Этюд о спиралях

Андрей Щетников
«Квантик» №11, 2022

Со спиральными линиями люди познакомились, наблюдая их в природе. Спиральную форму имеют раковины улиток. По спирали закручиваются молодые побеги папоротника и листья алоэ. Подражают этим природным спиралям и волю́ты — завитки на капители древнегреческой колонны ионического ордера.

Математическое исследование спиралей тоже началось в Древней Греции. Первую книгу о спиралях написал великий Архимед. В ней он рассмотрел свойства спирали, которую и сегодня называют архимедовой, а определил он такую линию следующим образом. Пусть некий луч на плоскости сохраняет своё начало неподвижным и вращается вокруг этого начала с постоянной скоростью; и пусть одновременно с вращением этого луча какая-нибудь точка перемещается вдоль него с постоянной скоростью, стартуя из неподвижного конца луча; тогда эта точка описывает на плоскости спираль.

На рисунке зелёным цветом показано начальное положение луча, синим цветом — положение луча после поворота на угол φ, а также на угол φ+360°, φ+720° и т. п. За каждый полный оборот луча точка

проходит вдоль него одно и то же расстояние, поэтому отрезки A₁A₂, A₂A₃ и т. п. при любом положении луча имеют одну и ту же длину.

Сам Архимед сформулировал и доказал о своей спирали ряд теорем, относящихся к площадям, длинам дуг и касательным. Никаких других спиралей Архимед не рассматривал; однако, если мы посмотрим на спирали раковины улитки и листьев алоэ, мы увидим, что они заметно отличаются от архимедовой спирали, как бы уширяясь при удалении от центра. Самая характерная из такого рода спиралей носит название логарифмической. Первым эту спираль рассмотрел в XVII веке Рене Декарт, а подробно исследовал её свойства Якоб Бернулли. Определить эту спираль можно следующим образом. Когда вдоль логарифмической спирали движется точка, угол между направлением движения этой точки и лучом, проведённым к этой точке из центра спирали, остаётся постоянным.

С логарифмической спиралью связана одна красивая задача. В вершинах квадрата сидят четыре черепахи. Они одновременно начинают двигаться с одинаковой постоянной скоростью так, что каждая черепаха всё время ползёт в направлении соседней с ней черепахи: первая ко второй, вторая к третьей, третья к четвёртой, четвёртая к первой. Начало такого спирального закручивания исходного квадрата показано на рисунке.

Траекторией каждой черепахи будет логарифмическая спираль, в которой угол между направлениями на центр квадрата и на соседнюю черепаху составляет 45°.

Будем считать, что черепахи — это геометрические точки, не имеющие размера. Ясно, что до своей встречи черепахи сделают бесконечное число оборотов вокруг центра: ведь при любом положении квадрата он может быть повёрнут на тот же угол и уменьшен в той же пропорции. Но какой путь пройдут при этом черепахи вдоль своих траекторий до момента встречи? Попробуйте решить эту задачу самостоятельно.

Спирали, похожие на логарифмическую, встречаются и в природе. К примеру, так выглядит раковина моллюска под названием наутилус помпилиус. Каждая следующая воздушная камера в этой раковине геометрически подобна предыдущей, что и порождает нужную форму спирали. Однако эта похожесть в любом случае приближённая, а не математически выверенная. А математическим рассмотрением логарифмической спирали, как я уже сказал, впервые занялся Рене Декарт в XVII веке.

Каково же было моё удивление, когда в альбоме фотографий дворца халифа Хишама, построенного к северу от Иерихона в первой половине VIII века, я увидел мозаику, выполненную в виде сетки изящных логарифмических спиралей. Получается, что древние всё-таки знали о логарифмической спирали, хотя никаких трудов об этой изящной линии до наших дней не дошло?! Но не будем спешить с выводами. Ведь черепахи из предыдущей задачи строят логарифмическую спираль своим движением, ничего не зная о её математических свойствах. Наверное, в каком-то смысле так же поступили и древние мастера мозаики. Они провели внешнюю окружность и разделили её на 72 равные части. На этих частях как на основаниях были выложены равнобедренные прямоугольные треугольники, направленные прямым углом к центру окружности. Эти треугольники и задали всю конфигурацию дальнейших спиралей: между ними надо расположить квадраты (ну, не совсем квадраты, но поскольку они невелики, от квадратов они мало отличаются), между ними — следующие квадраты и так далее. Для контроля желательно через несколько шагов проводить окружности, на которых должны лежать вершины этих квадратов. При приближении к центру квадраты будут уменьшаться всё сильнее и сильнее: внутренняя окружность в этой мозаике в 12,5 раз меньше внешней, а значит, и элементы узора на ней в 12,5 раз меньше, чем снаружи.

Кстати, в этой мозаике из дворца халифа Хишама скрывается и картинка ползущих по своим спиралям черепах — попробуйте её увидеть.

Художник Мария Усеинова