«Красота форм в природе» Э. Геккеля на языке теории групп

Известнейший немецкий биолог и философ Э. Геккель создал удивительную книгу под названием «Kunstformen der Natur» («Красота форм в природе»). Многие организмы, включенные в эту книгу, были впервые описаны самим Э. Геккелем. Композиционно весь материал книги построен Э. Геккелем таким образом, чтобы на каждой странице можно было визуально охватить максимум представителей одного таксона. В период с 1899 по 1904 годы книга публиковалась комплектами по 10 оттисков. Полная версия книги, содержащая 100 оттисков, датирована 1904 годом.

В статье представлены результаты впервые проведенного теоретико-группового анализа псевдосимметрии двумерных изображений гидробионтов классов Conjugatophyceae, Bacillariophyceae, Acantharia, Asteroidea, а также преобразований симметрии в онтогенезе иглокожих с применением оригинальных программных продуктов «BioPsLeaf» и «BioPsFlower».

Одним из фундаментальных свойств симметричных систем является то, что наборы всех операций симметрии каждой конкретной физической, математической или любой другой системы относительно заданного признака или системы признаков не могут быть произвольными. Они представляют собой замкнутые множества с жестко заданными свойствами. Эти множества хорошо известны в математике и называются группами. Теория групп  — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Рождением концепции групп мы обязаны пионерским работам Э.  Галуа, а сегодня исчисление симметрий, называемое теорией групп, проникло в каждый уголок математики. Естественно, что для математически неподготовленного читателя группы остаются некой загадочной метафорой, и чтобы снять с них завесу таинственности, очень полезен геометрический подход, обычно применяемый в преподавании теории групп. Воспользуемся наглядным примером и рассмотрим группу симметрий равностороннего треугольника. В данном контексте полезным окажется следующее определение симметрии: симметрия некоторого математического объекта — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта. Ключевые слова в этом определении выделены курсивом. Дадим их интерпретацию, используя в качестве примера равносторонний треугольник. Известно, что у такого треугольника невозможно отличить одну сторону или один угол от другого, чем, собственно, и определяется его симметрия. Рассмотрим эти ключевые слова по очереди. Преобразование. Есть много способов воздействовать на наш треугольник: согнуть, повернуть, смять, растянуть, изменить положение в пространстве (просто подвинуть) и т.д. Однако наш выбор ограничен вторым ключевым словом. Структура. Структура треугольника определяется его существенными математическими свойствами, такими как наличие трех сторон, тем, что стороны — прямые линии, сторона имеет конкретную длину и т.д. Следуя нашему определению «...преобразование, которое сохраняет структуру объекта», мы переходим к интерпретации третьего ключевого слова — сохраняет. Это означает, что структура преобразованного объекта должна соответствовать структуре исходного. Поэтому преобразованный треугольник должен по-прежнему иметь три стороны (его нельзя сминать). Стороны должны оставаться прямыми (его нельзя складывать). Одна сторона должна по-прежнему сохранять исходную длину, так что треугольник нельзя растягивать, да и сдвигать в сторону тоже нельзя. Продолжая наши манипуляции над равносторонним треугольником мы придем к выводу, что у него имеется шесть различных симметрий. Первые три — это поворот на 120^о, 240^о и 360^о, когда треугольник совмещен сам с собой, или, что то же самое, 0^о (это важно! с ним не производилось никаких преобразований). Еще три симметрии — это отражения (или зеркальная симметрия), когда один из углов треугольника остается на месте, а два других меняются местами. По существу эти шесть операций симметрии составляют группу симметрий равностороннего треугольника, которую мы получили, применив геометрический подход. Таким образом, можно сказать, под симметрией понимается инвариантность объекта относительно различного рода преобразований пространства (изометрических или неизометрических операций симметрии), которые отыскивают неизменное в изменяющемся. Заметим, что идеальная симметрия является математической абстракцией, тогда как в природе чаще всего встречаются лишь приблизительно симметричные (псевдосимметричные) системы, об инвариантности которых относительно операций симметрии также можно говорить лишь приблизительно. Разработанный авторами метод автоматической количественной оценки псевдосимметрии двумерных изображений биообъектов и их теоретико-групповой анализ ранее был продемонстрирован на актиноморфных и зигоморфных цветках (Гелашвили и др., 2010, читайте популярный синопсис к этой статье «Посчитанные отражения»).

В настоящей статье представлены результаты впервые проведенного теоретико-группового анализа псевдосимметрии двумерных изображений гидробионтов классов Conjugatophyceae, Bacillariophyceae, Acantharia, Asteroidea, а также преобразований симметрии в онтогенезе иглокожих с применением оригинальных программных продуктов «BioPsLeaf» и «BioPsFlower». Источниками двумерных изображений гидробионтов, использованных в этой работе, послужили опубликованные материалы, в том числе, графические иллюстрации из книги Э. Геккеля «Красота форм в природе», работы В.Н. Беклемишева (1964), «Жизни животных» (1968) (под ред. Л.А. Зенкевича) и микрофотографии современных авторов. Выбор гидробионтов, был обусловлен тем фактом, что их строение во многом определяется принципом Кюри, накладывающим ограничения на группы симметрии живых организмов с учетом среды их обитания. Разработанный метод позволяет при повороте изображения объекта с малым по углу шагом (например, на 1^о), вычислять поворотную псевдосимметрию объекта как функцию угла поворота и затем изображать графически в виде симметрограммы. Кроме того, имеется возможность оценивать зеркальную псевдосимметрию биообъекта. Инвариантность биообъектов, приближенно описываемых группой С_nv по системе А. Шенфлиса, в целом может характеризоваться двумя числовыми характеристиками, а именно: минимальными значениями степеней псевдосимметрии как среди всех её локальных максимумов для операций поворотов (ŋ_r), так и для зеркальных отражений (ŋ_b). Для рутинных целей иногда удобней пользоваться средними значениями параметров псевдосимметрии. Так, например, псевдосимметрия «геккелевской» радиолярии Pristacantha polyodon, представленной на рис. 1 и имеющей поворотную ось 4 порядка, может быть приблизительно описана группой C_4v с параметрами псевдосимметрии: ŋ_r = 0,68±0,003, ŋ_b = 0,85±0,04.

Рис.1. Радиолярия Pristacantha polyodon Haeckel, 1887 (А) и ее симметрограмма (Б). На Б по оси ординат — степень поворотной псевдосимметрии, ŋ_r; по оси абсцисс — угол поворота, выраженный в градусах.

Группа симметрии, приближенно описывающая псевдосимметрию Pristacantha polyodon содержит следующие операции: С_4v={e,4¹,4²,4³,m₁,m₂,m₃,m₄}, где e — тождественный (единичный) элемент группы; n^p (р =1, 2, 3...n-1) — обозначения операций поворотов вокруг оси n-го порядка, в данном случае четвертого; m — обозначения операций отражения относительно плоскостей, пересекающихся по этой оси (четырех плоскостей).

На примере морской звезды Asterina amurensis показано, что полный метаморфоз характерный для иглокожих может быть представлен преобразованиями симметрии в виде следующего ряда:

С_4v → С_2v →C_s→ C_5v,

который отражает закономерный переход от поворотной симметрии (С_4v,) типичной для 4- или 8-лучевой симметрии бластулы (по терминологии В.Н. Беклемишева), к 2-лучевой симметрии у молодой диплеврулы (ранней формы личинки иглокожих) (С_2v). Последующие личиночные стадии морской звезды: поздняя диплеврула, а также последующие стадии личинки морских звезд, бипиннария и брахиолярия, характеризуются билатеральной симметричностью (C_s) и, наконец, сформировавшаяся морская звезда (C_5v), обладает типичной поворотной симметрией с осью 5-го порядка. Эти преобразования симметрии в метаморфозе морской звезды на разных стадиях развития обусловлены особенностями ее биологии и согласуются с принципом Кюри: система под внешним воздействием изменяет свою точечную симметрию таким образом, что сохраняются лишь операции симметрии, общие с операциями симметрии воздействия. Подчеркивается, что именно теория групп позволяет характеризовать инвариантность объекта относительно преобразований пространства, то есть его симметрию. В свою очередь, нахождение инвариантов в каком-либо классе объектов означает выявление их структурного базиса.