Закрыть

Меню

Поиск Закрыть

Открыть

Свернуть

Найти книгу

С опубликованными главами

Иэн Стюарт

«Математические диковинки профессора Стюарта». Главы из книги

Иэн Стюарт

Математические диковинки профессора Стюарта

(Ian Stewart. Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities)

Коллекция игр и головоломок, дополненная краткими историческими вставками об интересных фактах и открытиях в области математики. …

Издательство «Лаборатория знаний», 2018

Что такое $\pi$?

Число π, примерно равное 3,14159, — это длина окружности, диаметр которой в точности равен 1. И вообще, длина окружности с диаметром d равна πd.

Число π приблизительно равно $3\tfrac{1}{7}$ или $\frac{22}{7}$, но не точно. $3\tfrac{1}{7}$ — это примерно 3,14285, отличается от π в третьем знаке после запятой. Есть приближение получше — $\frac{355}{113}$ или 3,1415929 с точностью до седьмого знака после запятой; тогда как π равно 3,1415926 с точностью до седьмого знака.

Откуда мы знаем, что π не является обыкновенной дробью? Сколько ни старайся улучшить приближение вида $\frac{x}{y}$, беря все большие числа, получатся только более точные приближения. Число, которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби, называется иррациональным. Простейшее доказательство иррациональности построил Иоганн Ламберт в 1761 году; оно опирается на методы математического анализа. Хотя мы не можем выписать точное числовое значение π, мы можем записать различные формулы, которые его точно определяют, и в доказательстве Ламберта использована одна из этих формул.

Выполняется еще более сильное свойство: число π трансцендентное, т.е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами. Это доказал в 1882 году Фердинанд Линдеман, он тоже опирался на математический анализ.

Из того, что число π трансцендентно, следует, что классическая геометрическая задача квадратуры круга неразрешима. В этой задаче требуется с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга (это эквивалентно тому, чтобы построить отрезок, равный длине окружности). Если построение можно выполнить с помощью циркуля и линейки без делений, оно называется евклидовым.

$\pi$ в законе

Упорно держится миф, что законодательное собрание штата Индиана (иногда говорят, что Айова или Айдахо) как-то раз приняло закон, в котором закрепляется значение π, равное... тут одни говорят, что $3\tfrac{1}{6}$, а другие — что... Это неправда.

Но однажды почти произошло кое-что, почти столь же ужасное. О каком именно значении идет речь, неясно: похоже, обсуждаемый документ содержит девять разных значений и все они ошибочные. Законопроект не прошел, он был «отложен на неопределенный срок», и, по-видимому, до сих пор этот статус сохраняется.

Законопроект 246, предложенный палатой представителей законодательного собрания штата Индиана в 1897 году, уполномочил штат Индиана на исключительное владение «новой математической истиной» без каких-либо затрат. Этот законопроект (билль) был принят на рассмотрение — не было никаких причин отклонить его, ведь он не обязывал штат ни к каким действиям. Он даже был принят единогласно.

Новая истина, однако, оказалась довольно сложной и ошибочной попыткой квадратуры круга, т. е. геометрического построения числа π. Одна газета в Индианополисе опубликовала статью, в которой указывалось, что квадратура круга невозможна. К тому моменту, когда билль поступил в сенат на утверждение, политики — хотя большинство из них ничего не знали о π — почувствовали неладное. (Возможно, им помогли сконцентрироваться усилия профессора Кларенса Вальдо, члена Академии наук Индианы, математика, который оказался в палате представителей, когда обсуждали билль.) Обоснованность математических выкладок не ставили под вопрос, сенаторы решили, что содержание документа не подлежит законодательному утверждению. Поэтому они отложили билль как я уже сказал, 111 лет назад, и он до сих пор остается отложенным.

Почти наверняка математическое содержание билля — детище Эдвина Гудвина, одного доктора, который не чуждался математики. Он жил в деревне Солитюд в округе Пози, штат Индиана, и время от времени заявлял, что справился с трисекцией угла и удвоением куба (это еще два знаменитых и одинаково невозможных подвига, как и квадратура круга). Как бы то ни было, законодательное собрание штата Индиана не предпринимало сознательных попыток узаконить ошибочное значение числа π, хотя есть убедительные аргументы за то, что билль утвердил бы подход Гудвина, подразумевая его истинность в юриспруденции, хотя и не в математике. Это тонкий юридический вопрос.

Если бы его узаконили...

А если бы законодательное собрание Индианы приняло билль 246? А если бы узаконили наихудший сценарий — что законное значение числа π отлично от математического? Последствия впечатляют.

Предположим, что юридически принято некоторое значение $p \not= \pi$, но по закону считается, что $p = \pi$. Тогда

$\frac{p - \pi}{p - \pi} = 1$ математически, но $\frac{p - \pi}{p - \pi} = 0$ юридически.

Математические истины юридически действительны, поэтому по закону теперь $1=0$. У всех убийц есть непоколебимая защита в суде: сознаться в одном убийстве, а затем доказать, что по закону это ноль убийств. И это еще не все. Умножим равенство на миллион и получим, что миллион равен нулю.

Если у гражданина при задержании не нашли наркотиков, это все равно, что у него нашли наркотики на миллион долларов.

Любое утверждение стало бы доказуемым по закону.

Скорее всего, судейское сословие не настолько сильно в логике, чтобы такого рода аргументы были признаны в суде. Но еще более глупые юридические аргументы, часто основанные на неправильном применении статистики, признавались, и из-за этого за решетку на долгие сроки попадали невинные люди. Так что законодатели Индианы едва не открыли ящик Пандоры.

Если $\pi$ — это не дробь, как его вычислить?

Принятое в школе значение $\frac{22}{7}$ для π не точное. Его даже очень хорошим назвать нельзя, хотя в простых ситуациях оно работает. Раз мы понимаем, что π — это не дробь, встает вопрос, как его можно вычислить с большой точностью. Математики делают это, используя разные хитроумные формулы для π; эти формулы абсолютно точны и обязательно включают какой-нибудь процесс, который должен выполняться до бесконечности. Оборвав такой процесс раньше, чем «до бесконечности», мы получим хорошее приближение для π.

Формул для π в математике даже слишком много, это удивительное число любит появляться в огромном количестве прекрасных формул. Как правило, это бесконечные ряды, бесконечные произведения или бесконечные дроби (на это намекают точки «...»). Это не должно вызывать удивления, поскольку простого выражения для π не существует, если только ты не жульничаешь, прибегая к интегральному исчислению. Я приведу несколько известных формул. Самая первая — одно из выражений для π, придуманное Франсуа Виетом в 1593 году. Она связана с 2n-угольником:

$$ \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}\mathstrut} \times \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}\mathstrut} \times \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\mathstrut} \times \cdots $$

Другую формулу придумал Джон Валлис в 1655 году:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{9} \times \cdots $$

Около 1675 года Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц одновременно открыли ряд

$$ \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13} - \cdots $$

Этот ряд сходится слишком медленно для того, чтобы с его помощью вычислять π; чтобы получить хорошее приближение, пришлось бы взять очень уж много слагаемых. Но с этим рядом тесно связаны другие, с помощью которых в XVIII и XIX веках удалось вычислить несколько сот цифр π. В XVII веке лорд Брукнер открыл бесконечную «цепную дробь»

$$ \pi = \cfrac{4}{ 1+\cfrac{1^2}{ 2+\cfrac{3^2}{ 2+\cfrac{5^2}{ 2+\cfrac{7^2}{ 2+\cdots } } } } } $$

а Эйлер — целое семейство формул вроде

$$ \pi^2 = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots \\ \frac{\pi^3}{32} = 1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{11^3}+\cdots \\ \frac{\pi^4}{90} = 1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{6^4}+\cdots $$

(Кстати, для суммы

$$ 1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}+\cdots $$

нет ничего подобного, это необъяснимая загадка. Сумма этого ряда не равна никакому рациональному числу, умноженному на π³. Известно, что она иррациональна.)

Для остальных формул нам понадобится специальный символ суммирования. С его помощью ряд, например, для $\frac{\pi^2}{6}$ записывается компактнее:

$$ \frac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $$

Эту запись надо расшифровать. Вычурный символ для слова «сумма» происходит от греческой буквы «сигма», и означает, что нужно складывать числа, записанные справа от него, а именно $\frac{1}{n^2}$. Запись $n=1$ под символом говорит о том, что начинать суммирование нужно с $n=1$; принято соглашение, что n пробегает все натуральные числа. Знак над символом суммирования означает «бесконечность» и говорит о том, что суммирование нужно проводить «до бесконечности». Итак, здесь записана та же формула для $\frac{\pi^2}{6}$, что и выше, но в виде специальной инструкции: суммируй слагаемые вида $\frac{1}{n^2}$ для $n=1,2,3$ и так далее до бесконечности.

Около 1985 года Джонатан и Питер Боруэйны открыли ряд

$$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{(n!)^4} \times \frac{1103+26390n}{(4\times99)^4n} $$

сходящийся просто стремительно. А в 1997 году Дэвид Бейли, Питер Боруэйн и Саймон Плафф вывели и вовсе невиданную формулу

$$ \pi = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6} \right) \left( \frac{1}{16} \right)^n $$

Что же в ней такого особенного? Она позволяет вычислять определенную цифру в записи π, не вычисляя предыдущие цифры. Единственная закавыка — это не десятичные цифры, а шестнадцатеричные (по основанию 16); из неё еще можно получить нужную цифру в записи по основанию 8, 4 или 2. В 1998 году Фабрис Беллар использовал эту формулу и показал, что стомиллиардная шестнадцатеричная цифра числа π равна 9. Через два года был побит рекорд в 250 триллионов шестнадцатеричных цифр (или один квадриллион двоичных).

Нынешний рекорд для десятичных цифр числа π принадлежит Ясумасе Канаде с коллегами — в 2002 году они вычислили 1,2411 триллиона цифр¹.

* * *

Что такое e и почему?

Число e, приблизительно равное 2,7182, — это «основание натуральных логарифмов», и в самом термине уже слышится история его происхождения.

Основание натуральных логарифмов возникает в разных ситуациях. Ты можешь встретить его, например, наблюдая, как растут денежные суммы на счете, когда сложные проценты применяются ко все более кратким промежуткам времени.

Представь себе, что ты положил на счет в Банке Логарифмании один рубль.

Ах нет, мы живем в XXI веке, сейчас никто не кладет деньги в банк, все берут кредиты. Итак, представим себе, что у тебя долг по кредитной карте 1 рубль. (Сумма в 34 675,23 руб. кажется более правдоподобной, но с одним рублем проще иметь дело.) После того как льготный период закончился — примерно через неделю после оформления карты, банк начисляет на эту сумму проценты: 100% годовых. Через год ты должен им

1 руб. долга + 1 руб. процентов = 2 руб. всего.

Если же каждые полгода начисляются 50% (сложных процентов, т. е. проценты начисляют не только на одолженную сумму, но и на начисленные проценты), то через год твой долг будет таким:

1 руб. долга + 0,5 руб. процентов + 0,75 руб. процентов = 2,25 руб. всего.

Число 2,25 здесь появилось как $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2$, и эта формула обобщается и для других случаев. Так, если бы сложные проценты начислялись 10 раз в год, по 10 процентов, то через год твой долг составил бы

$$ \left(1+\frac{1}{10}\right)^{10} = 2{,}5937 \;\text{(руб.).} $$

Банку нравится такой рост, и он решает начислять проценты еще чаще. Скажем, по 1% каждую сотую часть года, тогда сумма достигнет

$$ \left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} = 2{,}7048 \;\text{(руб.).} $$

Если начислять 0,1% каждую тысячную часть года, то через год получится

$$ \left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000} = 2{,}7169 \;\text{(руб.).} $$

И так далее.

Интервалы делаются все мельче и мельче, но общая сумма не растет беспредельно. На самом деле она становится все ближе и ближе к числу 2,7182 — именно это число и стали обозначать буквой e. Это одно из тех странных чисел, вроде π, которые возникают в математике естественным образом, но не выражаются в виде обыкновенной дроби, поэтому для них придумывают специальное обозначение. Это число очень важно для математического анализа и широко используется в научных приложениях.

* * *

Самая красивая формула

Иногда кто-нибудь устраивает опрос: какая формула в математике самая красивая (да, так бывает, я ничего не придумываю, честное слово), и почти всегда побеждает знаменитая формула, открытая Эйлером, в которой комплексные числа связывают между собой две знаменитые постоянные — e и π. Это формула

$$ e^{i\pi}=-1 $$

она играет большую роль в разделе математики, известном как комплексный анализ.

Почему формула Эйлера верна?

Меня часто спрашивают, можно ли доступно объяснить формулу Эйлера $e^{i\pi}=-1$. Оказывается, можно, но потребуется некоторая подготовка — около двух лет обучения математике в вузе.

Это напоминает шутку об одном профессоре, сказавшем на лекции, что некий факт очевиден. Когда его попросили пояснить, лектор вышел на полчасика, затем вернулся, подтвердил: «Да, действительно очевиден» — и как ни в чем не бывало продолжил читать лекцию. Только «полчасика» надо заменить на «два года». Итак, я собираюсь дать доступное объяснение. Пропусти его, если не видишь смысла в этом кусочке. Или не пропускай, и тогда увидишь, как высшая математика иногда рождает новые идеи, смешивая уже известные причудливыми способами. Необходимые ингредиенты — немного геометрии, капелька дифференциальных уравнений и чуток комплексного анализа.

Основная идея в том, чтобы решить дифференциальное уравнение

$$ \frac{dz}{dt}=iz, $$

где $z$ — комплексная функция от времени $t$, а начальное условие — $z(0)=1$. Из курса дифференциальных уравнений хорошо известно, что решение этого уравнения — функция

$$ z(t)=e^{it}. $$

На самом деле ты можешь определить таким образом экспоненциальную функцию.

Рис. 125. Геометрия дифференциального уравнения

Дадим геометрическую интерпретацию этого уравнения. Умножение на $i$ — это то же самое, что поворот на прямой угол, поэтому вектор $iz$ перпендикулярен $z$. Касательный вектор $iz$($t$) к решению в любой точке $z$($t$) всегда перпендикулярен радиус-вектору от 0 до $z$($t$), а длина его равна 1. Значит, решение $z$($t$) всегда лежит на единичной окружности, а точка $z$($t$) движется по этой окружности с угловой скоростью 1, измеряемой в радианах в секунду (рис. 125). (Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.) Длина окружности единичного радиуса равна 2π, поэтому точка $t=\pi$ расположена на полпути по окружности. Очевидно, это точка $z=-1$. Следовательно, $e^{i\pi}=-1$, это и есть формула Эйлера.

Ингредиенты этого доказательства хорошо известны, но вся история не так знаменита. Разобраться, почему окружности (связанные с π) имеют отношение к экспонентам (определяются через e), — серьезный шаг. При должной подготовке формула Эйлера уже не выглядит такой загадочной.

* * *

Что такое золотое сечение

Древние греки придумали чудесную идею, которую назвали «деление в крайнем и среднем отношении». Вот как они это понимали: точка $P$ на отрезке $AB$ делит этот отрезок в крайнем и среднем отношении, если отношения $AP : AB$ и $PB : AP$ равны. Евклид использовал эту конструкцию в своей работе о правильных пятиугольниках, и сейчас я объясню почему. Но сначала, раз уж в наше время доступна роскошь заменять отношения числами, переведу геометрический рецепт в алгебраический. Возьмем отрезок $PB$ единичной длины и обозначим $AP=x$, так что $AB=1+x$. Тогда по условию

$$ \frac{1+x}{x}=\frac{x}{1} $$

или $x^2-x-1=0$. У этого квадратного уравнения такие решения:

$$ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618034\cdots \\ \text{и} \\ 1-\varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0{,}618034\cdots $$

Символ φ — это греческая буква «фи». Число φ, которое называют числом золотого сечения или золотым числом, обладает замечательным свойством: обратное ему равно

$$ \frac{1}{\varphi}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0{,}618034\cdots=\varphi-1 $$

Рис. 63. Как φ появляется в правильном пятиугольнике

С золотого сечения в геометрической форме деления в крайнем и среднем отношении начиналась греческая геометрия правильных пятиугольников и связанных с ними тел — додекаэдра и икосаэдра. Дело вот в чем: если ты начертишь правильный пятиугольник с единичной стороной, то длина диагонали будет равна φ (рис. 63).

На золотое сечение часто смотрят с эстетической точки зрения. В частности, «самым красивым» считается прямоугольник, стороны которого относятся как φ : 1. У этого мнения нет серьезного фактического подкрепления. Многие методы представления числовых данных преувеличивают роль золотого сечения, так что возможно «вывести» наличие золотого сечения там, где его нет и в помине. Утверждения о том, что в дизайне знаменитых древних сооружений, таких как пирамида Хеопса или Парфенон, использовано число φ, по-видимому, беспочвенны. Как и в нумерологии, если искать достаточно долго, то найдешь все что хочешь. (Например, в слове «Парфенон» 8 букв, а в слове «Хеопс» — 5, отношение этих чисел 8 : 5 = 1,6 очень близко к φ.)

Рис. 64. Раковина наутилуса — логарифмическая спираль, но коэффициент ее роста вовсе не золотое число

Еще одно распространенное заблуждение — что золотое сечение встречается в спиральных раковинах наутилуса. Эта красивая раковина с большой степенью точности описывается логарифмической спиралью. Здесь отношение величины каждого завитка к величине предыдущего постоянно. Существует спираль, в которой это отношение равно золотому сечению, но в спирали наутилусов оно другое (рис. 64).

Выражение «золотое сечение» относительно современное. Историк Роджер Херц-Фишлер утверждает, что впервые оно появилось в 1835 году в книге Мартина Ома Die Reine Elementar-Mathematik («Чистая элементарная математика»), а вовсе не у древних греков.

Золотое сечение тесно связано со знаменитыми числами Фибоначчи, рассказ о них впереди.

* * *

Постоянные с точностью до 50 знаков

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 11;

е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 96;

√2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 95;

√3 = 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 942 805 253 810 38;

ln 2 = 0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 176 568 075 500 134 360 26;

φ = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 76;

γ = 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 94;

δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 617 258 185 577 475 76.

Здесь φ — золотое число (см. с. 99), γ — постоянная Эйлера (см. с. 98), δ — постоянная Фейгенбаума, которая играет важную роль в теории хаоса (см. с. 120). Источники: Wikipedia: Logistic map, Wolfram Mathworld: Feigenbaum Constant.

¹ 19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо вычислили с точностью в 10 триллионов цифр после запятой. — Прим. перев.

Показать комментарии (1)

Свернуть комментарии (1)

Gli4i 29.05.2018 17:08 Ответить

Такая сводка очень пригодилась бы мне на втором курсе, когда задание на "автомат" по программированию было посчитать пи до тысячного знака.

Опечатки в формулах:
>а Эйлер — целое семейство формул вроде...

Опечатка в первой формуле: не та левая часть, должно быть п^2/6 = ... (как потом в тексте корректно и написано).

Опечатка во второй формуле: не то третье слагаемое, должно быть 1 - 1/3^3 + 1/5^3 -... (проверка: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum((-1)%5E(n%2B1)%2F(2n-1)%5E3,+n+%3D+1+to+infty))

Ответить