Молочный парадокс, или Холодное теплее горячего
Иван Русских
«Квантик» №7, 2025
Летом Миша поехал на дачу к бабушке. В том году лето выдалось не очень жарким, так что Миша старался побольше греться на солнышке. Вот и сейчас Миша загорал и читал книжку.
— Миша, булочки готовы! Приходи! — раздался голос бабушки.
Миша тут же вскочил и со всех ног помчался в дом. Спешка Миши была вполне резонна — бабушкины булочки с корицей были бесподобны, особенно с горячим молоком, которое Миша считал лучшим напитком на свете.
Вообще-то бабушка Миши была профессором математики и преподавала студентам в университете. Папа рассказывал, что студенты бабушку побаивались: всех, кто не хотел учиться, бабушка нещадно отправляла на пересдачу. Папа иногда ворчал, что бабушка слишком уж строга, — хотя сама она говорила, что просто не любит лентяев. Но на летних каникулах бабушка уезжала из города, и её занимали обычные бабушковые занятия: дача, огород — и любимый внук, которого непременно надо было вкусно накормить.
— Только сначала вымыть руки! — строго напомнила бабушка внуку, который уже было протянул руку к булочкам.
— Угу, — буркнул Миша, поплёлся к раковине и открыл кран — но вода из него не потекла.
— А что у нас с водой? — спросил Миша.
— Опять, что ли, электричество отключили? — всплеснула руками бабушка.
Насос для подачи воды на даче работал от электричества. Миша щёлкнул выключателем для проверки — лампочка не загорелась.
— Видимо, и правда отключили. Ой, а как же моё горячее молоко? — забеспокоился Миша. — Плита-то у нас электрическая...
— Не переживай, я как раз недавно кипяток в термос залила — сейчас я тебе молоко разбавлю, — сказала бабушка, открывая бутылку холодного молока, которую только что достала из погреба.
— Ну уж нет, разбавленное молоко ещё хуже холодного, — запротестовал Миша. В вопросах молока он был не менее принципиален, чем бабушка в вопросах математики.
— Ну и что же нам делать? — спросила бабушка.
— О, я знаю! Мы нальём молоко в стакан, а сам стакан погрузим в кипяток из термоса! Тогда молоко нагреется до температуры кипятка.
— Но ты же небось молока побольше хочешь? А кипятка у нас не так уж много. Молоко, конечно, нагреется, но и вода охладится — так что в конце температура молока будет не такая же, какая была вначале у кипятка.
Миша прикинул свои аппетиты. Молока, действительно, хотелось побольше, да и бабушку обделять этим прекрасным напитком Мише совесть не позволяла.
— И до какой же температуры можно так нагреть молоко? — задумался Миша.
— Это, конечно, зависит от того, сколько будет молока и сколько воды. Давай предположим, что у нас есть литр кипятка и литр молока, который мы хотим нагреть.
— Наверное, надо ещё знать, какие температуры вначале были у жидкостей?
— Давай считать, что вначале у молока температура 0°C, а у кипятка 100°C. И предположим для простоты, что у молока и воды одинаковые теплоёмкости — чтобы нагреть их на 1°C, надо затратить одинаковое количество энергии.
— Ну тогда это просто! Если погрузить сосуд с молоком в кипяток, то они будут обмениваться теплом, пока у них температуры не сравняются. Если предположить, что вода отдавала тепло только молоку, а не окружающей среде, то в конце температура обеих жидкостей будет 50°C.
— Всё так! А можно ли нагреть литр молока до температуры большей, чем 50°C?
Миша призадумался.
— Наверное, тепло не может переходить от более холодного тела к более горячему? Что-то такое папа мне рассказывал, это даже как-то по-умному называется...
А, точно: второе начало термодинамики! Так что нагреть молоко больше, чем до 50°C, не получится.
— Молодец. Однако, — хитро прищурилась бабушка, — нагреть молоко при таких условиях можно и до температуры большей, чем 50°C!
— Это что же, можно законы физики нарушить? — недоверчиво уточнил Миша. — Это как?
— А вот смотри. Давай разделим молоко на две порции по пол-литра и сначала нагреем от кипятка первую, потом вторую, а затем смешаем их.
— Разве от этого что-то изменится? Надо подумать... В конце у воды будет такая же температура, как у второй порции молока. Но у первой порции молока температура будет больше, потому что её нагревали первой! Значит, итоговая температура молока будет больше, чем итоговая температура воды! Удивительно...
— Можно даже посчитать, какие температуры будут в конце.
— Можно, только надо ручку с бумажкой найти. Значит, вначале мы нагреваем пол-литра молока от литра воды...
Пряный запах булочек с корицей мешал сосредоточиться, но Миша собрал всю волю в кулак и продолжил рассуждать.
— Поскольку кипятка в два раза больше, итоговая температура будет в два раза ближе к 100°C, чем к 0°C. Значит, температура после нагрева первой порции будет \( \frac{2}{3} \cdot 100^\circ\mathrm{C} \approx 66,7^\circ\mathrm{C}. \) После нагрева второй порции молока температура воды будет равна \( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 100^\circ\mathrm{C} \approx 44.4^\circ\mathrm{C}. \) А после смешивания двух порций молока температура будет равна \( \frac{66,7^\circ\mathrm{C} + 44,4^\circ\mathrm{C}}{2} \approx 55,6^\circ\mathrm{C}. \) Действительно, больше 50°C!
— Всё правильно. Кстати, посчитать финальную температуру воды можно было и по-другому: поскольку мы считаем, что тепло у нас не уходит во внешнюю среду, сумма температур воды и молока в конце должна остаться равной 100°C. Поэтому температура молока 100°C – 44,4°C = 55,6°C.
— Действительно, сошлось! А, наверное, если поделить молоко на большее число порций, можно же до ещё более высокой температуры её нагреть? Почти до 100°C!
— Хорошая гипотеза! Давай посчитаем, какая температура будет у молока в конце, если поделить его на n порций.
— Ну, сначала посчитаем конечную температуру воды. Поскольку теперь каждая порция молока в n раз меньше порции кипятка, каждый раз температура воды будет умножаться на \( \tfrac{n}{n+1} \). После n таких операций температура воды будет \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot 100^\circ\mathrm{C}. \) Ну а у молока тогда \( 100^\circ\mathrm{C} - \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot 100^\circ\mathrm{C} = \left(1 - \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right) \cdot 100^\circ\mathrm{C}. \)
Да, какая-то не очень простая формула...
— Давай попробуем посчитать, чему это равно, например если делить молоко на 10 порций.
— Сейчас... — Миша потянулся за калькулятором.
— Получается... примерно 61,4°C. Да, до сотни пока далековато... А если на 100 порций молоко поделить? — Миша быстро застучал по кнопкам калькулятора. — Хм, всего 63 градуса... Не сильно-то она выросла.
— На самом деле, сильно больше эта формула дать и не сможет, — вмешалась бабушка. — Математики умеют доказывать, что при больших n наше выражение для температуры молока стремится примерно к 63,2°C. А больше не получается!
— Да уж, обидно... Но, может, если делить не только молоко на порции, но и кипяток, можно достичь ещё больших температур?
— Хорошая идея! Предлагаю это нарисовать.
— Вот у нас будет цепочка из порций молока и такая же — из порций кипятка, — продолжила бабушка. — Мы будем сдвигать молочную цепочку вправо, и когда порция молока и порция воды оказываются рядом, будем считать, что они в этот момент обмениваются теплом, пока их температуры не сравняются. Когда вся молочная цепочка пройдёт мимо кипяточной, смешаем всё молоко и получим финальную температуру. Если порций станет очень много, можно думать, что у нас есть труба с молоком и труба с водой, лежащие рядом, а по ним текут жидкости в противоположные стороны и обмениваются теплом. Такой, можно, сказать, молокопровод...
Миша улыбнулся. Молокопровод, доставляющий горячее молоко прямо к столу... Мечта! Миша уже представлял себе сверкающие трубы, по которым бурлят молочные реки... но мечты прервал внезапно загудевший насос. Где-то в соседней комнате зазвучал радиоприёмник.
— Ура, электричество дали! — закричал Миша и унёсся греть свой любимый напиток.
— Эх, молодёжь... — добродушно покачала головой бабушка, убирая со стола бумажки и ставя в центр поднос с пышными булочками.
Вопрос. А всё-таки, удастся ли нагреть молоко выше 63,2°C, если разделить на порции и молоко, и кипяток?
Попробуйте для начала посчитать, что получится при делении на 2 и на 3 части. Проверить ответ и узнать о разных применениях этой идеи можно, прочитав статью А. Бердникова «Из пустого в порожнее» в «Квантике» №6 за 2013 год.
Художник Мария Усеинова
