Рождественская теорема Ферма и Крылатые квадраты Спивака

Григорий Мерзон
«Квантик» №5, 2022

Задача о суммах двух квадратов

Какие целые числа могут быть представлены в  виде суммы двух квадратов? С этого вопроса началась классическая теория чисел, а ответ на него нашёл Пьер Ферма ещё в XVII веке (мы дадим этот ответ в конце статьи).

Начнём с того, что квадрат целого числа даёт остаток 0 или 1 при делении на 4. Поэтому сумма двух квадратов даёт при делении на 4 остаток 0, 1 или 2. То есть никакое число вида 4k + 3 в виде суммы двух квадратов не представимо. А вот среди чисел вида 4k + 1 есть как представимые (например, 5 = 2² + 1², 9 = 3² + 0²), так и нет (например, 21 или 33).

Замечательная Рождественская теорема Ферма гласит: любое простое число вида 4k + 1 представимо в виде суммы двух квадратов.

С Рождества 1640 года (когда Ферма объявил, что доказал эту теорему — поэтому её и называют Рождественской) был найден не один десяток разных доказательств. Мы обсудим замечательное элементарное доказательство с «крылатыми квадратами», найденное А. В. Спиваком уже в XXI веке.

Крылатые квадраты

Пусть p — простое число вида 4k + 1. Рассмотрим все такие тройки целых неотрицательных чисел (x, y, z), что p = 4xy + z². Наша цель — доказать, что среди них есть хотя бы одна тройка, для которой x = y: тогда p = (2x)² + z² — сумма двух квадратов.

Рис. 1

Все тройки, для которых x ≠ y, разбиваются на пары (x, y, z) ⟷ (y, x, z). Поэтому достаточно доказать, что количество наших троек нечётно (тогда все они разбиться на пары не могут).

Пришло время добавить к  разговорам картинки. По каждой тройке (x, y, z) мы нарисуем клетчатую фигуру («крылатый квадрат»): начнём с квадрата z × z и приставим к нему (начиная с правого верхнего угла)¹ 4 равных прямоугольника x × y (рис. 1). Если p = 4xy + z², мы получим крылатый квадрат площади p.

Но если число p простое, то почти каждый крылатый квадрат площади p можно получить ровно из двух троек! Действительно, как восстановить тройку, имея в распоряжении крылатый квадрат? Надо разрезать его на обычный квадрат и четыре одинаковых прямоугольника: взять один из «вогнутых» углов и начать от него отрезать либо по горизонтали, либо по вертикали (рис. 2).

Рис. 2

Единственное исключение (единственное, если p простое²) — крест, соответствующий тройке (1, k, 1), где p = 4k + 1 (рис. 3). А все остальные тройки мы разбили на пары. Значит, общее количество троек нечётно, что и требовалось.

От простых чисел к составным

Мы начинали с вопроса о представимости произвольных целых чисел в виде суммы двух квадратов, но дальше занимались только представимостью простых чисел.

Дело в том, что наша задача, как говорят, мультипликативна: если числа M и N представимы в  виде суммы двух квадратов, то в таком виде представимо и число MN (действительно, если M = a² + b² и N = c² + d², то MN = (ac + bd)² + (ad — bc)²); и наоборот, если число MN представимо в виде суммы двух квадратов, а числа M и N взаимно просты (не имеют общих делителей), то и M, и N тоже представимы в виде суммы двух квадратов (это непростой факт).

Пользуясь этим, уже не очень сложно вывести из Рождественской теоремы и общее утверждение: число N представимо в виде суммы двух квадратов тогда и  только тогда, когда каждое простое число вида 4k + 3, входящее в разложение числа N на простые сомножители, входит в него в чётной степени.

Например, число 21 = 3 ⋅ 7 не представимо в виде суммы двух квадратов, а число 2 ⋅ 5 ⋅ 7² ⋅ 13 = 6370 представимо (действительно, 6370 = 21² + 77²).

Рис. 3

Художник Мария Усеинова

¹ Или начиная с левого верхнего. Мы не различаем равные фигуры (в том числе получающиеся друг из друга зеркальным отражением).

² Подумайте, почему важна простота числа p. Чтобы разобраться, какие иначе могут возникнуть неприятности, полезно порисовать крылатые квадраты площади 21 и площади 16.