Непротиворечивость голографического соответствия проверена при помощи конформного бутстрапа

Рис. 1. Рисунок Маурица Эшера «Круговой предел III» (Circle Limit III) являет собой творческую интерпретацию одной из однородных мозаик на гиперболической плоскости, состоящей из правильных треугольников и квадратов. В модели Пуанкаре гиперболической плоскости (или плоскости Лобачевского) все пространство — это внутренность круга, а прямыми являются дуги окружностей, перпендикулярных граничной окружности. Граничная окружность не входит в модель и служит аналогом бесконечности на обычной евклидовой плоскости; в частности, вычисленное по правилам геометрии Лобачевского расстояние от любой точки внутри круга до этой окружности равно бесконечности (как и полная «площадь» всей плоскости). Эта модель обладает как полезными свойствами (например, углы между прямыми в ней не искажаются), так и недостатками, один из которых — искажение размеров: на самом деле все треугольники на этом рисунке одинаковые (как и все квадраты). Также гиперболическая плоскость является двумерным сечением трехмерного антидеситтеровского пространства-времени, соответствующим фиксированному моменту времени. Согласно гипотезе о голографическом соответствии, теория квантовой гравитации на антидеситтеровском пространстве полностью эквивалентна другой теории, не содержащей гравитации, которая «живет» на границе этого пространства. Рисунок из статьи Хуана Малдасены Иллюзия гравитации

Исследование квантовой гравитации является одной из сложнейших задач современной теоретической физики из-за того, что характерный масштаб энергии этой теории на много порядков превышает энергию, которая доступна человечеству для экспериментального изучения в настоящее время. По сути, теоретические догадки невозможно проверить в экспериментах. Это приводит к тому, что ученые вынуждены изучать различные теории квантовой гравитации только «на бумаге» — то есть проверять их на самосогласованность и пытаться извлечь из них какие-то предсказания, которые можно проверить при доступных экспериментаторам энергиях. Важнейшей гипотезой, касающейся квантовой гравитации, является так называемый принцип голографического соответствия. Этот принцип гласит, что любая теория квантовой гравитация, «живущая» на антидеситтеровском пространстве, полностью эквивалента некой негравитационной квантовой теории поля, «живущей» на границе этого пространства и описывающей частицы со спином 1, аналогичные фотонам или глюонам Стандартной модели. В недавней статье группа физиков, используя конформный бутстрап (специальный метод вычисления в квантовой теории поля) и применив принцип голографического соответствия, изучила квантовую теорию гравитации в антидеситтеровском пространстве. Авторы пришли к выводу, что эта теория очень похожа на теорию струн (или даже совпадает с ней), являющуюся сейчас ведущим кандидатом на роль теории квантовой гравитации.

Одной из важнейших задач современной теоретической физики является построение теории квантовой гравитации, которая бы объединила общую теорию относительности Эйнштейна, прекрасно описывающую гравитацию на космических масштабах, и квантовую механику, используемую для описания физики элементарных частиц. Физиками разработана формальная процедура — квантование, которая ставит в соответствие данной классической теории ее квантовый аналог. С помощью этой процедуры были построены все успешные теории физики элементарных частиц — квантовая электродинамика и теории сильных и слабых взаимодействий. Но оказалось, что попытки применения этой процедуры к общей теории относительности приводят к внутренне противоречивой квантовой теории, предсказывающей, что превращение одних частиц в другие происходит с вероятностью больше 1, чего быть не может.

Это означает, что настоящая теория квантовой гравитации представляет собой нечто большее, чем просто наивное квантование общей теории относительности. Сейчас наиболее перспективным кандидатом на роль такой теории является теория струн.

Основой теории струн является постулат о том, что элементарные частицы не точечные, как в квантовой теории поля, на которой основано наше понимание физики частиц в настоящее время, а соответствуют различным колебаниям одномерного фундаментального объекта — струны — с характерным размером порядка так называемой планковской длины (равной приблизительно 10⁻³³ см), которая, как известно еще с начала XX века, должна быть характерным масштабом теории квантовой гравитации. Замена точечных частиц на струны приводит к тому, что в теоретическом описании гравитирующие элементарные частицы при взаимодействии не могут неограниченно близко подойти друг к другу (рис. 2), а именно при таком сближении и возникают «невозможные» вероятности, превышающие единицу.

Рис. 2. Схематическое изображение слияния двух частиц в одну. Слева этот процесс показан так, как он представляется в рамках квантовой теории поля, в которой две частицы должны подойти бесконечно близко друг к другу, чтобы слиться. Справа представлен тот же процесс, но в рамках теории струн. Видно, что во втором случае струны сливаются в другую струну, не сжимаясь в одну точку. Рисунок с сайта en.wikipedia.org

В теории струн разные элементарные частицы соответствуют просто различным колебательным модам струны: чем больше амплитуда колебаний или выше их частота, тем более массивной является частица. Таким образом, теория струн предсказывает наличие бесконечной «башни» все более и более массивных частиц.

Первый вариант теории струн был предложен в 1968 году не для описания квантовой гравитации, а в качестве теории мезонов — сильновзаимодействующих частиц, состоящих из кварка и антикварка, связанных глюонной «струной», обеспечивающей сильное взаимодействие между ними. Но в начале 1970-х годов была разработана квантовая хромодинамика (КХД) — квантовополевая теория сильных взаимодействий, которая лучше описывала взаимодействие адронов (по крайней мере при высоких энергиях КХД правильно количественно предсказывает вероятности превращения одних адронов в другие при адронных взаимодействиях).

Кроме того, выяснилось, что в теории струн обязательно возникает безмассовая частица со спином 2, которой не наблюдалось среди адронов.

Описание физики сильновзаимодействующих частиц с помощью теории струн имело еще два фатальных недостатка. Во-первых, среди частиц, предсказываемых теорией, отсутствовали фермионы, то есть частицы с полуцелым спином, которые прекрасно наблюдаются экспериментально. К фермионам относятся, например, нуклоны — протоны и нейтроны, из которых состоят атомные ядра, — и электроны. А во-вторых, в спектре частиц теории присутствовал тахион — частица с отрицательным квадратом массы, которая всегда движется быстрее света, что несовместимо с теорией относительности. Эти теоретические проблемы привели к тому, что теория струн была заброшена многими физиками, занимавшимися теорией поля и элементарными частицами.

Ситуация изменилась в середине 1980-х годов, когда была разработана так называемая теория суперструн, содержащая в своем спектре фермионы и не предсказывающая тахиона (основополагающие публикации: M. B. Green, J. H. Schwarz, 1984. Anomaly cancellations in supersymmetric D = 10 gauge theory and superstring theory; D. J. Gross et al., 1985. Heterotic String; P. Candelas et al., 1985. Vacuum configurations for superstrings). С тех пор физики работают только с ней, так что ее стали называть просто теорией струн, что мы и будем в основном делать ниже. Приставка «супер» возникла из-за того, что теория суперструн предсказывает существование определенной гипотетической симметрии между частицами с целым и полуцелым спином — суперсимметрии, — которая проявляется только при очень высоких энергиях (в экспериментах рекордная энергия столкновения частиц имеет порядок 10 ТэВ, но этого слишком мало), а разработана большей частью в теоретических статьях. Кроме того, исследователи поняли, что безмассовую частицу со спином 2 нужно интерпретировать как гравитон — частицу, переносящую гравитационные взаимодействия (аналогично фотону, ответственному за электромагнитное взаимодействие). Одним из самых важных свойств теории суперструн было то, что взаимодействие этой частицы с другими частицами стало самосогласованным — все вычисления приводили к конечным результатам.

Одним из интересных следствий из теории струн является предсказание размерности пространства-времени из требования математической самосогласованности теории (отсутствие все тех же вероятностей, превышающих 1, которые возникают при попытке наивного построения квантовой гравитации на основе общей теории относительности). Эта размерность, правда, оказалась равной не 4, а 10, что на первый взгляд несовместимо с нашим повседневным опытом. Предлагаемое решение этого несоответствия таково: десятимерное пространство-время, предсказываемое теорией струн, является на самом деле прямым произведением — в каждой точке нашего четырехмерного пространства-времени расположено крошечное шестимерное пространство специального вида, называемое многообразием Калаби — Яу (двумерные проекции таких многообразий изображены на рис. 3).

Рис. 3. Согласно теории струн, в каждой точке наблюдаемого нами четырехмерного пространства-времени есть микроскопические шестимерные пространства специального вида, называемые многообразиями Калаби — Яу, так что полная размерность пространства-времени равна десяти. Несмотря на то, что эти пространства слишком маленькие для того, чтобы мы могли их прямо наблюдать, от их формы зависят свойства элементарных частиц. На рисунке схематично изображены двумерные проекции шестимерных многообразий Калаби — Яу. Рисунок с сайта timeone.ca

В настоящее время неизвестен теоретический принцип, который позволил бы выделить из всего огромного количества многообразий Калаби — Яу какой-то один вариант, соответствующий нашей Вселенной, чтобы можно было проверять предсказания свойств элементарных частиц, следующих из вида этого пространства. Нахождение этого принципа является, пожалуй, главной задачей исследователей, занимающихся теорией струн.

Впервые идея о принципе голографического соответствия возникла в результате изучения термодинамики черных дыр. Из знаменитых работ Яакова Бекенштейна и Стивена Хокинга (S. W. Hawking, 1972. Black holes in general relativity; J. D. Bekenstein, 1972. Black holes and the second law; S. W. Hawking, 1975. Particle creation by black holes) следует, что энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий. Это сильно отличается от того, как ведет себя энтропия систем, при описании которых можно пренебречь гравитацией, так как для них энтропия оказывается пропорциональной их объему. Энтропия — это логарифм числа микроскопических квантовых состояний системы, которые дают одно и то же макроскопическое описание, так что получается, что вся информация о состоянии трехмерной черной дыры может быть закодирована на ее двумерном горизонте. Отсюда и возникло название «голографический принцип».

Основываясь на этой идее, физики-теоретики предположили, что подобный принцип должен быть справедливым для любой квантово- гравитационной системы: вся информация о происходящем в некотором объеме может описываться физической теорией, «живущей» на границе этого объема (рис. 4).

Рис. 4. Упрощенное представление голографического соответствия. Время на рисунке течет снизу вверх. Квантовая теория гравитации описывает физику в антидеситтеровском пространстве. На границе пространства «живет» квантовая теория поля, эквивалентная квантовой гравитации. Небольшое техническое усложнение заключается в том, что граница является конформной, то есть из-за нетривиальной геометрии антидеситтеровского пространства она находится бесконечно далеко от любой его точки (см. рис. 1). Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Первая количественная реализация этого принципа была предложена Хуаном Малдасеной в 1997 году в знаменитой статье The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity. Далее она была развита в статьях S. S. Gubser et al., 1998. Gauge theory correlators from non-critical string theory и E. Witten, 1998. Anti De Sitter Space And Holography, в которых на основании некоторых технических аргументов, которые мы не будем обсуждать, было высказано предположение, что теория струн, описывающая десятимерное пространство, имеющее вид прямого произведения пятимерного антидеситтеровского пространства и пятимерной сферы, полностью эквивалента (или, как говорят физики, дуальна) четырехмерной квантовой теории поля (суперсимметричной теории Янга — Миллса), описывающей взаимодействие частиц со спинами 1, 1/2 и 0, которая «живет» на границе антидеситтеровского пространства.

Это означает, что для каждой измеримой величины в квантовой теории поля на границе должен быть аналог в десятимерной теории струн, описывающей, в частности, и квантовую гравитацию. А также — что все вычисления на обеих сторонах соответствия должны приводить к одинаковым результатам. Теория поля на границе имеет два параметра: число цветов \(N\), аналогичных цветам кварков и глюонов в КХД, и константу связи \(g_{SYM}\), определяющую интенсивность взаимодействия между частицами и аналогичную электрическому заряду электрона в квантовой электродинамике. На гравитационной стороне соответствия тоже есть два параметра: характерный радиус кривизны антидеситтеровского пространства и сферы \(R\) (вычисления показывают, что они должны совпадать) и струнная константа связи \(g_s\). Голографическая дуальность связывает эти пары параметров так, что константа связи теории струн пропорциональна квадрату полевой константы связи, а общий радиус кривизн двух пространств в десятимерии выражается через полевые величины так:

С 1997 года было предложено еще много пар теорий, связанных голографическим соответствием, но свойство, что теория, «живущая» в высших размерностях, включает гравитацию, а теория, «живущая» на границе, — нет, остается выполненным всегда.

Десятимерное пространство, о котором мы говорим, не похоже на прямое произведение четырехмерного плоского пространства и шестимерного многообразия Калаби — Яу, о котором шла речь выше и которое, согласно теории струн, должно рассматриваться, если хочется получить реалистичное описание нашей Вселенной. Но дело в том, что с помощью голографического соответствия теорию струн на антидеситтеровском пространстве можно более подробно проанализировать, что очень полезно для понимания внутренней структуры теории. В дальнейшем это может помочь при построении более реалистичных моделей.

Четырехмерная теория поля на границе тоже не совпадает со Стандартной моделью, хотя в чем-то она похожа на КХД. Во-первых, эта теория является суперсимметричной, а во-вторых, конформной, то есть симметричной относительно произвольных растяжений координат, что означает, что в теории отсутствует масштаб длины, который мог бы нарушить инвариантность относительно произвольных изменений длин. Подобные упрощенные варианты теорий в теоретической физике называются «игрушечными моделями» и часто используются.

С 1997 года справедливость голографического соответствия была проверена в сотнях работ прямыми вычислениями различных величин в теории поля и в теории струн, которые дали одинаковый результат, как и должно быть согласно этой гипотезе.

Чтобы полностью доказать, голографическое соответствие работает, нужно сравнить все возможные величины на обеих сторонах дуальности, но с этим есть проблема. Дело в том, что с теорией струн в десятимерии достаточно просто работать, если характерный размер антидеситтеровского пространства и сферы \(R\) существенно превышает планковскую длину, так как в этом случае можно пренебречь струнными (квантово-гравитационными) эффектами, и теория струн сводится к общей теории относительности в десятимерии, взаимодействующей определенным образом с полями, описывающими частицы со спином, меньшим 2. Но в этом режиме правая (квантовополевая) часть приведенного выше соотношения тоже оказывается велика. Но тогда перестает быть применимой теория возмущений, являющаяся основным методом вычисления в квантовой теории поля. Из-за этого сравнить результаты вычислений на обеих сторонах соответствия оказывается в общем случае очень сложно.

Поскольку в этой ситуации проводить вычисления при помощи теории возмущений в квантовой теории поля, дуальной квантовой гравитации, очень сложно, приходится использовать другие подходы для проверки голографического соответствия.

В недавней статье, опубликованной в журнале Physical Review Letters, группа физиков из предложила использовать для этого метод конформного бутстрапа (см. Conformal bootstrap), суть которого состоит в следующем. Основными величинами, которые вычисляют в квантовой теории поля, являются так называемые амплитуды рассеяния, связанные с вероятностями рассеяния и преобразования одних частиц в другие. Условие, что полная вероятность преобразования начальных частиц во все возможные конечные состояния равна единице, накладывает определенные условия на амплитуды, позволяющие выразить их через другие амплитуды. Одних только этих условий недостаточно, чтобы явно найти вид амплитуд, но если в теории имеются какие-то симметрии, то они накладывают дополнительные условия на соотношения между амплитудами.

В случае с голографическим соответствием квантовая теория поля обладает многими симметриями. Во-первых, это лоренцевская симметрия, выражающаяся в неизменности уравнений теории при сдвигах системы координат, ее поворотах, а также переходах в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью относительно первой. Во-вторых, это конформная симметрия, то есть инвариантность относительно растяжений всех расстояний на постоянный коэффициент. В-третьих, теория поля является суперсимметричной, то есть все величины в ней имеют определенную симметрию при замене частиц с целым спином на частицы с полуцелым спином. Последних двух симметрий нет, например, в Стандартной модели физики элементарных частиц. Все эти симметрии имеют свои прообразы на гравитационной стороне соответствия. Наложение всех этих условий вместе с условием сохранения вероятностей приводит к системе уравнений на амплитуды рассеяния, а решение этой системы и называется конформным бутстрапом. Всех этих симметрий оказывается достаточно для того, чтобы найти амплитуды явно независимо от значения константы связи и числа цветов.

Рис. 5. Значения коэффициента при первой ненулевой поправке к уравнениям Эйнштейна. Синяя линия обозначает предсказание теории струн, белая — результаты численного решения уравнений конформного бутстрапа на квантово-полевой стороне голографического соответствия. Нижняя красная часть графика отображает тот факт, что отрицательные значения этого коэффициента запрещены уже одним только сохранением вероятности. Рисунок из обсуждаемой статьи в Physical Review Letters

Как уже говорилось, при игнорировании струнных поправок уравнения теории в десятимерии представляют собой уравнения Эйнштейна для гравитационного поля, взаимодействующего с полями меньших спинов. Слагаемое, отвечающее за динамику гравитации в уравнениях Эйнштейна, имеет первый порядок по кривизне пространства, но теория струн предсказывает, что хотя слагаемых второго и третьего порядка в точных (струнных) уравнениях нет, поправка четвертого порядка появляется. Теория струн явно предсказывает коэффициент \(\alpha\) при этом слагаемом, который зависит от струнной константы связи, а величина его меняется от приблизительно 0,1389 до бесконечности.

Существование этой поправки находит свое отражение в форме амплитуд на полевой стороне дуальности, и границы, в которых изменяется этот коэффициент, можно найти, численно решая уравнения бутстрапа. Именно это и проделали авторы обсуждаемой статьи исследователями. У них получилось, что коэффициент может меняться от \(\alpha\approx0{,}13\pm0{,}02\) до бесконечности (погрешность связана с ошибками численных расчетов). Это блестяще совпадает с тем, что предсказывает теория струн (рис. 5).

Аналогичные коэффициенты есть и при поправочных членах к уравнениям общей теории относительности более высоких порядков. И их тоже можно оценивать двумя способами — исходя из теории струн и из квантовополевых расчетов с помощью голографического соответствия. В дальнейшем физики надеются проверить совпадение значений и этих коэффициентов. Кроме того, ученые хотят сравнить аналогичные коэффициенты при поправках к полевым уравнениям, описывающим частицы со спином, меньшим 2. В перспективе ученые надеются применить метод бутстрапа к более реалистичным теориям поля, имеющим меньше симметрий, которые предположительно дуальны теории струн на других, менее симметричных, пространствах.

Источник: Andrea Guerrieri, João Penedones, and Pedro Vieira. Where Is String Theory in the Space of Scattering Amplitudes? // Physical Review Letters. 2021. DOI: 10.1103/PhysRevLett.127.081601.

Андрей Фельдман