Изобразительная нить: физика

«Квантик» №6, 2024 • Математика, Оптика • Комментировать

По материалам проекта «Математические этюды»
«Квантик» №6, 2024

Художник Мария Усеинова

В статье «Изобразительная нить: математика» («Квантик» №5 за 2024 год) рассказывалось, как с помощью техники нитяной графики можно изобразить гладкую кривую, не рисуя самой кривой, а рисуя только прямые линии — касательные к кривой.

С помощью техники нитяной графики можно изобразить гладкую кривую, не рисуя самой кривой, а рисуя только прямые линии – касательные к кривой

Перегибая листочек бумаги, мы научились изображать конические сечения — эллипс, гиперболу и параболу.

Рассмотрим ещё две кривые, теперь уже относящиеся к семейству циклоид, а точнее, эпициклоид. Кардио́ида (др.-греч. καρδία — сердце, εἶδος — вид) — кривая, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Так как длины окружностей совпадают, то у кардиоиды одна негладкая, «острая» точка.

Кардиоида – кривая, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса

Если катящаяся окружность будет иметь радиус в два раза меньше радиуса неподвижной, то получится нефро́ида (др.-греч. νεφρός — почка, εἶδος — вид). Так как длина маленькой окружности в два раза меньше длины неподвижной окружности, то и негладких точек теперь две.

Если катящаяся окружность будет иметь радиус в два раза меньше радиуса неподвижной, получится нефроида

Эти кривые, за исключением нескольких точек, — гладкие, и их тоже можно увидеть как огибающие семейства касательных. Для этого расставим равномерно на окружности N точек. Чтобы «сплести» кардиоиду, для каждого k натянем ниточку от точки с номером k до точки с номером 2k. (Так как мы «живём» на окружности, то эту операцию надо делать «по модулю N»: если число 2k оказалось больше N, то делим его на N с остатком и рассматриваем этот остаток.) Для получения нефроиды закон соединения следует поменять на k → 3k. В интернете на сайте «Математические этюды» можно интерактивно менять количество линий.

Чтобы «сплести» кардиоиду, для каждого k натянем ниточку от точки с номером k до точки с номером 2k

Доказательство того, что при таком натягивании ниточек получаются именно указанные кривые, опирается на теорему о двух кругах (её можно найти, например, в книге: Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. «Прямые и кривые», §7 «Вращения и траектории», см. также на сайте «Математические этюды». А сейчас визуализация огибающей с помощью касательных позволит нам понять интересное физическое явление.

После отражения света от какого-то предмета или когда свет преломляется в прозрачной посуде, иногда можно наблюдать ярко освещённые кривые или области, называемые ка́устиками (др.-греч. καυστικός — жгучий). Рассмотрим случай отражения. Если параллельные лучи Солнца попадают на внутреннюю поверхность цилиндрической чашки с кофе, эмалированной цилиндрической кастрюли или освещают металлическое цилиндрическое кольцо, то можно наблюдать каустику в виде нефроиды.

Если параллельные лучи Солнца попадают на внутреннюю поверхность цилиндрической чашки с кофе, можно наблюдать каустику в виде нефроиды

Луч, приходящий сверху от Солнца, отражается от внутренней поверхности цилиндра, идёт вниз и, «ударяясь» о кофе, освещает на его поверхности точку. Лучи, отражающиеся от одной образующей цилиндра, то есть лежащие в вертикальной плоскости, проходящей через образующую и луч, подсвечивают на кофе отрезок прямой. Все такие плоскости параллельны и пересекают поверхность кофе по параллельным хордам.

Лучи, отражающиеся от одной образующей цилиндра, проходящей через образующую и луч, подсвечивают на кофе отрезок прямой

Если посмотреть сверху, мы увидим картинку, появившуюся ещё в конце XVII века в труде Христиана Гюйгенса «Трактат о свете». Разберём подробнее отражение лучей из одной плоскости. Зелёная и салатовая дуги в сумме равны синей, а значит, синяя дуга в два раза больше салатовой. Считая от неподвижного конца салатовой дуги (точка 0), получаем закон, описанный выше для касательных к нефроиде, — из точки с номером k (точка отражения) на кофе выходит подсвеченный отрезок, направленный в точку с номером 3k.

Семейство подсвеченных на поверхности кофе отрезков вырисовывает яркую линию. В математических терминах, как мы уже знаем, — огибающую, а в физических терминах — каустику.

Увидеть каустику в виде кардиоиды позволит коническая чашка. Надо только поймать момент, когда лучи Солнца параллельны её стенке (одной из образующих конуса). В этом случае разобранные для цилиндра картинки будут иметь следующий вид.

Плоскость лучей, дающих на поверхности кофе касательную к каустике, проходит через образующую, параллельную солнечным лучам, и образующую, от которой лучи отражаются. Если считать от образующей, направленной на Солнце, то на виде сверху все лучи из этой плоскости после отражения от конуса подсвечивают точки на хорде, направленной от точки k к точке 2k.

На сайте «Математические этюды» можно найти больше подробностей о каустиках и о том, как они образуются. А заинтересовавшийся читатель может провести подобные эксперименты и сам. На природе лучше — и для здоровья полезнее, и можно считать, что лучи от Солнца параллельны друг другу. Но хорошее приближение к описанным каустикам можно увидеть и в домашних условиях, используя, например, фонарик телефона. Проверить, что касательные к каустикам отвечают указанным законам, можно, распечатав хорды k → 2k или k → 3k на бумаге и положив вырезанный круг внутрь конуса или цилиндра.

Изобразительную нить использует сама Природа. Попробуйте и вы нарисовать свою картину!