«Математические головоломки профессора Стюарта». Главы из книги

Без улик

Из мемуаров доктора Ватсапа

Листая потрепанные страницы своих записных книжек, я вспоминаю бесчисленные загадки, которые Сомс решал, обращая внимание на улики столь тонкие, что они успешно ускользали от внимания менее острых умов. В памяти всплывают такие дела, как приключение суссекского эмпайра (замечательная таинственная история спортивной раздевалки, решающую роль в разгадке которой сыграл слишком быстро истершийся мяч для крикета), история коровы со сломанным рогом, покушение на тройное убийство подсвинка и дело о пропавшем пироге. Однако среди этих дел одно стоит особняком: это загадка, единственным ключом к которой служило полное отсутствие каких бы то ни было зацепок и улик.

Дело происходило в мокрый пасмурный вторник, когда улицы Центрального Лондона были заполнены густой смесью дыма и тумана. Мы отказались на некоторое время от активного преследования преступников ради раздумий у теплого огня в компании объемистых бокалов вездесущего и даже немного надоевшего кларета.

— Послушайте, Сомс, — заметил я.

Мой коллега перебирал толстую стопку фотографических пластинок, запечатлевших отпечатки копыт в грязи и полученных с использованием нового, улучшенного Истманом желатинового процесса Мэддокса. Его единственной реакцией на мое восклицание стало раздраженное:

— Вы нигде не видели моей коллекции фотографий упряжных лошадей, Ватсап?

Однако я человек упрямый.

— В этом деле нет ни одной зацепки, Сомс.

— Оно такое не одно, — мрачно пробормотал он.

— Нет, я имею в виду... вообще никаких указаний, ни одной улики.

Вот теперь мои слова его наконец заинтересовали, я ясно это видел. Он взял газету из моей протянутой руки и взглянул на диаграмму.

— В данном случае правила очевидны, Ватсап, хотя их здесь и нет.

— Почему?

— Они должны быть достаточно простыми, чтобы мотивировать читателя к разгадыванию загадки, но создавать при этом достаточно сложную задачу, способную удержать интерес.

— Несомненно. Так какие же здесь правила, Сомс?

— Ясно, что в каждой строке и в каждом столбце должны содержаться числа 1, 2, 3 и 4 ровно по одному разу каждое.

— Ах! Так это комбинаторная задачка, разновидность латинского квадрата.

— Да, но этого мало. Очевидно, что важны также две области, разграниченные жирной черной линией. Я предполагаю, что числа в той и другой области при сложении должны давать одинаковую сумму... Да, тогда решение будет единственным.

— Ага! Интересно, какое это решение.

— Вы же знаете мои методы, Ватсап. Воспользуйтесь ими, — и он вернулся к рассматриванию фотографических пластинок.

Знак одного

Из мемуаров доктора Ватсапа

— Сомс! Вот симпатичная головоломка. Она могла бы заинтересовать вас.

Хемлок Сомс положил кларнет, на котором только что исполнял боливийскую погребальную мелодию.

— Я в этом сомневаюсь, Ватсап.

Меланхоличное настроение преследовало моего друга уже несколько недель, и я намеревался во что бы то ни стало встряхнуть его.

— Задача в том, чтобы выразить целые числа 1, 2, 3 и т. д. с использованием не более чем...

— Четырех четверок, — сказал Сомс. — Я хорошо знаю эту задачу, Ватсап¹.

Я решил, что не позволю отсутствию интереса с его стороны смутить меня.

— Основные арифметические символы позволяют таким образом добраться до 22. Знак квадратного корня повышает этот предел до 30. Знак факториала — до 112; знак возведения в степень — до 156...

— А субфакториала — до 877, — закончил за меня Сомс. — Это старая задачка, и ее уже давно выжали досуха.

— Что такое субфакториал, Сомс? — спросил я, но он уже уткнулся носом во вчерашний выпуск Daily Wail ².

Однако не прошло и минуты, как он вновь показался из-за газетного листа.

— Имейте в виду, Ватсап, существует множество возможных вариантов. Использование именно четверки дает нам значительную свободу, к тому же всего из одной четверки можно получить несколько весьма полезных чисел. К примеру, \(\sqrt{4} = 2\) и \(4! = 24\).

— А что означает здесь восклицательный знак? — поинтересовался я.

— Факториал. К примеру, \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1\). Что, как я уже сказал, равно \(24\).

— О-о.

— Эти дополнительные числа достаются нам бесплатно и существенно облегчают задачу. Но вот интересно... — его голос почти затих.

— Что интересно, Сомс?

— Интересно, как далеко можно продвинуться, если использовать четыре единицы.

Внутренне я ликовал, поскольку в нем явно пробудился интерес. А вслух сказал:

— Да, я понимаю. Теперь \(\sqrt{1} = 1\) и \(1! = 1\), так что «бесплатно» ничего не возникает. Это усложняет задачу, но делает ее, возможно, более достойной нашего внимания.

Он хмыкнул, и я поспешил реализовать свое крохотное преимущество. Лучший способ заинтересовать Сомса состоит в том, чтобы попробовать решить задачу самостоятельно и потерпеть неудачу.

— Понятно, что \(1 = 1 \times 1 \times 1 \times 1\), а также

\( \displaystyle 2 = (1 + 1) \times 1 \times 1\),

\( \displaystyle 3 = (1 + 1 + 1) \times 1\),

\( \displaystyle 4 = 1 + 1 + 1 + 1\),

но выражение для 5 мне уже не дается.

Сомс поднял одну бровь.

 — Вы могли бы рассмотреть выражение

\( \displaystyle 5 = \frac{(1 \,/\, 0{,}1)}{(1 + 1)}\).

— Хм, хитро! — воскликнул я, но Сомс только фыркнул. — Но как насчет 6? — продолжал я. — Я вижу, как получить шестерку с использованием факториала:

\( \displaystyle 6 = (1 + 1 + 1)! \times 1\).

На самом деле мне нужны только три единицы, но от всех лишних легко избавиться посредством умножения на них.

— Элементарно, — пробормотал он. — А рассматривали ли вы такой вариант, Ватсап?

\( \displaystyle 6 = \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} + \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)}\).

Или, скажем, такой:

\( \displaystyle 6 = \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} \right)!\),

если вы настаиваете на использовании факториалов. Разумеется, чтобы использовать все четыре единицы, вы можете умножить на \(1 \times 1\), или на \(1 \,/\, 1\), или прибавить \(1 - 1\).

Я непонимающе воззрился на формулу.

— Я узнаю десятичную точку, Сомс, но что означают скобки вокруг 1?

— Период, — ответил Сомс устало. — Нуль запятая 1 в периоде соответствует 0,11111... до бесконечности. Единица в периоде дает число, равное в точности \(1 \,/\, 9\). Разделив на это единицу, получим 9, корень из 9 равен 3...

— А дальше \(3 + 3 = 6\), — возбужденно вскричал я. — И еще, конечно,

\( \displaystyle 7 = (1 + 1 + 1)! + 1\)

обходится без всяких корней. Но 8 — совсем другое дело...

— Обратите внимание, пожалуйста, — сказал Сомс.

\( \displaystyle 8 = 1 \,/\, 0{,}(1) - 1 \times 1\)

\( \displaystyle 9 = 1 \,/\, 0{,}(1) + 1 - 1\)

— Ага! Вот это да! И дальше

\( \displaystyle 10 = 1 \,/\, 0{,}(1) + 1 - 1 \)

\( \displaystyle 11 = 1 \,/\, 0{,}(1) + 1 + 1 \)

и...

— Вы щедро тратите свои единицы, — заметил Сомс. — Лучше приберечь их для дальнейшего.

Он написал:

\( \displaystyle 10 = 1 \,/\, 0{,}1\)

\( \displaystyle 11 = 11\)

и добавил:

— Обратите внимание на отсутствие символа периода, Ватсап. На этот раз это обычная десятичная дробь 0,1. А-а, и вам следует домножить то и другое на \(1 \times 1\), чтобы не оставлять лишних единиц или потратить их еще каким-то способом из тех, о которых я упоминал. Но вообще-то можно опускать эти лишние единицы, ведь позже мы найдем, куда их можно употребить.

— Да! Вы имеете в виду что-то вроде

\( \displaystyle 12 = 11 + 1 \times 1\)

\( \displaystyle 13 = 11 + 1 + 1\)

\( \displaystyle 14 = 11 + \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)}\)

и т. д.?

По губам Сомса промелькнула тень улыбки.

— Вы точно все схватили, Ватсап!

— Но как насчет 15? — спросил я.

— Тривиально, — вздохнул он и написал:

К этому я триумфально добавил:

\( \displaystyle 16 = 1 \,/\, 0{,}1 + \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} \right)!\)

\( \displaystyle 17 = 11 + \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} \right)!\)

\( \displaystyle 18 = 1 \,/\, 0{,}(1) + 1 \,/\, 0{,}(1)\)

\( \displaystyle 19 = 1 \,/\, 0{,}1 + 1 \,/\, 0{,}(1)\)

\( \displaystyle 20 = 1 \,/\, 0{,}1 + 1 \,/\, 0{,}1\)

\( \displaystyle 21 = 1 \,/\, 0{,}1 + 11\)

\( \displaystyle 22 = 11 + 11\)

и Сомс одобрительно кивнул.




— Вот теперь задача начинает становиться интересной, — заметил он. — Как насчет 23? Справитесь?

— Есть, Сомс! — воскликнул я.

\( \displaystyle 23 = \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} + 1 \right)! - 1\)

\( \displaystyle 24 = \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} + 1 \right)! \times 1\)

\( \displaystyle 25 = \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} + 1 \right)! + 1\)

— Мы помним, — пояснил я, — что \(4! = 24\), как вы столь мудро заметили. Здорово, Сомс! Хотя 26 я не смог бы выразить, даже если бы на кону была моя жизнь.

— Ну... — начал он и остановился.

— Ага, застряли, не так ли?

— Ни в малейшей степени. Я просто думал о том, есть ли необходимость вводить новый символ. Конечно, он немало облегчит нам жизнь. Ватсап, слышали ли вы когда-нибудь о функциях округления, которые еще называют «пол» и «потолок»?

Мой взгляд против моей воли метнулся за подсказкой вниз, к ногам, а затем вверх, поверх головы Сомса, но вдохновение меня не осенило.

— Вижу, что не слышали, — сказал Сомс. «Откуда он знает, что я думаю? — подумал я. — Это даже...»

— Жутковато... да, разве не так? Я читаю вас, как открытую книгу, Ватсап. И эта книга, вероятно, «Сказки матушки Гусыни». Так вот эти функции выглядят так:

\(\lfloor \, x \, \rfloor = \) наибольшему целому числу, меньшему или равному \(x\) (пол, или округление вниз);

\(\lceil \, x \, \rceil = \) наименьшему целому числу, большему или равному \(x\) (потолок, или округление вверх), и вы скоро поймете, что они незаменимы в задачах вроде этой.

— Прекрасно, Сомс. Хотя я, признаюсь, не понимаю...

— Идея, Ватсап, в том, что посредством этих функций мы можем выразить полезные небольшие числа при помощи только двух единиц. К примеру,

\(3 = \Bigl\lfloor \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rfloor\) — еще один способ выразить 3, использовав всего две единицы, а

\( 4 = \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil\) — новый способ. — Видя мое недоумение, он добавил: — Обратите внимание, \(\sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} = \sqrt{10\mathstrut} = 3,162\). Пол от этого числа равен 3, а потолок — 4.

— Ну да... — с сомнением проговорил я.

— Тогда мы идем дальше, потому что

\( \displaystyle 26 = \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil ! + 1 + 1\)

\( \displaystyle 27 = \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil ! + 1 \,/\, 0.1\)

\( \displaystyle 28 = \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil ! + \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil\)

Не говоря уже о других возможных вариантах.

Тысячи разрозненных мыслей метались в моей голове. Одна в конце концов выступила перед.

— Но, Сомс, я только сейчас понял, что

\( \displaystyle 5 = \Biggl\lceil\sqrt{\Bigl\lceil\sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil !} \Biggr\rceil\),

потому что \(\sqrt{24} = 4{,}89\), а потолок этого числа равен 5. Поэтому я смогу теперь представить 29 и 30!

Говоря это, я имел в виду просто 30, а не факториал 30, вы понимаете. Пунктуация в математике — такая морока.

Знак одного: часть вторая

Сомс начал, как одержимый, расхаживать по комнате из угла в угол. Внутренне я громко кричал «Ура!», поскольку ясно видел, что он попался на крючок. Теперь я мог спокойно «вываживать» его, чтобы вывести из черной депрессии, в которую он умудрился впасть, и заодно избавить себя от боливийских погребальных напевов.

— Мы должны действовать систематически, Ватсап! — объявил он.

— Каким образом, Сомс?

— Более систематическим образом, Ватсап, — воцарившееся молчание заставило его поубавить загадочности. — Мы должны составить список небольших чисел, которые можно получить с использованием всего лишь двух единиц. Соединяя их, мы сможем... ну, я уверен, через минуту вы все поймете.

После этого Сомс записал:

\( \displaystyle 0 = 1 - 1\)

\( \displaystyle 1 = 1 \times 1\)

\( \displaystyle 2 = 1 + 1\)

\( \displaystyle 3 = \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)\mathstrut}\)

\( \displaystyle 4 = \Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0{,}1\mathstrut} \Bigr\rceil\)

\( \displaystyle 5 = \Biggl\lceil\sqrt{\Bigl\lceil\sqrt{1 \,/\, 0.1\mathstrut} \Bigr\rceil !} \Biggr\rceil \)

\( \displaystyle 6 = \left( \sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} \right)!\)

На этом этапе Сомса заклинило.

— Признаюсь, 7 и 8 пока не даются мне, на их местах останутся лакуны, — сказал он. — Но это не важно, позвольте мне продолжить:

\( \displaystyle 9 = 1 \,/\, 0{,}(1)\)

\( \displaystyle 10 = 1 \,/\, 0{,}1\)

\( \displaystyle 11 = 11\).

— Признаюсь, я пока не...

— Будьте уверены, Ватсап, вы все поймете. Предположим, для обобщения, что мы придумали, как выразить 7 и 8 при помощи двух единиц. Тогда в нашем распоряжении окажутся все числа от 0 до 11. Теперь в случае, если некое число \(n\) можно выразить при помощи двух единиц, мы получим возможность выразить все числа между \(n - 11\) и \(n + 11\) при помощи всех четырех единиц — просто вычитая или складывая выражения из моего систематического списка.

— Ах, теперь я понял, — сказал я.

— Обычно вам это удается, после того как я вам расскажу, — саркастически отозвался он.

— Тогда позвольте мне кое-что добавить, чтобы показать, что я и правда понял! Поскольку мы знаем, как выразить 24 при помощи двух единиц, к примеру, как \(\Bigl\lceil \sqrt{1 \,/\, 0{,}1\mathstrut} \Bigr\rceil\!\), мы мгновенно получаем возможность выразить все числа от \(24 - 11\) до \(24 + 11\) при помощи четырех единиц. Это значит, что мы получаем все числа в диапазоне от 13 до 35 включительно.

— Вот именно! Думаю, записывать это не обязательно.

— Да, наверное. Ага! Мы можем пойти еще дальше! Взгляните:

— Да, — ответил он. — Однако, пока энтузиазм не унес вас в несказанные дали, я напомню, что у нас пока нет выражений для 7 и 8 с использованием только двух единиц.

Я принял подобающе удрученный вид. Но затем меня осенила дикая мысль.

— Сомс? — спросил я нерешительно.

— Да?

— Факториалы делают числа больше?

Он раздраженно кивнул.

— А извлечение квадратного корня делает их меньше, так?

— Согласен. Переходите же к делу!




— А операции округления в пол и в потолок вновь делают числа целыми?

Я видел, как на его лице медленно проступает понимание.

— Браво, Ватсап! Да, теперь понятно. Мы знаем, к при меру, как выразить 24 при помощи двух единиц. Следовательно, мы можем также выразить 24! При помощи все тех же двух единиц, а это будет... — его брови сошлись к переносице — 620 448 401 733 239 439 360 000. А корень квадратный из этого числа, — его лицо покраснело от напряжения, пока он производил в уме соответствующие расчеты, — равен 887 516,46; еще раз извлечем квадратный корень, получим 942,08; а еще раз — 30,69.

— Так что мы можем выразить 30 и 31 с использованием всего лишь двух единиц, — сказал я. — А именно:

\( \displaystyle 30 = \left\lfloor\sqrt{\sqrt{\sqrt{\bigl( \bigl( \left\lceil 1 \,/\, 0{,}1 \right\rceil ! \bigr) ! \bigr) }}}\right\rfloor\)

\( \displaystyle 31 = \Biggl\lceil\sqrt{\sqrt{\sqrt{\bigl( \bigl( \left\lceil 1 \,/\, 0{,}1 \right\rceil ! \bigr) ! \bigr) }}}\Biggr\rceil\)

— Ни то ни другое, разумеется, не помогает нам выразить 7 и 8 через две единицы, но если бы мы могли это сделать, то расширили бы диапазон наших чисел до \(31 + 11\), то есть до 42. И все это говорит о том, что нам, как вы столь убедительно сказали, Сомс, следует действовать систематически. Я предлагаю теперь исследовать многократное извлечение квадратного корня из факториала чисел, которые мы можем выразить через две единицы.

— Согласен! И совершенно очевидно, — заявил тут же Сомс, — что такое выражение для 7 сразу же даст нам выражение для 8.

— Э-э... правда?

— Естественно. Поскольку \(7! = 5040\), квадратный корень из этого числа равен 70,99, а следующий квадратный корень равен 8,42, мы делаем вывод, что

\(\displaystyle 8 = \biggl\lfloor \sqrt{\sqrt{(7!)}} \biggr\rfloor \)

— Так что не впервые в истории человечества ключом к загадке является число 7! (В этих словах, дорогой читатель, он подчеркивал число 7 восклицательным знаком, а не имел в виду факториал. Пожалуйста, обратите на это внимание, я об этом уже упоминал.)

Сомс нахмурился.

— Я могу сделать это, если использую двойной факториал.

— Вы имеете в виду факториал факториала?

— Нет.

— Субфакториал? Вы пока не объяснили...




— Нет. Двойной факториал — это немного запутанная штука; он равен

для четных \(n\) и

для нечетных. Так, к примеру,

\(\displaystyle 6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48\).

Корень квадратный из этого числа равен 6,82, а его потолок равен 7.

Я послушно записал:

\(\displaystyle 7 = \biggl\lceil \sqrt{\left( \left(\sqrt{1 \,/\, 0{,}(1)} !\right)!!\right)} \biggr\rceil \)

Но Сомс по-прежнему выглядел недовольным.

— Проблема в том, Ватсап, что при помощи введения все более загадочных и вычурных арифметических функций можно с легкостью выразить вообще любое число. К примеру, мы могли бы воспользоваться арифметикой Пеано.

Я шумно запротестовал:

— Сомс, вы же знаете, что наша хозяйка не устает жаловаться на ваш кларнет. Она никогда не позволит поставить к нам пианино!

— Я говорило Джузеппе Пеано, так звали итальянского математика и специалиста по логике, Ватсап.

— Откровенно говоря, не такая уж большая разница. Я не уверен, что миссис Сопсудс...

— Тихо! Согласно арифметической аксиоматике Пеано, наследником любого целого числа является число

\(\displaystyle s\,(n) = n + 1\).

— Так что Пеано вполне мог бы записать:

\(\displaystyle 1 = 1\),

\(\displaystyle 2 = s\,(1)\),

\(\displaystyle 3 = s\,(s\,(1))\),

\(\displaystyle 4 = s\,(s\,(s\,(1)))\),

\(\displaystyle 5 = s\,(s\,(s\,(s\,(1))))\),

и эта последовательность будет продолжаться до бесконечности. В этой системе любое целое число можно выразить при помощи всего одной единицы. Или даже одного нуля, поскольку \(1 = s\,(0)\). Это слишком тривиально, Ватсап.

Знак одного. Часть третья

Горы бумаг, испещренных загадочными письменами, росли как грибы на всех горизонтальных поверхностях обиталища Сомса. В этом, как вы понимаете, ничего необычного не было; миссис Сопсудс часто и притом совершенно безрезультатно ругала его за способ хранения бумаг, больше напоминающий глубокие залежи мусора. Но на этот раз каракули на листах представляли собой результаты суммирования.

— Я могу получить 8 из двух единиц, не прибегая к помощи гипотетического выражения для 7, — объявил я. — Вот так:

\(\displaystyle 8 = \left\lfloor \surd\!\surd\!\surd(11!) \right\rfloor \).

Но даже под угрозой смерти я не в состоянии получить 7.

— Действительно, это число, судя по всему, является камнем преткновения, — согласился со мной Сомс. — Но ваш результат позволяет нам продвинуться и другими способами:

\(\displaystyle 14 = \left\lfloor \surd\!\surd(8!) \right\rfloor \)

\(\displaystyle 15 = \left\lceil \surd\!\surd(8!) \right\rceil \)

где, разумеется, вместо восьмерки мы при необходимости подставляем ваше выражение. Я мог бы расписать это выражение полностью...

— Нет-нет, Сомс, вы меня убедили!

— Но теперь у нас образовалось еще две лакуны на 12 и 13. Однако, Ватсап, я подозреваю, что эти проблемы взаимосвязаны. Так, посмотрим... Ну да,

\(\displaystyle 32 = \left\lfloor \surd\!\surd\!\surd(15!) \right\rfloor \),

а 15 на основе двух единиц у нас уже есть. Тогда

\(\displaystyle 12 = \left\lfloor \surd\!\surd\!\surd\!\surd\!\surd(32!) \right\rfloor \),

\(\displaystyle 13 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd\!\surd\!\surd(32!) \right\rceil \)

и далее

\(\displaystyle 16 = \left\lfloor \surd\!\surd\!\surd(13!) \right\rfloor \),

\(\displaystyle 17 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd(13!) \right\rceil \)

и, наконец,

\(\displaystyle 7 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd\!\surd(16!) \right\rceil \),

что вполне удовлетворительно решает нашу проблему. Таким образом, подставляя по очереди выражения для всех использованных чисел, получаем, что

— Мне невыносимо стыдно, что я не увидел этого сразу.

— Неужели это простейшее решение, Сомс? — вопросил я, проглотив комок в горле. — Надеюсь, что нет!

— Понятия не имею. Возможно, кто-то изобретательный смог бы придумать что-нибудь получше. В подобных вещах трудно сказать наверняка. Я уверен, что тот, кто сумеет превзойти наши слабые усилия, немедленно известит нас телеграммой.

— Во всяком случае, — сказал я, — если нам удастся выразить какое-то целое число при помощи двух единиц, то теперь мы сможем выразить при помощи четырех единиц все числа в диапазоне от \(n - 17\) до \(n + 17\).

— Вот именно, Ватсап. Наша задача упрощается с каждой минутой. Все, что нам нужно, — это последовательность чисел, каждое из которых превосходит предыдущее не более чем на 35, так, чтобы эти интервалы с двух сторон перекрывали пробел. Это позволит нам добраться до наибольшего из таких чисел плюс 17.

— Что означает... — начал я...

— Что мы должны действовать систематически!

— Именно.

— Мы уже добрались... напомните мне, Ватсап. Загляните в свои обширные записи.

Я с головой зарылся в несколько высоких бумажных башен и в конце концов отыскал свой блокнот под чучелом какого-то скунса.

— Мы дошли до 32, Сомс, если учесть замечание, которое вы мимоходом сделали во время поиска выражения для 7.

— И разумеется,

\(\displaystyle 33 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd(15!) \right\rceil \), —

сказал он. — Очень хорошо. Таким образом, в идеале нам нужно выразить числа 68, 103, 138 и т. д. через две единицы. Но мы можем пользоваться при этом готовыми выражениями для маленьких чисел, если так будет удобнее. Лишь бы разница между двумя соседними числами не была больше 35.

Несколько часов усиленных расчетов — и новые кипы бумаги — дали нам короткий, но важный список:

\(\displaystyle 71 = \left\lceil \surd(7!) \right\rceil ;\)

\(\displaystyle 79 = \left\lfloor \surd\!\surd(8!) \right\rfloor ;\)

\(\displaystyle 80 = \left\lceil \surd\!\surd(8!) \right\rceil ;\)

\(\displaystyle 120 = 5! \).

Но на этом все и застопорилось.

— Возможно, я слишком поспешно отказался от использования двойных факториалов, Ватсап.

— Очень может быть, Сомс. Сомс кивнул и записал:

\(\displaystyle 105 = 7!! \)

Затем, в порыве внезапного озарения, добавил:

\(\displaystyle 19 = \left\lfloor \surd(8!!) \right\rfloor \),

\(\displaystyle 20 = \left\lceil \surd(8!!) \right\rceil \).

И воскликнул:

— Если нам удастся найти способ записать 18 при помощи двух единиц, то доступный нам диапазон вокруг целого числа, выражаемого через две единицы, увеличится: мы тогда сможем гарантировать число от \(n - 20\) до \(n + 20\), — он прервался, чтобы перевести дух, и добавил: — Если же нет, то пропущенными в этом диапазоне окажутся только числа \(n - 18\) и \(n + 18\), которые нам, может быть, удастся выразить как-то иначе.

— Мне кажется, пора подвести промежуточный итог, — сказал я и еще раз внимательно просмотрел наши накопившиеся каракули. — По-моему, мы уже выразили через четыре единицы все числа от 1 до 33. Далее

\(\displaystyle 43 = \left\lfloor \surd\!\surd(10!) \right\rfloor ;\)

\(\displaystyle 44 = \left\lceil \surd\!\surd(10!) \right\rceil \)

требуют только двух единиц, так что мы немедленно заполняем все пропуски между 26 и 61. Возникает пробел на 62 (потому что это \(44 + 18\), а на выражении 18 через две единицы мы застряли), но 63 и 64 у нас есть. Далее, опираясь на 80, мы можем добраться до 97. На 98 опять возникает пробел, но 99 и 100 можно получить.

— И намного проще, кстати говоря, — заметил Сомс:

\(\displaystyle 99 = 11 \,/\, 0{,}1 \times 0{,}1;\)

\(\displaystyle 100 = 1 \,/\, (0{,}1 \times 0{,}1) ;\)

\(\displaystyle 101 = 1 \,/\, (0{,}1 \times 0{,}1) + 1; \)

— Таким образом, у нас есть все вплоть до 100, — сказал я, — за исключением 62 и 98.

— Но о 98 позаботится 105, вместе со всеми остальными числами вплоть до 122, — сказал Сомс.

— О, я и забыл, что у нас есть 105 из двух единиц.

— А поскольку \(120 = 5!\), то есть тоже выражается через две единицы, мы можем добраться до 137. Более того, у нас есть еще 139 и 140.

— Так что единственные пробелы до 140 — это 62 и 138, — сказал я.

— Похоже на то, — сказал Сомс. — Интересно, можно ли заполнить эти пробелы каким-то другим способом?

Знак одного. Часть четвертая — завершение

— Да, это острая штучка, — пробормотал я.

— Корнишон, кажется, — заметил Сомс, выдергивая из банки маринованный огурчик и с наслаждением его пережевывая.

Я убрал острое лакомство обратно в буфет вместе с банкой.

— У нас и правда есть возможность, — заметил Сомс, — умножать числа на 3, 9 или 10 с использованием всего одной дополнительной единицы. Для этого достаточно разделить число на \(\sqrt{0{,}(1)}\) , \(0{,}(1)\) или \(0{,}1\).

— Тогда у меня есть вариант! — воскликнул я.

помня, что у нас уже есть выражение для 7 из двух единиц — и даже в двух различных вариантах.

— И у нас остается одна проблема — 138.

— Так, это \(3 \times 46\), — размышлял я вслух. — Можем мы получить 46, используя всего три единицы? Тогда мы могли бы разделить его на \(\sqrt{0{,}(1)}\), как вы предлагали.

Систематическое исследование разных вариантов округления последовательных квадратных корней из факториалов привело нас к неожиданному открытию: 46 можно получить всего из двух единиц. Я покажу здесь только решение: на пути к нему нам пришлось обследовать множество тупиков и потерпеть немало неудач. Начать можно, к примеру, с представления 7 через две единицы:

Затем заметим, что

\(\displaystyle 70 = \left\lfloor \surd(7!) \right\rfloor ;\)

\(\displaystyle 37 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd\!\surd\!\surd\!\surd(70!) \right\rceil ;\)

\(\displaystyle 23 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd\!\surd\!\surd(37!) \right\rceil ;\)

\(\displaystyle 26 = \left\lceil \surd\!\surd\!\surd\!\surd(23!) \right\rceil ;\)

\(\displaystyle 46 = \left\lfloor \surd\!\surd\!\surd\!\surd(26!) \right\rfloor ;\)

\(\displaystyle 138 = 46 \,/\sqrt{0{,}(1)}\).

Двигаясь обратно и подставляя формулы для соответствующих чисел, получим выражение для 138 через три единицы.

— Записать все это явно, Сомс?

— Бога ради, не нужно! Всякий, кто захочет увидеть полную формулу, сможет сделать это самостоятельно.

Вдохновленный неожиданным успехом, я хотел продолжить наш список еще дальше, но Сомс только пожал плечами:

— Может, эта проблема заслуживает дальнейшего рассмотрения. А может, и нет.

Внезапно меня осенило:

— А не можем ли мы доказать, что любое число можно получить из четырех — или меньше — единиц путем подбора полов и потолков повторяющихся квадратных корней из факториалов?

— Вполне возможно, Ватсап, вполне возможно, но я, откровенно говоря, не вижу пути к такому доказательству, к тому же напряжение от такого количества ментальной арифметики начинается сказываться.

Прямо на глазах он вновь начал погружаться в депрессию. В отчаянии я предложил:

— Вы могли бы попробовать логарифмы, Сомс.

— Я думал о них в самом начале, Ватсап. Вы, вероятно, будете удивлены, но использование логарифмов экспоненциальной функции и функции потолка — ничего больше — позволяет выразить любое положительное целое число через одну-единственную единицу.

— Нет-нет, я говорил об использовании логарифмов для облегчения вычислений, а не в формулах... — но Сомс не обратил внимания на мои протесты.

— Вспомните, что представляет собой экспоненциальная функция:

\(\exp \,(x)\, = e^x\), где \(e = 2{,}71828\dots\)

— Обратным по отношению к этой функции является натуральный логарифм

\(\ln \,(x)\, = \) значение \(y\), удовлетворяющее \(\exp \,(y)\, = x\).

— Не правда ли, Ватсап?

Я подтвердил, что, насколько мне известно, дело обстоит именно так.

— Тогда мы просто заметим, что

\(\displaystyle n + 1 = \left\lceil \ln \,\left(\left\lceil \exp \,(n)\, \right\rceil\right)\, \right\rceil \),

что несложно доказать.

Я посмотрел на него с открытым ртом, но сумел-таки выдавить из себя полузадушенное:




— Конечно, Сомс.




— В результате мы можем последовательно записать:

и...

Я поспешно схватил его за правую руку.

— Да, Сомс, я понимаю. Это слегка замаскированная версия метода Пеано, который мы ранее отвергли именно из-за его тривиальности.

— Так что, Ватсап, если разрешить экспоненциальные выражения и логарифмы, игра сразу же закончится.

Я согласился — не без грусти, поскольку он сразу же взял свой кларнет и вновь завел бесконечную пьесу какого-то малоизвестного восточноевропейского композитора, в которой не было ни ритма, ни мелодии. Звук походил на вопль кота, попавшего между валками для отжимания белья. Кота, которому медведь наступил на ухо. Притом охрипшего.

Черное настроение поглотило Сомса окончательно и бесповоротно.

На этом заканчивается «Знак одного».

Правда, я так и не рассказал вам, что такое субфакториал. Ну, ничего, в следующий раз.

---

¹ W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (11^th edition), Macmillan, London 1939.

² Здесь обыгрывается название британской газеты Daily Mail. Daily Wail можно перевести как «Ежедневные вопли». — Прим. ред.