Теория групп — наука о совершенстве

Евгений Вдовин

• Введение
• Некоторые исходные определения и обозначения
• Аксиомы группы
• Примеры групп
• Заключение

Примеры групп

Примерами групп, известных нам с начальной школы, являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Другой важный пример групп дает нам следующая конструкция. Пусть X — произвольное множество и Sym_X — множество всевозможных биекцией множества X на себя. Зададим умножение на Sym_X как композицию. Тогда Sym_X относительно операции композиции является группой и называется симметрической группой на множестве X или группой подстановок (иногда используется также термин группа перестановок, но нам он кажется неудачным, об этом чуть ниже). Если множество X конечно и |X| = n, то можно считать, что X = {1, ..., n} и Sym_X обозначается за Sym_n. Если Ψ — некоторое свойство отображений, которое сохраняется при композиции, то подмножество отображений, удовлетворяющих свойству Ψ, группы Sym_X образует подгруппу группы Sym_X. Покажем, что композиция отображений удовлетворяет аксиоме ассоциативности (ГР1) (проверка остальных аксиом существенно проще, они вытекают из определения биекции). Для того, чтобы доказать, что композиция отображений ассоциативна, необходимо сначала понять, когда же отображения равны. Несмотря на очевидность определения, оно нередко вызывает сложности. Отображения φ : A → B и ψ : A → B (где A, B — произвольные множества) равны, если для любого x  A его образы xφ и xψ равны. Пусть теперь φ, ψ, χ  Sym_X и x  X. Тогда x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = ((xφ)ψ)χ, с другой стороны, x(φ(ψχ)) = (xφ)(ψχ) = ((xφ)ψ)χ, что доказывает ассоциативность композиции.

Этот пример не только позволяет строить большое количество различных групп (чуть ниже мы убедимся, что все группы), но и показывает широкую область применения теории групп. Везде, где есть хоть какая-то симметрия (т. е. биекция), немедленно возникают и группы. Задачи о построении с помощью циркуля и линейки, о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, дифференциальных уравнений в первообразных и т. д. естественным образом сводятся к задачам в теории групп. Различные комбинаторные задачи сводятся к подсчету объектов, удовлетворяющих некоторым свойствам и вновь к теории групп.

Если G — группа, X — множество и задан гомоморфизм φ : G → Sym_X, то говорят, что группа G действует на множестве X. Если Ker(φ) = {e}, то действие называется точным. Для «облегчения» обозначений мы будем отождествлять g с его образом gφ и для произвольного x  X его образ относительно gφ будем записывать xg. Введем отношение эквивалентности ~ на X по правилу: элементы x, y  X являются эквивалентными, если существует такой g  G, что xg = y. Классы эквивалентности называются орбитами группы G. Говорят, что группа G действует транзитивно (а представление является транзитивным), если существует лишь одна орбита. Гомоморфизм φ : G → Sym_X называется подстановочным представлением группы G (именно из-за термина «подстановочное представление» термин «группа перестановок» считается неудачным, так как термин «перестановочное представление» имеет другое значение). Если Ker(φ) = {e}, то представление называется точным.

Рассмотрим теперь произвольную группу G и ее подгруппу H. Группа G действует на множестве смежных классов по подгруппе H умножением справа: (Hg₁)g₂ = H(g₁g₂). Таким образом, существует транзитивное представление φ : G → Sym_G/H. Если H не содержит отличных от единичной нормальных подгрупп группы G, то это представление является точным. В частности, если H = {e} то представление G → Sym_G/{e} = Sym_G всегда является точным и называется регулярным представлением группы G. Таким образом, любую группу можно рассматривать как группу подстановок. Оказывается, любое транзитивное представление группы G можно получить таким образом.

для понимания дальнейшего текста необходимо знание университетского курса алгебры

Следующий пример групп возникает из векторных пространств. Пусть V — векторное пространство над полем F (я не буду давать определение векторного пространства и поля, примером векторного пространства является плоскость, а примером поля — множество рациональных чисел относительно сложения и умножения). Множество невырожденных линейных преобразований векторного пространства V образует группу и называется общей линейной группой (обозначается GL(V)). Легко проверить, что векторные пространства одинаковой размерности n над одним и тем же полем изоморфны пространству строк длины n, а множество невырожденных линейных преобразований совпадает с множеством невырожденных матриц. При этом общая линейная группа записывается в виде GL_n(F). На самом деле, данный пример не является, строго говоря, новым, поскольку GL(V) ≤ Sym_V. Однако важностью данного класса групп обусловлено его выделение в отдельный пример. Гомоморфизм φ : G → GL_n(F) называется линейным представлением группы G над полем F степени n, а пространство V называется G-модулем. Группа симметрий шара, о которой упоминалось во введении, совпадает с группой всех линейных преобразований трехмерного пространства, сохраняющих длину векторов, называемую общей ортогональной группой.

Третий пример групп возникает следующим образом. Пусть X = {x₁, x₂, ...} — некоторый алфавит (конечный или бесконечный). Пополним его формальными символами X^–1 = {x₁^–1, x₂^–1, ...} и рассмотрим множество слов в алфавите X  X^–1. Введем преобразования:

(1)
вычеркивание стоящих рядом символов x_ix_i^–1 или x_i^–1x_i;

(2)
добавление в любое место слова подслов x_ix_i^–1 или x_i^–1x_i.

Два слова u, v назовем эквивалентными, если существует цепочка преобразований типа (1) или (2), переводящих одно слово в другое. На множестве классов эквивалентности зададим операцию умножения приписыванием одного слова в конец другому. Тогда мы получим группу, называемую свободной группой и обозначаемую через F[X], а элементы этой группы принято называть словами. Универсальность данной конструкции делает свободные группы незаменимыми при изучении формальных языков (например, языков программирования), а также различных других задач из теории кодирования, распознавания и т. д. Термин «свободная» обусловлен тем, что если у нас есть произвольная группа G и существует такое ее подмножество M, что M = G, то мы можем рассмотреть множество слов X с условием |X| = |M| и тогда существует гомоморфизм φ : F[X] → G. Ядро гомоморфизма Ker(φ) порождается некоторым множеством слов R и запись группы G в виде G = < X|R > называется заданием группы определяющими и порождающими соотношениями. Пожалуй, это самый абстрактный способ задания группы и потому самый сложный. Мы не будем приводить здесь примеров групп, заданных таким образом.