Двигаем фигуры и складываем отрезки

Григорий Мерзон
«Квантик» №8, 2025

Круг и прямоугольник

На рисунке круг пересекает все стороны прямоугольника. Отрезки сторон, не покрытые кругом, покрашены поочерёдно в красный и синий цвета. Оказывается, сумма длин синих отрезков всегда равна сумме длин красных!

Как это доказать? Если непонятно, как решать задачу, бывает полезно начать с разбора простого частного случая. Например, если центр круга совпадает с центром прямоугольника, то утверждение очевидно, правда? (Из-за симметрии синие и красные отрезки разбиваются на пары равных.)

Как перейти от этого частного случая к общему? Начнём двигать круг. Что происходит, если сдвигать круг только по вертикали? Сумма длин синих отрезков на вертикальных сторонах не меняется, и красных тоже. А на верхней стороне длины обоих отрезков изменяются на одну и ту же величину, и на нижней тоже.

Итак, если сумма синих отрезков равнялась сумме красных и мы сдвигаем круг по вертикали, то это равенство сохранится. Аналогично для движения круга по горизонтали. Но, сдвинув круг сначала по вертикали, а потом по горизонтали, можно переместить его из центрального положения в любое!

Круг и треугольник

Попробуйте теперь разобраться с аналогичным утверждением для окружности и равностороннего треугольника: докажите, что на рисунке сумма длин синих отрезков равна сумме длин красных (эту задачу предложил Вячеслав Викторович Произволов на летнем турнире имени А. П. Савина в 2001 году).

Если тут двигать круг (или треугольник), то уже не так просто понять, что происходит с синими и красными длинами (например, при вертикальных сдвигах не очень понятно, как меняются длины отрезков на боковых сторонах…).

А что, если двигать не весь треугольник целиком? На треугольник можно смотреть как на тройку прямых. Будем сдвигать, например, горизонтальную прямую так, чтобы она оставалась горизонтальной (как на рисунке ниже), «расширяя» или «сужая» треугольник. Разберитесь, что при этом происходит с синими и красными длинами, и завершите доказательство.

Кстати, можно взять маленький треугольник, полностью лежащий внутри круга, — и красить теперь отрезки на продолжениях сторон. И снова сумма синих длин всегда равна сумме красных длин (понятно ли, почему?).

Что дальше?

Не очень сложно понять, что равносторонний треугольник можно заменить на любой правильный многоугольник. Но оказывается, что утверждение верно, даже если многоугольник не правильный, а просто равносторонний! Доказать это уже существенно сложнее, такая задача (для равностороннего пятиугольника) предлагалась на Всероссийской олимпиаде в 1989 году (автор Агнис Волдемарович Анджанс).

В заключение предлагаем подумать над трёхмерным вариантом исходной задачи (она предлагалась на Турнире Ломоносова в 2020 году, автор Григорий Александрович Гальперин).

Внутри сферы находится куб. Его рёбра продлили в обе стороны до пересечения со сферой, добавив к каждому ребру с двух сторон по отрезку. Докажите, что добавленные отрезки можно раскрасить в 2 цвета (красный и синий) так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.