Про импликации

Михаил Фрайман
«Квантик» №5, 2023

— Скажите, если я поверну здесь направо, там будет математический факультет? — растерянно спросил абитуриент Дима. Он очень хотел в будущем стать математиком, поэтому спешил на день открытых дверей.

— Он там будет, даже если вы не повернёте, — буркнул ему в ответ прохожий. «Действительно, — подумал Дима, — при чём тут вообще я?»

А факультет и вправду существовал ещё задолго до Димы. И всё же ему хотелось узнать, куда идти.

— Извините, а если я здесь пройду прямо, я попаду на математический факультет? — спросил он следующего встречного.

— Если вы тут пройдёте, то попадёте на Марс, — сказал ему тот. «Интересно, — подумал Дима, — там что, портал?»

Пройдя вперёд, он обнаружил, что пройти невозможно: впереди был ручей с быстрым течением. «Да уж, в –10°C тут никто не пройдёт. Но где же проход на Марс? — не унимался Дима. — Ладно, пойду поскорее на факультет, чтобы не опоздать».

Спустя десять минут поисков Дима всё же нашёл факультет. К его удивлению, встретили его не бородатые профессора, а вполне обычные ребята.

— Не знаете ли, где проходит день открытых дверей математического факультета? — спросил Дима.

— Так ты уже пришёл куда надо! — ответили ему. — Меня зовут Женя, я аспирант факультета, расскажу тебе, что здесь где.

Дима очень удивился: перед ним стоял вполне обычный человек, но при этом — математик.

— Вы знаете, я очень хочу узнать, где же всё-таки здесь портал на Марс, — сказал Дима.

— На какой такой Марс?

— На планету. Мне прохожий сказал, что если я пройду через ручей, то попаду на Марс.

— А, так это наш профессор Правдов — он всем это говорит.

— Как же так: у него фамилия «Правдов», а он мне наврал? — удивился Дима.

— А с чего ты взял, что он наврал? — спросил его Женя.

— Так он же сказал, что тут проход на Марс.

— Ха, — усмехнулся Женя, — чтобы стать математиком, тебе надо быть очень внимательным. Профессор ведь сказал, что если ты пройдёшь, то попадёшь на Марс — он не сказал, что тут где-то проход на Марс.

— Не понимаю, он же сказал, что тут проход! — не унимался Дима.

— Ну как же, если бы проход тут был, он бы так и сказал, зачем же ему было лишнее говорить?

— Действительно, — задумался Дима, — но что было бы, если бы я прошёл? Я бы попал на Марс?

— Но ты же не прошёл, — заметил Женя.

— Так это невозможно!

— А если бы было возможно? — спросил Женя.

— Тогда мы бы жили в совсем другом мире, — вздохнул Дима.

— Так, может, в этом мире тут был бы не только Марс, но и Юпитер? — хитро спросил Женя.

— Действительно, даже Венера могла бы быть.

— Сходи на лекцию доцента Логичкина, — сказал Женя, — он всегда на дне открытых дверей читает лекцию по логике, может, тебя заинтересует?

— Точно! — воскликнул Дима, — обязательно схожу.

Дима направился на лекцию. «Доцент — это, конечно, не профессор, но, наверное, хотя бы чуть-чуть разбирается, раз уж его сюда взяли работать, — думал по дороге Дима. Войдя в аудиторию, он сразу направился в первый ряд. — Главное, не заснуть».

— Я всегда, когда вхожу в аудиторию, сразу начинаю читать лекцию, — сказал доцент Логичкин, ворвавшись в зал. — Значит, — продолжил он, — если лекция ещё не идёт, то я ещё не вошёл, — заключил Логичкин. — Пять минут перерыв, — добавил он, вылетев из аудитории.

— Ого, — сказал Дима, — вот это персонаж!

— Да уж, даже лекцию не начал читать, а уже перерыв! — воскликнул его сосед.

— Вообще-то, он уже сделал логическое утверждение, — заметила соседка Димы сзади.

— Какое же? — спросил Дима.

— Он ведь сказал: если лекция не началась, значит, он не входил.

— А как он это понял? Это разве правда вообще? — удивился Дима.

— Конечно, — сказала соседка, — ведь он же сказал, что когда заходит — сразу начинает читать лекцию. Значит, если лекции нет, то он не заходил, иначе лекция бы уже шла!

— Вот это да, получается, действительно правда, — сказал Дима, — получается, мы уже что-то узнали.

— Продолжаем! — Логичкин влетел обратно в аудиторию. — Думаю, вы уже поняли, почему, если лекция не началась, то я не входил.

— Да, — послышалось из аудитории.

— Тогда продолжаем, — сказал доцент, — у нас ещё пять теорем на сегодня запланировано, плюс к каждой по три леммы доказать надо.

Доцент начал очень быстро писать формулы на доске. Дима не успевал за доцентом: тот писал быстрее, чем Дима читал. «Ладно, — подумал Дима, — подойду к нему после лекции».

— Вот и всё. Вопросы? — сказал Логичкин. «Быстро пролетел этот час, — заметил Дима, — хоть я ничего не понял, но было довольно интересно. Надо задать вопрос», — решился наш абитуриент.

— Извините, а есть ли здесь проход на Марс? — спросил Дима. В зале раздался смех.

— Вы, наверное, встретили профессора Правдова, когда шли сюда? — в свою очередь спросил Логичкин.

— Да, именно его.

— А-а-а, он у нас любит всех запутать. Давайте я вам по-простому объясню. Скажите, если я слон, то вы — крокодил? — В зале опять раздался смех.

— Нет, я же не крокодил, — сказал Дима.

— Но я ведь этого и не говорил, — ответил ему доцент.

— Да, но и вы не слон. Если вы не слон, а я не крокодил, то как же ваше утверждение может быть верным? — спросил Дима.

— А вот скажите, если вы вошли в аудиторию, а там ни лекции нет, ни меня, то моё утверждение, что я всегда начинаю читать лекцию, когда захожу, нарушается?

— Хм, нет, — сказал Дима. — Тогда почему же вы считаете моё последнее утверждение ложным?

— А расскажите, как работают утверждения «Если ..., то ...». Я ведь совсем запутался.

— Да, нам тоже интересно, — послышалось в аудитории.

— Хорошо, — сказал доцент, — сейчас всё объясню. Предположим, мой первый ассистент сказал, что если на улице хорошая погода, то поют птицы. А мой второй ассистент сделал вывод, что если птицы не поют, то погода плохая. Прав ли он?

— Конечно, — крикнул кто-то с задних рядов.

— А почему?

— А ведь если бы она была хорошей, птицы бы пели.

— Верно, — ответил доцент. — А теперь подумайте, можно ли, наоборот, из вывода второго получить фразу первого?

— Да, — сказал Дима, — если погода хорошая, то птицы будут петь, ведь иначе погода была бы плохой!

— Я смотрю, вы поняли, о чём я, — сказал доцент, собирая свои вещи.

— Подождите! — воскликнул Дима. — А как же слон и крокодил? Разве это не ложь?

— Скажите, — ответил Логичкин, направляясь к выходу, — если вы не крокодил, то я не слон?

— Конечно, это правда!

— А разве нельзя отсюда сделать вывод, что если я слон, то вы крокодил? — сказал Логичкин, покинув аудиторию.

По дороге домой Дима долго думал про слова доцента. «А ведь и правда, если бы он был слоном, то я был бы крокодилом, ведь иначе он — слон, а я не крокодил, но это же неправда, ведь я не крокодил, а он — не слон! — Дима чувствовал, что он близок к разгадке. — А если „иначе“ привело нас к неправде, то сначала была правда!» — заключил он.

Дима решил, что обязательно поступит на факультет математики и во всём разберётся. Уж очень ему хотелось узнать, крокодил ли он.

Художник Мария Усеинова