Квадромагические квадраты

Поскольку сумма чисел в вершинах всех единичных квадратов одинакова, то маленькие и большие числа расставляются равномерно по всем кружочкам. Попробуйте придумать такие чередования чисел, чтобы получилась искомая расстановка. В каждом пункте задача имеет несколько решений.

а) Пронумеруем кружочки числами от 1 до 25 слева направо и сверху вниз, а затем раскрасим их в шахматном порядке (рис. 2, слева). Если теперь «закрашенные» числа оставить на месте, а каждое «незакрашенное» число заменить на симметричное ему относительно центра квадрата, то получим расстановку, обладающую таким свойством: сумма четырех чисел, расположенных в кружочках-вершинах всех единичных квадратов, постоянна и равна 52 (рис. 2, справа).

Рис. 2.

б) Опять раскрасим кружочки в шахматном порядке. На этот раз пронумеруем сначала только закрашенные кружочки — «змейкой» сверху вниз и слева направо числами от 1 до 18, как показано слева на рис. 3. Оставшиеся белые кружочки пронумеруем числами от 19 до 36 — тоже «змейкой», но снизу вверх и справа налево, показано в середине на рис. 3.

Рис. 3.

В итоге получим нужную расстановку, в которой суммы четверок чисел, расположенных в кружочках-вершинах всех 25 малых квадратов равны 74 (рис. 3, справа). Этот прием построения квадромагического квадрата придумал А. Домашенко.

Оба приема, использованные в решении задачи для построения подходящих квадромагических квадратов, обобщаются. Покажем, например, что прием построения числового квадрата, описанный в пункте а), является общим методом построения квадромагического квадрата нечетного порядка.

Рис. 4.

В самом деле, рассмотрим какой-либо единичный квадрат в составленном квадромагическом числовом квадрате n-го порядка, где \(n\) — нечетное число (рис. 4). Пусть в его вершинах стоят числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Тогда числа \(a\) и \(d\) закрашены, а значит, они равны номерам кружочков, в которых записаны. Числа \(b\) и \(c\) не закрашены, а значит, они равны числам, записанным в кружочках, центрально-симметричных кружочкам с номерами \(a+1\) и \(d-1\), то есть \(b=n^2-a\), а \(c=n^2-d+2\). Поэтому \(a+b+c+d=2(n^2+1)\), то есть суммы всех четверок чисел в вершинах единичных квадратиков одинаковы и зависят только \(n\) (порядка квадрата). Попутно мы нашли квадросумму для квадрата n-го порядка: она равна \(S=2(n^2+1)\).

Аналогично обосновывается в общем виде и прием построения квадромагического квадрата для четного \(n\).

Рис. 5.

Какие же значения, может принимать квадросумма квадратов 5×5 и 6×6? Оказывается, как показал В. Корсуков, квадросумма квадрата 5×5 может принимать 13 различных значений, а именно все целые значения от 46 до 58. Например, на рис. 5 приведен квадромагический квадрат с квадросуммой \(S=50\).

Приведем 13 квадромагических квадратов с различными квадросуммами, построенные В. Корсуковым. Каждый квадрат записан построчно, строки отделены между собой точкой с запятой. В конце строки указана соответствующая квадросумма.

Рис. 6.

А вот квадросумма квадрата 6×6 всегда единственна и равна 74. Это можно показать, выделив 9 единичных квадратов, в которые входят все 36 чисел (рис. 6). Верно равенство \(9S=1+2+\ldots+36\), значит, \(S=74\).

Повторив эти рассуждения для произвольного квадрата \(n\times n\), где \(n\) — любое четное число, покажем, что его квадросумма равна \(S=2(n^2+1)\). То есть для четных квадратов данного размера квадросумма определяется однозначно.

Сколько и какие значения может принимать квадросумма квадратов \(n\times n\), где \(n\) нечетно, — вопрос пока открытый. Для малых значений \(n\) можно организовать компьютерный перебор. Например, квадромагических квадратов 3×3 всего 47 (с точностью до поворотов и симметрий). При этом квадросумма может принимать любые натуральные значения от 16 до 24, то есть в этом случае имеется всего 9 различных значений, причем в центральном кружочке может располагаться любое число от 1 до 9. Девять таких квадромагических квадратов 3×3 приведены на рис. 7.

Рис. 7.

Среди этих девяти решений есть одно очень интересное — с квадросуммой \(S=20\). Дело в том, что в этой расстановке чисел квадросумму имеют еще два квадрата: образованный угловыми кружочками и образованный кружочками в серединах сторон (рис. 8). Это единственный квадромагический квадрат 3×3, в котором все шесть таких квадросумм равны.

Рис. 8.

Именно его предлагалось найти восьмиклассникам — участникам Всероссийской математической олимпиады 1998 года:

Рис. 9.

Числа от 1 до 9 разместите в кружочках фигуры (рис. 9) так, чтобы сумма четырех чисел, находящихся в кружочках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

Добавление двух квадратов позволяет найти требуемую расстановку путем составления уравнений. Для этого обозначим через \(x\) число, стоящее в центральном кружочке, а через \(S\) — сумму четырех чисел в вершинах квадрата. Тогда получим систему двух уравнений:

На рис. 10 показаны схемы составления обоих уравнений системы. Слева двумя синими окружностями выделены четверки чисел, сумма которых равна \(S\), но все эти восемь чисел вместе с центральным числом \(x\) в сумме дают \(1+2+\ldots+9=45\). Так получается первое уравнение. Если же просуммировать четыре четверки чисел, выделенных синими окружностями на рисунке справа, то центральное число \(x\) будет посчитано четырежды, а четыре числа, расположенные в серединах сторон квадрата (их сумма равна \(S\)) будут посчитаны дважды, — получаем второе уравнение системы.

Рис. 10.

Решая систему этих уравнений, находим \(x= 5\), \(S= 20\). Остался короткий перебор, приводящий к единственной расстановке чисел, показанной на рис. 8.