Ячейка Хеле-Шоу

На фото — работа художника Энтони Холла (Anthony Hall) из серии Hele-Shaw. Холл создает произведения искусства, переосмысливая научные эксперименты и используя физические процессы вместо привычных нам холстов и красок. Необычные структуры, похожие на листья диковинного растения, — результат распределения менее вязкой жидкости в более вязкой, или так называемые вязкие пальцы, которые формируются в  узком зазоре между двумя стеклами — так называемой ячейке, или камере, Хеле-Шоу (см. Hele-Shaw cell). Эта конструкция названа в честь английского механика Генри Селби Хеле-Шоу (Henry Selby Hele-Shaw), опубликовавшего в 1898 году результаты экспериментов в такой ячейке.

Чтобы повторить этот эксперимент, вам нужно будет самим сделать ячейку Хеле-Шоу. Для этого надо взять две стеклянные пластины размером желательно не меньше 40 × 40 см: так будет удобнее наблюдать картину. В центре одной из пластин проделайте небольшое отверстие (диаметром примерно 1 мм). Поместите пластины горизонтально одну на другую так, чтобы между ними образовался зазор около 0,2–1 мм — для этого надо вставить между стеклами небольшие прокладки, например кусочки картона или пластилина.

Теперь с помощью шприца без иглы закачайте в зазор между стеклами вязкую жидкость — например, глицерин. Постарайтесь, чтобы вместе с глицерином в ячейку не попал воздух: это испортит картинку. Когда жидкость равномерно распределится и образует между пластинами круг, таким же способом начните закачивать в камеру подкрашенную воду — образуются ветвистые структуры.

Что же заставляет жидкость формировать такие красивые узоры? Когда вы закачиваете в ячейку воду, вы создаете дополнительное давление, которое позволяет воде занимать место между стеклами и расталкивать глицерин во все стороны. Для расталкивания глицерина важна не сама величина давления, а градиент: по закону Дарси, скорость потока прямо пропорциональна градиенту давления. На внешней границе глицеринового круга давление равно атмосферному, а на внутренней, соприкасающейся с водой, — как раз той разнице давлений, которую вы создаете, надавливая на поршень шприца.

Изначально пятнышко воды между стеклами было не идеально ровным, а с небольшими выступами. Из-за того что эти выступы были чуть ближе к внешней границе глицеринового круга, градиент давления в их крайних точках был больше; следовательно, скорость потока была тоже больше. С ростом пятна количество неустойчивостей растет, и от первоначальных потоков ответвляются дополнительные, рост которых также подчиняется закону Дарси. Так формируются «вязкие пальцы». Этот эффект называется неустойчивостью Саффмана — Тейлора — в честь двух ученых, Филипа Саффмана (Philip Saffman) и Джефри Тейлора (Sir Geoffrey Ingram Taylor), опубликовавших в 1958 году статью, посвященную этому эффекту.

Образование неустойчивости Саффмана — Тейлора. Серый цвет — область, заполненная менее вязкой жидкостью (например, водой), белый — более вязкая жидкость (в нашем случае — глицерин). Сплошной линией обозначена граница глицеринового круга; давление на этой границе равно атмосферному. Жирными стрелками обозначены участки, в которых скорость потока выше, так как меньше расстояние до внешней границы глицеринового круга, а значит, больше градиент. Маленькими стрелками обозначены участки, расположенные на большем расстоянии от границы круга; градиент в них ниже, следовательно, ниже скорость потока. Рисунок с сайта chebyshev.spbu.ru

Ячейка Хеле-Шоу сконструирована таким образом, что толщину зазора между стеклами можно признать бесконечно малой по сравнению с размером стекол, — это позволяет считать наблюдаемые в ней потоки двумерными. Движение жидкостей в ячейке Хеле-Шоу описывается теми же уравнениями, что и течение жидкости в пористой среде в двумерном случае. Это оказалось полезным для моделирования процессов, связанных с добычей нефти.

Схема процесса нефтедобычи. Обычно нефть залегает широкими пластами на глубине от 200 м до 2 км, радиус нефтяного месторождения — около 10 км. Чтобы добыть нефть, бурят несколько скважин с интервалом 0,5–1 км. Толщина нефтяного слоя обычно составляет от 1 м до 20 м, поэтому слой нефти можно считать в первом приближении тонким и пользоваться моделью Хеле-Шоу. Рисунок с сайта chebyshev.spbu.ru

Сначала давление в пласте нефти большое, и нефть поступает естественным образом. Но в какой-то момент, чтобы продолжить качать нефть, нужно создать в слое дополнительное давление. Для этого в слой закачивают воду, и это помогает добыть из скважин еще какое-то количество нефти. Таким образом производят заводнение месторождения. Толщина слоя нефти гораздо меньше, чем его радиус, поэтому в первом приближении можно считать, что и нефть, и вода распределяются в «тонком слое», и для моделирования этого процесса можно использовать ячейку Хеле-Шоу.

Из-за эффекта Саффмана — Тейлора вода проталкивается сквозь нефть и начинает закачиваться в скважины (см. видео эксперимента, моделирующего добычу нефти и заполнение скважин водой; подсоединенные к стеклу трубки имитируют скважины, вязкая жидкость — нефть, а воду для наглядности окрасили в синий цвет). Чтобы получить из месторождения как можно больше нефти, ученые должны предсказать, где и как, относительно скважин, будет течь вода. Точно предсказать расположение вязких пальцев невозможно, потому что распределение воды в слое нефти во многом случайно, но можно сделать так, чтобы вязкие пальцы почти не образовывались. Например, если вместе с водой в нагнетательную скважину закачивать также специальную суспензию, частицы которой образуют устойчивую границу с нефтью, вода будет вытеснять нефть более равномерно.

Вытеснение водой нефти в ячейке Хеле-Шоу: слева в качестве менее вязкой жидкости была использована вода, справа — вода с добавлением суспензии. Обратите внимание на затемненный участок вдоль границы с нефтью: концентрация частиц суспензии в этой области наибольшая. Фото из статьи: Ю. В. Пахаруков и др., 2018. Вытеснение нефти из пористой среды с использованием графитовой суспензии

Так что удивительные узоры, получающиеся в ячейке Хеле-Шоу, могут не только вдохновлять художников, но и приносить пользу.

Фото с персонального сайта художника Энтони Холла, серия “Hele-Shaw Cell Problem”.

Дарья Моргачёва