«Четыре дамы и молодой человек в вакууме». Задачи из книги

1. Самый простой и очевидный ответ — на Северном полюсе. Но есть и другой вариант: в Антарктиде, вблизи Южного полюса! Пройдя 1 км на юг, человек должен оказаться на таком расстоянии от полюса, чтобы, пройдя 1 км на восток, сделать целое число кругов и вернуться в точку, откуда начал круговое движение. Далее он пройдет по собственным следам на север и вернется к началу маршрута. Нетрудно найти и расстояние от этих точек до Южного полюса. Пусть оно равно \(1 + х\) км. Если путешественник совершит n кругов, должно выполняться условие \(2 \pi nх = 1\) км (n — натуральное число). Конечно, n не может быть любым: например, человек не может пройти по кругу радиусом 1 см. Тем не менее вариантов бесконечно много: например, при \(n = 1\) (один круг) \(x = 159\) м, и нам подходят все точки на окружности радиусом 1159 м.
   
   

   Перлы :))

   Это было в Бермудском треугольнике.

   Это могло быть только во сне.

   Такое возможно только внутри Земли.

   Такая точка есть в любом месте земного шара, кроме моря, так как, стоя в этой точке, человек утонет.
2. На Южном полюсе и на льду Северного Ледовитого океана. (Задача решается аналогично предыдущей.)
3. В 50 км южнее экватора и на льду Северного Ледовитого океана.
   
   Меридианы, выходящие из Северного полюса, постепенно расходятся, а после экватора снова сходятся. Симметричный путь получается, если он начат в 50 км южнее экватора. В любом другом случае человек окажется от исходной точки либо дальше, чем в 100 км (в Северном полушарии), либо ближе (в Южном полушарии).
   
   Другое решение (на льду Северного Ледовитого океана) сложнее. Надо найти некую точку недалеко от Северного полюса — но дальше, чем в 100 км от него. Пройдя от этой исходной точки 100 км на север, человек потом пойдет по кругу вокруг полюса. Пройдя 100 км, он далее должен пойти на юг по такому меридиану, чтобы, пройдя 100 км, очутиться от исходной точки ровно в 100 км. Таких точек бесчисленное множество. Рассмотрим только две возможности.
   
   Первый вариант. Так как путешествие происходит на небольших (по сравнению с размерами Земли) расстояниях, можно считать, что оно происходит на плоскости. Пусть, пройдя по меридиану на север 100 км, человек очутился в х км от полюса. Пройдя 100 км на восток по части окружности с радиусом х, человек далее пошел на юг по меридиану, составляющему угол \(\alpha\) от первоначального. Пройдя 100 км, он очутился ровно в 100 км от исходной точки. Причем эти 100 км можно отсчитывать как по дуге параллели, так и по «прямой» — различие на таких малых расстояниях будет ничтожным.
   
   Второй вариант. Начало такое же, но, очутившись на этот раз ближе к полюсу (расстояние от него обозначим также через х), человек, пройдя на восток 100 км, обойдет вокруг полюса, пересечет свой след и пройдет по дуге окружности радиуса х еще какое-то расстояние (такое же, какое он не дошел до своего следа в предыдущем случае). Далее, свернув на юг и пройдя 100 км, он очутится в 100 км от исходной точки.
   
   Математически решение для второго случая немного проще. Поэтому рассмотрим именно его. Итак, идя на восток, человек проходит полную окружность радиуса х (ее длина равна 2\(\pi\)х), а затем еще немного по дуге длиной \(\alpha\)х, всего — 100 км. То есть \(2 \pi х + \alpha х = 100\), откуда \( \alpha = (100—2 \pi х)/х\). Далее, пройдя 100 км на юг, человек окажется на расстоянии \(100 + х\) км от полюса и на расстоянии 100 км от исходной точки. Последнее расстояние (по дуге большой окружности) равно \( \alpha (100 + х)\).
   
   Итак, получаем уравнение \( \alpha (100 + х) = 100\). Подставляя в него полученное ранее значение \(\alpha\) и решая простое квадратное (относительно х) уравнение: \( \pi {х^2} + 100 \pi х - 5000 = 0\), получаем: \(х = 14\). Итак, исходная точка находится в 114 км от Северного полюса. В первом случае решение аналогично (немного сложнее квадратное уравнение), а \(х = 71,6\) км, т. е. исходная точка находится в 171,6 км от полюса.
   
   Понятно, что таких точек не две. Ведь можно пройти вокруг полюса не один круг (неполный или «с избытком»), а два, три... Это теоретически. Ну а практически — мы уже пришли к выводу, что любым число кругов быть не может.
   
   Эту задачу можно усложнить, если вместо земного шара взять планету меньших размеров или увеличить на Земле расстояние со 100 до нескольких тысяч километров. Тогда уже надо рассматривать движение не на плоскости, а по поверхности шара, и в этом случае задача из чисто «интеллектуальной» превращается скорее в олимпиадную и потому здесь не рассматривается. Ее можно предлагать интересующимся старшеклассникам как интересную задачу по стереометрии.
4. Задача аналогична предыдущей; правильный ответ — в 50 км севернее экватора и в Антарктиде. И ответ на дополнительный вопрос: путешественник будет приближаться к Северному полюсу по спирали.

Очевидно, что в пакетах было вино. Поскольку единственное общее слово во всех трех названия — KPAΣI, это слово и значит в переводе с греческого «вино». Слово ΛЕΥКО ассоциируется со словами в русском языке «лейкоз» (белокровие), «лейкоциты» (белые кровяные клетки) и др. Значит, ΛЕΥКО означает, что это вино белое. Соответственно EРYΘPO — «красное», по аналогии со словами «эритроциты» (красные кровяные клетки), «эритема» (покраснение кожи, например, под действием ультрафиолетовых лучей) и др. Осталось слово НΜΙΞHPO. Красные и белые вина бывают сухие, полусухие и полусладкие. Очевидно, что ΓΛYKO — сладкое (однокоренные слова в русском языке — «глюкоза», «глицерин» и др.), а ΞHPO — сухое (термин «ксерокс» означает «сухое копирование»). НΜΙ означает половину чего-либо; в русском языке этот корень встречается в таких словах, как «гемисфера» (полусфера), «гемикрания» (мигрень, когда болит половина головы, — ею страдал Понтий Пилат из романа «Мастер и Маргарита»), «гемизиготность» (в генетике) и др.

Итак, перевод надписей: «Вино белое полусухое», «Вино красное сухое», «Вино красное полусладкое».

Если бы пар из первой колбы не поступал в раствор в стакане, а проходил через змеевик, обогревающий жидкость, и потом выходил наружу, то температура раствора в стакане не смогла бы подняться выше 100°С (в действительности она была бы ниже из-за тепловых потерь). Что же изменяется, когда пар поступает в раствор?

При испарении воды была затрачена энергия 40,7 кДж/моль (или 2,26 кДж/г). Очевидно, что, когда пар конденсируется, превращаясь в воду, эта теплота выделяется.

В стакане — раствор соли, температура кипения которого выше температуры кипения чистой воды. Пар из колбы, температура которого близка к 100°С, конденсируется в холодном растворе соли, постепенно нагревая его — как за счет прямой теплоотдачи, так и за счет теплоты конденсации. Причем второй механизм намного более мощный: при конденсации 1 г водяного пара выделяется почти 2,3 кДж. Этого количества теплоты хватило бы, чтобы нагреть на 1°С 2,3 л воды! Таким образом, за счет теплоты конденсации происходит сильный разогрев раствора — вплоть до его температуры кипения. Но конденсация пара постепенно приводит к разбавлению раствора. Пока на дне стакана находится твердая соль, она растворяется и поддерживает раствор в состоянии насыщения. С повышением температуры растворимость веществ, как правило, повышается, поэтому и раствор будет нагреваться все сильнее. (Правда, для поваренной соли эта зависимость слабая: при 20°С в 100 г воды растворяется 35,9 г NaCl, а при 100°С — 39,4 г.) Когда же вся соль растворится, конденсирующийся пар начнет разбавлять раствор и температура его кипения начнет постепенно понижаться. В пределе (при бесконечном разбавлении) она снова опустится до 100°С.

До какой же температуры можно таким способом нагреть раствор? Это зависит от двух факторов: от количества вещества на дне и от его природы. А именно — от его растворимости. Ведь чем больше концентрация соли в растворе, тем выше его температура кипения. Так, поваренная соль растворяется в воде умеренно, ее растворимость почти не зависит от температуры. Поэтому конденсирующийся пар будет нагревать раствор (его объем при этом увеличивается!), пока вся соль не растворится. При этом раствор нагреется немногим выше 105°С, а потом, когда соли на дне не останется, раствор начнет разбавляться, и его температура будет понижаться, пока не достигнет 100°С.

Возьмем теперь вместо хлорида натрия хлорид кальция, который растворяется значительно лучше: в 100 г воды при 20°С — 74,5 г, при 100°С — 158 г, а при 150°С — 205 г! (При этом концентрация раствора становится равной \(205/(100 + 205) = 67,2\)%.) Значит, раствор CaCl₂ можно нагреть паром значительно сильнее, чем раствор NaCl, — было бы достаточно твердого вещества.

1. Правильный ответ — а. Плоскость колебаний маятника сохраняется постоянной, так как вращение Земли поворачивает только точку подвеса, не изменяя при этом плоскость колебаний. Это легко проверить экспериментально: если взять длинную тонкую нить, к концу которой привязан тяжелый груз (легкий грузик довольно быстро остановится), и раскачать такой маятник, то плоскость его колебаний не изменится, если поворачивать точку подвеса.
2. Петербург значительно ближе к полюсу, чем Париж (они расположены на широте 60 и 49° соответственно), а маятник был длиннее, чем у Фуко, поэтому кажущееся отклонение плоскости колебаний маятника в Исаакиевском соборе проявлялось более отчетливо.
3. Плоскость колебаний маятника сохраняется постоянной, хотя амплитуда колебаний (из-за трения в точке подвеса и сопротивления воздуха) со временем уменьшается. Сопротивление воздуха снижается с увеличением плотности материала, из которого сделан шар, а также при его полировке. Легкий маятник на короткой нити при его небольшом первоначальном отклонении быстро израсходует запасенную потенциальную энергию. Тяжелый маятник небольшого объема на длинной тонкой нити будет качаться долго с почти постоянным размахом. Это легко проверить экспериментально: если закрепить длинную (несколько метров) тонкую нить, к концу которой привязан тяжелый груз, он будет качаться долго, тогда как легкий грузик довольно быстро остановится из-за сопротивления воздуха.
   
   Кроме того, опыт с длинной нитью намного нагляднее и может быть продемонстрирован большому количеству зрителей.
4. Период колебаний математического маятника (а маятник Фуко при небольшом размахе колебаний близок к нему) равен \(2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac lg} = 6,28 \cdot \sqrt{\frac {67} {9,8}} = 17\) c. Так что качания такого маятника очень медленные.
5. Легко рассчитать, что если бы маятник был на полюсе, то при размахе его колебаний 12 м крайняя точка отклонения маятника за сутки описала бы окружность длиной примерно 36 м; при этом ее смещение за 1 час составляло бы 36/24 = 1,5 м, а за минуту — 150/60 = 2,5 см. Так что коробок, поставленный даже в 10 см от острия в его крайней точке, был бы сбит уже через 4 минуты.