Положим, что у тебя есть 40 тысяч и ты играешь ровно три раза. Сколько бы ты поставил в первую игру?

– Ну-у, сначала бы я выбрал, в какую из игр играть. Наверное, проще всего на цвет. Раз есть 18 черных и 18 красных, то я выбрал бы какой-то из этих цветов, скажем красный, и поставил на него. Так как есть еще и зеро, то вероятность угадать p = 19/37 заведомо в мою пользу.

– Ты опять отвечаешь не на тот вопрос. Всё равно, в какую именно рулеточную игру ты играешь, раз p > 1/2. С таким же успехом ты мог бы ставить на четное или нечетное. Меня интересует, сколько ты поставишь?

Рис. 1

– По-разному можно. Барон, скажем, все бы поставил – он всегда так делает. А его зять никогда больше 10 тысяч не ставит, проиграть боится.

– А ты сам-то?

– Ну, скажем, половину, 20 тысяч. Что-то подозрительное есть в твоей интонации, а то бы тоже все 40 поставил.

– А деревья ты любишь? — ошарашил Тед собеседника очередным вопросом.

– Ну, не все, на некоторые у меня аллергия. А при чем тут деревья?

– Да я собрался нарисовать парочку для тебя. Не беспокойся, это будут математические деревья. Они нам матожидание посчитать помогут. Правда, не знаю как у тебя насчет аллергии к математике, — улыбнулся Тед. — Давай сначала решим, кто умнее: авантюрный барон или его осторожный зять. Проще всего с зятем, который каждый раз по 10 тысяч ставит. С вероятностью p у него станет 50 тысяч, а с вероятностью q = 1 – p будет 30 тысяч. Это мы изобразим картинкой (рис. 1).

– Вполне наглядно, — согласился Билл. — А теперь, что будет дальше в каждом из вариантов?

– Ну, точно такая же картинка, только цифры другие. Скажем, если было 50 тысяч, то с вероятностью p у него станет 60 тысяч, а с вероятностью q — 40 тысяч.

Рис. 2

– Прекрасно! И если мы дадим ему сыграть третий раз и соберем все вместе, то получим такую замечательную картинку (рис. 2).

– Я подозреваю, что именно ее ты хочешь назвать деревом.

– Конечно! Но как ты догадался?

– Потому что это на тебя похоже — нарисовать без ствола вниз головой и думать, что для всех других это тоже похоже на дерево. А деревья так не растут!

– При чем тут ствол? Это — замечательное дерево! На нем все видно. Скажем, 70 тысяч получится по ветке ppp с вероятностью p³, а 50 тысяч можно получить в трех вариантах: ppq, pqp и qpp. Итого, вероятность 3p²q. Правда, красиво?

– Странные у тебя вкусы, но считать действительно легко. Я даже, наверное, способен теперь написать математическое ожидание результата. Это будет 70·p³ + 50·3p²q + 30·3pq² + 10·q³ — верно? Но что мне толку от этих букв?

– Если ты так не любишь буквы, возьми калькулятор и посчитай! Ты же знаешь: p = 19/37 и q = 18/37.

– Мне это не очень нравится, но все же полезно узнать, во что может твоя затея обойтись... Хм. Если округлить, то выходит 40 811 крон. Я думал, хуже будет.

– А теперь давай игру барона оценим.

– Это я и без уродливых деревьев могу сделать!

– Я весь внимание.

– С вероятностью p у барона станет вдвое больше, в остальных случаях у него ничего не останется, так что после одной игры математическое ожидание его результата будет 2·40·p = 40·38/37 тысяч.

– Ты прекрасно рассуждаешь.

– Тогда, — продолжил Билл самодовольно, — так как за одну игру ожидаемые денежки умножаются на 38/37, после трех игр это станет 40·(38/37)³ или приблизительно 43 332 кроны. Неужели так выгодно быть авантюристом? Ну как, ты доволен своим учеником?

Рис. 3

– Иногда я просто удивляюсь, как таким людям доверяют такие деньги.

– А что не так в моих вычислениях?!

– И математика, и психология. Ты правильно считал, что надо умножать на p удвоенный выигрыш, но ты забыл, что максимальная сумма — это 100 тысяч. Так что результат будет не 8·40·p³, а только 100·p³.

– Короче говоря, 13 541 крона. А, теперь я еще больше оценил правило про 100 тысяч. Я же чувствовал, что авантюра не должна окупаться!

– А главное, — продолжал Тед невозмутимо, — ты забыл, что барон авантюрист, но не дурак. Если у него останется 80 тысяч после первой игры, он не будет ставить больше 20-ти, зная, что больше ста он все равно не получит!

– И как же считать тогда?

– Как и раньше: дерево рисовать. Заметь, что если он выиграет, то уже ничего не будет ставить в третий раз, а если проиграет, то поставит максимум разумного — 40 тысяч (рис. 3).

– Вижу. И свои ошибки понял. Но тогда ожидаемый выигрыш будет меньше, чем я боялся: только 100·p³ + 2·100·p²q + 20·pq² = 41629, но всё равно лучше, чем у зятя.

Рис. 4

А что моя половинчатая стратегия дает? Подожди, сейчас сам посчитаю — может, у меня и не будет аллергии на твои деревья. Конечно, имея 90 тысяч, я уже не буду ставить половину, а только 10 тысяч (рис. 4). Всего получается 100·p³ + 80·p²q + 45·2·p²q + 3·15pq² + 5·q³ = 41 394 кроны круглым счетом. Я же чувствовал, что надо 40 тысяч ставить!

– Отнюдь. Что барон получил больше, чем ты, еще не значит, что это самый лучший возможный результат. Хочешь узнать, как я бы стал играть?

– Знаешь же, что хочу, говори!

– А ты заметил, что суммы чисел в последней строке каждого дерева всегда одинаковые?

– Это только ты такие вещи замечаешь непонятно как! Но да, сумма и впрямь одна и та же — 320 в каждом из трех деревьев.

– Сообразил, почему?

– Конечно, нет!

– Это просто. Давай еще раз глянем на маленькое деревце (рис. 5). Если у меня 40 крон, и я ставлю x крон, то получится 40 + x в случае удачи и 40 – x в противном случае. Как бы я ни ставил, сумма этих чисел всегда будет 80. Это означает, что в первой строке моего дерева сумма будет 80, т.е. ровно вдвое больше, чем изначальная сумма. Видишь это на всех деревьях?

Рис. 5

– Да. Тогда я, кажется, понял. Такое же рассуждение годится и для остальных маленьких деревьев. И это значит, что во второй строке сумма будет еще вдвое больше, т.е. 160. Теперь понятно, почему в последней строке всегда будет 320 — это опять вдвое больше. Удивительно, ты даже с иксами умеешь объяснять, как с числами!

– Ну, а тогда ничего не стоит найти самый умный способ игры. Достаточно эти 320 тысяч распределить так, чтобы выигрыш был максимальный. Справишься?

– Надеюсь. Максимум 100 я сразу положу на наибольшую вероятность p³. Оставшиеся 220 поставлю на следующую, p²q: скажем, 100 — на ветки ppq и pqp и 20 — на qpp. Всем остальным веткам дам по нулю. А дальше что делать? Ведь я так и не знаю, сколько в первый раз ставить, чтобы такие цифры получить. Как назад по дереву идти? Не иксы же писать.

– Проще простого! Считай среднее арифметическое каждой пары чисел и пиши его над ними. Посмотри еще раз на маленькое деревце: ((40 + x) + (40 – x))/2 как раз 40 получится!

– Не верится, что так просто. И что же в результате?

Рис. 6

– Сейчас нарисуем (рис. 6).

– Получается, что надо 35 тысяч ставить. Кто бы мог подумать! И матожидание тоже легко сосчитать: 100·p³+220·p²q, примерно 41 764 кроны получится. Барон, пожалуй, в дураках останется.

– Или владелец казино, допускающий такие игры. Теперь настало время поговорить о правиле одной трети. Я думаю, ты уже догадался, зачем оно нужно.

– Полагаю, для того, чтобы не допустить ставок в ноль, если 100 тысяч уже есть.

– Совершенно верно.

– Но я всё равно не вижу, что я от этого выигрываю. Может случиться, что перед последней ставкой игрок уже вблизи 100 тысяч, а я — заведомо в проигрыше.

– Но клиент будет доволен?

– Еще бы!

– Видишь, как хорошо, тебе же нужны довольные клиенты? А теперь давай считать. Для простоты дальнейших расчетов предположим, что у игрока изначально было 54 тысячи. Его минимальная ставка — 18, что даст в случае успеха 72 тысячи. Повторный успех приведет его к 96 тысячам.

– Ты меня расстраиваешь такими гнусными предположениями.

– Наоборот, ты этому радоваться должен! Особенно если он выиграет третий раз.

– Ты в самом деле считаешь, что тогда я должен плясать от радости?

– Конечно! Потому что в этом случае он поставит не меньше 32 и, значит, выигрыш будет 128 тысяч, но получит он не все, а только 100, а остаток 28 — уже в твою пользу!

– Ты меня за сумасшедшего держишь! Математика у меня хромает, но не настолько. Какая мне польза от этого, если он пришел с 54, а ушел с 100 тысячами в кармане?

– Дружище, ты все время забываешь, что мы с тобой считаем математическое ожидание. Каким бы оно было без правила одной трети?

– Ну, это мы уже хорошенько разобрали. Значит, так: 8·54 даст 432, 100 пойдет на p³, 300 — на p²q, остальное — на pq². Итого: 100p³ + 300·p²q + 32pq² = 55 916 крон.

– Из них мы 28 тысяч с вероятностью p³ забираем обратно. Сколько остается?

– Не может быть! 52 124.

– Теперь ты доволен?

– Не то слово. Но всё же несколько вопросов у меня осталось.

– Давай!

– Если клиент имеет не очень много денег, скажем только 10 тысяч, тогда ему правило одной трети не мешает и он, следовательно, может выиграть?

– Конечно! Именно поэтому мы завели бар и объявили, что с суммой 50 тысяч проходят без очереди. Конечно, любой математик подтвердит, что в твоем казино и в самом деле можно выиграть, если правильно играть. Но он не станет слишком торопиться объяснять всем всю правду. Мне кажется, такие люди заслуживают немножко счастья в рулетке — не так уж много они и выиграют, посчитай! И бар точно все окупит.

– Ну ладно. Но рано или поздно станет известно, что казино выигрывает при больших суммах.

– И ты думаешь, кто-то перестанет играть? Математики тысячи раз объясняли, что вероятность выиграть не меняется, если кто-то уже пять раз подряд проиграл. И что? Посмотри на тех, кто нанимает у нас неудачников. Они верят в свою удачу, а не в математику. Это уже психология. А она точно на нашей стороне. Барон ни за что не променяет твое казино на обычное.

– Хорошо, убедил. Но — последний вопрос. Зачем тебе все это было надо? Как практичный человек, я не верю, что всё объясняется одной дружбой.

– Ну, ведь ты сам понял, что я могу выиграть, если буду играть по маленькой.

– И в этом всё дело? Кажется, ты что-то недоговариваешь.

– Но если я скажу, что красота математического решения мне намного привлекательней игры и легких денег, ты ведь всё равно не поверишь?

– Не знаю, не знаю, — пробормотал Билл.

А довольный Тед, попрощавшись, отправился домой, оставив Билла в глубокой задумчивости.

Задачи

Первые четыре задачи — тренировка определений, задачи 5 и 6 относятся к упрощенной версии игры (без правила одной трети), оставшиеся — к полноценной игре.

1. В обычной классической рулетке можно также ставить на некоторые группы из к чисел, где к = 1, 2, 4, 9, 12, 18 (в статье рассмотрен только случай к = 18). Если выпадает зеро (а не одна из 36 цифр), игрок проигрывает. Сколько ставок получает игрок в случае выигрыша (математическое ожидание должно быть, конечно, одинаковым для всех к)? Изменится ли ответ, если, как в статье, зеро дает удвоенную ставку (но нет никаких других ограничений)?

2. Какой максимальный выигрыш может позволить казино игроку в кости в тех случаях, когда на всех трех кубиках выпала одинаковая цифра?

3. В новой лотерее выпущено 1000 билетов стоимостью в 1 крону, есть один выигрыш в 500, два — в 100, пять — в 20, двадцать — по пять и сорок — по две кроны. Какова вероятность выигрыша? Каково математическое ожидание? Стоит ли играть?

4. Чтобы увеличить вероятность выигрыша в предыдущей лотерее, организаторы напечатали еще 1000 билетов, каждый из которых дает выигрыш — право бесплатно получить новый билет (если билеты кончились, возвращается 1 крона). Теперь вероятность выигрыша больше половины. Чему она равна? Как изменилось математическое ожидание? Стоит ли теперь играть? А если бы каждый новый билет давал возможность получить два билета бесплатно?

5. Рассмотрите пример из статьи с 40 тысячами и без правила одной трети. Покажите, что 35 — это максимум того, что можно ставить в первый раз. А чему равен минимум?

Рис. 7

6. Тед нарисовал для Билла картинку (рис. 7), чтобы показать ему возможные первые ставки (в игре без одной трети). Проверьте на ней свое решение предыдущей задачи. Как он ее получил? Нарисуйте подобную картинку для случая, когда допускается четыре игры.

7. Рассмотрите случай произвольного разрешенного числа игр. Допуская нецелые числа, определите возможный интервал для первой ставки при начальной сумме x. Нарисуйте график зависимости математического ожидания результата от начальной суммы.

8. Рассмотрите пример в статье с 54 тысячами и правилом одной трети. Предположим, что игрок ставит ровно одну треть, продолжает так делать в случае выигрыша и ставит все, если проиграл. Подсчитайте математическое ожидание результата и убедитесь, что оно существенно больше 52 124. Где Тед обманул доверчивого друга в своих рассуждениях? Какой самый лучший результат можно получить? Выгодно ли играть посетителю с такой суммой?

9. Начиная с какой суммы играть в казино «Верный выигрыш» становится невыгодным?

10. Какая начальная сумма приносит максимальный ожидаемый выигрыш?

11. Как лучше всего играть при заданной сумме и каково математическое ожидание результата?

12. Барон имеет 90 тысяч и будет счастлив, если получит максимальные 100 тысяч, и очень несчастен — в противном случае (даже если выиграет). Как ему лучше играть? А если у него другая начальная сумма? А если игр больше, чем три?

¹ У колеса для игры в рулетку 37 ячеек: 18 красных, 18 черных и одна зеленая. При игре на цвет каждый игрок делает ставку на один из цветов. Крупье запускает шарик, который останавливается в какой-то ячейке. Если игрок ставил на красное или на черное и угадал, он получает удвоенную ставку. Если он ставил на зеленое поле (зеро) и угадал, то выигрыш будет в 36 раз больше поставленной суммы. Если цвет не угадан, игрок проигрывает свою ставку.
² Проигрыш — это выигрыш со знаком минус.