«Путеводитель для влюблённых в математику». Глава из книги

Глава 20. Вероятность в медицине

Объявлено медицинское тестирование, диагностирующее наличие или отсутствие некой редкой болезни. Это чрезвычайно надежный тест. Вы принимаете решение пройти его и с ужасом получаете положительный результат. Насколько стоит беспокоиться?

Перевести беспокойство на язык цифр непросто, но в подобных ситуациях нужно сосредоточиться, потому переформулируем вопрос: насколько велика вероятность, что вы действительно подхватили это редкое заболевание?

Для ответа необходимо знать уровень надежности теста, а кроме того, как мы скоро увидим, уровень распространения болезни. Вот эти данные.

Редкая болезнь поразила 0,1% населения. Состояние здоровья одного человека из тысячи вызывает тревогу.

Тест не идеален, как и всякий медицинский тест. Предположим, он дает верную информацию в 98% случаев. Таким образом:

• среди 100 здоровых людей 98 человек получают верный отрицательный результат и 2 человека — неверный положительный;
• среди 100 больных людей 98 человек получают верный положительный результат и 2 человека — неверный отрицательный.

Разумеется, мы хотим пройти еще более надежный тест, но предположим, что это единственный возможный способ диагностировать наличие или отсутствие болезни.

Вопрос: если результаты теста положительные, какова вероятность того, что вы больны?

Ответ выглядит очевидным. Мы указали, что тест дает верные результаты в 98% случаев. Таким образом, вы больны с вероятностью 98%. Верно?

Вообразим город с миллионом жителей. Один из тысячи болен. Другими словами, 1000 жителей больны и 999 000 здоровы.

Все жители проходят медицинское тестирование. Посмотрим, сколько будет положительных результатов, если тест эффективен на 98%.

• Среди тысячи больных жителей положительный результат получит большинство, но не все. Их количество 1000 × 0,98 = 980.
• Среди 999 000 здоровых жителей большинство покинет поликлинику с радостной новостью об отсутствии болезни, но 2% получат ложный результат. Это дает еще 999 000 × 0,02 = 19 980 положительных результатов.

В общей сложности 980 + 19 980 = 20 960 жителей получат положительный результат.

Теперь мы можем правильно ответить на поставленный вопрос: какова вероятность того, что вы больны, если ваш результат тестирования положительный?

Среди двадцати с лишним тысяч людей с положительным результатом всего лишь меньше тысячи действительно больны. Точная вероятность правильности теста в этом случае равна

Вероятность того, что вам стоит беспокоиться, не равна 98%! На самом деле вероятность того, что вы заражены этой редкой болезнью, меньше 5%!

Стало быть, тесту грош цена? Не совсем.

Во-первых, если ваш лечащий врач имеет веские причины предполагать у вас наличие этого редкого заболевания, вы больше не «случайный» пациент. И если у вас действительно прослеживаются определенные симптомы, вероятность того, что вы заражены, уже не одна тысячная, а скажем, одна четвертая¹. В этом случае положительный результат тестирования имеет гораздо больший смысл, чем нестрого обоснованные выводы.

Во-вторых, если болезнь действительно опасна, тест, эффективный на 98%, позволяет хорошо просеять большие массы населения на предмет наличия или отсутствия болезни. Пациенты с положительным результатом могут пройти вторую диагностику, дающую еще более точные результаты.

Разумеется, отрицательный результат — не повод успокаиваться полностью. Какова вероятность того, что он верен? (Ответ я дам в конце главы.)

Интуиция отказывается принимать тот факт, что тест, надежный на 98%, может быть настолько несовершенным, но вычисления говорят сами за себя. Впрочем, голые цифры могут обманывать нашу интуицию. Попробуем нарисовать картинку.

Заметим: диаграмма не соблюдает пропорции (0,1% больных, эффективность теста 98%).

На чертеже большой прямоугольник изображает все население. Фрагмент прямоугольника слева вверху обозначает группу больных жителей, оставшаяся часть — группу здоровых жителей. Серая полоса сверху — это все жители (из обеих групп) с положительным результатом. Белая область внизу — все жители (опять-таки из обеих групп) с отрицательным результатом.

Чертеж иллюстрирует основные детали вышеописанной ситуации:

• болезнь редкая — крохотный фрагмент большого прямоугольника символизирует больную часть населения;
• тест верно диагностирует наличие болезни у подавляющей части больных — почти весь прямоугольник слева вверху закрашен серым;
• тест верно диагностирует отсутствие болезни у подавляющего большинства здоровых людей — огромная область большого прямоугольника остается белой;
• ключевой момент: большая часть серой полосы приходится на здоровых людей, поэтому вы, скорее всего, здоровы, если получили отрицательный результат, но не обязательно больны, если получили положительный.

Условная вероятность²

Мы вычислили вероятность того, что пациент с положительными результатами медицинского тестирования действительно болен. Мы вообразили гипотетический город, где живет миллион человек, и посчитали численность разных категорий населения. Это был способ ad hoc³. В общем случае мы должны руководствоваться языком теории вероятностей, и я завершу главу разъяснениями по этому поводу.

Для события \(A\) мы обозначаем \( P\left ( A \right ) \) вероятность того, что событие \(A\) произойдет, и \( P\left ( \bar{A} \right ) \) — вероятность того, что событие \(A\) не произойдет; таким образом, \( P\left ( \bar{A} \right ) = 1-P\left ( A \right ) \).

Для событий \(A\) и \(B\) мы обозначаем \( P\left ( A \wedge B \right ) \) вероятность того, что произойдут оба события — и \(A\), и \(B\).

Запись \( P\left ( A \mid B \right ) \) означает вероятность того, что из события \(A\) следует событие \(B\); это условная вероятность того, что \(A\) влечет за собой \(B\). Формула Байеса⁴ говорит нам:

Надежность диагноза, вынесенного на основе упомянутого медицинского теста, может быть выражена на языке математики следующим образом. Пусть \( S \) означает, что некто заражен редкой болезнью, а \( T \) означает положительный результат тестирования. Таким образом:

• болезнь поразила 0,1% населения, откуда следует, что \( P \left ( S \right ) = 0{,}001\);
• тест дает верную информацию о наличии или отсутствии заболевания в 98% случаев, откуда следует, что \( P\left ( T \mid S \right ) = 0{,}98\);
• тест дает верную информацию о том, что человек здоров, в 98% случаев, откуда следует, что \( P\left ( \bar{T} \mid \bar{S} \right ) = 0{,}98\). Иначе говоря, тест ошибочен в 2% случаев: \( P\left ( T \mid \bar{S} \right ) = 0{,}02\).

Вопрос: какова вероятность того, что пациент с положительным результатом тестирования действительно болен?

Если перевести задачу на язык символов, то мы ищем величину \( P\left ( T \mid S \right ) \). По формуле Байеса эта вероятность равна \( \frac{P\left ( S \wedge T \right )}{P\left ( T \right )} \). Нам нужно узнать \( P\left ( S \wedge T \right ) \) и \( P\left ( T \right ) \)

Начнем хоть с \( P\left ( S \wedge T \right ) \), хоть с \( P\left ( T \wedge S \right ) \). По формуле Байеса

Мы знаем, что \(P\left ( T \mid S \right ) = 0{,}98\) , а \(P\left ( S \right )= 0{,}001\) . Следовательно,

Теперь вычислим \(P\left ( T \right )\). Нам известно, что \(P\left ( T \mid S \right ) = 0{,}98\), а \(P\left ( T \mid \bar{S} \right ) = 0{,}02\). В то же время \(P\left ( T \right )=P\left ( T \wedge S \right )+P\left ( T \wedge \bar{S} \right )\) Далее:

Применим формулу Байеса в последний раз:

Это совпадает с нашими предыдущими вычислениями.

¹ Предположим, вы попали в категорию людей, где 25% поражены болезнью. Какова вероятность того, что вы заражены, если результат тестирования положительный? Ответ — в конце главы.

² Этот раздел предназначен для тех, кто уже изучал теорию вероятностей и хочет освежить свои знания. Другие читатели могут листать до следующего раздела.

³ По особому случаю (лат.). — Прим. пер.

⁴ Томас Байес (1702–1761) — британский пресвитерианский священник, богослов и математик. — Прим. пер.