Что не так с перестановкой слагаемых?
Константин Кохась
«Квант» №6, 2019
— Здравствуйте, уважаемые телезрители! Незаметно прошла неделя, и вы смотрите очередной потрясающий выпуск научно-популярной телепередачи «Что не так?» Меня зовут Горгулий, в нашей передаче мы не боимся прямо и честно рассказывать о самых замысловатых сюжетах. Задавайте нам свои вопросы прямо на сайте телепередачи. Тема сегодняшнего выпуска, как обычно, предложена телезрителями.
Наш телезритель Пинот Хукк спрашивает: что не так с суммой, если мы переставляем слагаемые? Ответить на этот вопрос нам поможет наш постоянный эксперт по вопросам адекватности дятел Спятел.
— Привет, друзья! Вот и опять мы встретились по разные стороны телеэкрана!
— Скажите, пожалуйста, маэстро, откуда вообще у Пинота Хукка могло появиться беспокойство о сумме, в которой мы меняем порядок слагаемых? Неужели наш телезритель не знает элементарных фактов школьной программы?
— Видите ли, жизнь присутствует и за рамками школьной программы, — объяснил дятел Спятел. — Многочисленные примеры говорят нам, что порядок при суммировании важен. Вот, допустим, этот ваш Пинот Хукк пришел в магазин...
— Прошу прощения, не хотите ли вы сказать, что при покупке мороженого и шоколадки мы заплатим не столько же, сколько при покупке шоколадки и мороженого?
— Вы спортивный и энергичный, за словом в карман не лезете, да и вообще постоянно перебиваете и ведете себя нагло, к тому же речь идет о совсем небольшой покупке, поэтому, думаю, что если покупать будете вы, в обоих случаях цена покупки будет одна и та же. Но представьте, что вы пришли в ювелирный магазин и хотите купить... ну скажем, коробочку для перстня. Коробочка стоит всего 100 рублей, однако в последний момент вы говорите: «так и быть, давайте я куплю еще и перстень за 100 000». Таким образом, всего за 100 тысяч 100 рублей вы становитесь счастливым обладателем перстня в коробочке. Если же вы станете покупать эти предметы в другом порядке — сперва выберете перстень, а потом согласитесь «да-да, упакуйте, пожалуйста», то цена покупки может оказаться больше, например 100 тысяч 500 рублей!
— Я думаю, такие аномалии случаются нечасто.
— Не скажите, очень даже часто. Вот вам еще пример: на рынке продаются яблоки и апельсины; те и другие по 100 рублей за килограмм. Вы берете одно яблоко (приблизительно 10 рублей за 100 граммов) и одну тонну апельсинов (100 тысяч рублей). Итого 100 010 рублей. Если же вы берете тонну апельсинов, да еще просите добавить туда одно яблоко, «они ведь по одной цене», то получите то же самое, скорее всего, «всего лишь» за 100 000 рублей.
— Я понял вас, по-видимому, мы имеем здесь дело с коммерческим сложением, которое имеет свои нюансы и не всегда подчиняется математическим законам. Но может ли сумма измениться, если речь идет о чистой математике?
— Вы, конечно, слышали о вакуумных квантовых флуктуациях? — неожиданно спросил дятел Спятел.
— Да, — без запинки ответил Горгулий, — сейчас это очень модная тема, все о них слышали. Но специально для нашего телезрителя Пинота Хукка стоит пояснить.
— Вот, есть у вас пустое пространство, полнейший вакуум. Короче, такой ноль-преноль. Неожиданно буквально из ниоткуда появляется, скажем, электрон в паре с позитроном. А через мгновение они тихо-мирно аннигилируют, вместо того чтобы разлететься в разные стороны.
— Да-да, удивительно и очень интересно, — согласился Горгулий, смачно зевнув. — Ненавижу физику. К чему же вы клоните?
— Просто зарисовочка из жизни. Она настраивает мысли на нужный лад. Вот что вы со своим телезрителем Пинотом Хукком можете сказать о сумме
— Хм... Ну... Да... Типичные вакуумные флуктуации. Она равна нулю!
— Не могу не согласиться. Но, кстати, если включить очень сильное магнитное поле, эти наши электроны-позитроны как раз-таки и разлетятся в разные стороны! Впрочем, это слишком художественно, к делу отношения не имеет. Давайте разберемся со слагаемыми в сумме. Самое крупное по модулю слагаемое тут одно: единица. Следующее по величине слагаемое 1/2 . Оно встречается три раза: два раза со знаком минус и один раз со знаком плюс. Итого −1/2 . Следующее по величине слагаемое 1/4 тоже встречается три раза: два раза со знаком минус и один раз со знаком плюс. Итого −1/4 . То же самое можно сказать и про все остальные слагаемые. Получается, что наша сумма равна
— Да ведь это все тот же 0! Только теперь это записано не самым очевидным способом. Получается, что вы переставили слагаемые и даже кое-что сократили, а сумма не изменилась. Значит, все так?
— Не торопитесь. Рассмотрим еще один пример «флуктуаций»:
Не правда ли, эта сумма тоже равна нулю. Упростим ее в стиле предыдущего рассуждения. Каждое слагаемое с четным знаменателем 2k встречается в сумме три раза: два раза со знаком минус в скобке \( (\frac{1}{k} - \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k})\) и один раз со знаком плюс в скобке \( (\frac{1}{2k} - \frac{1}{4k} - \frac{1}{4k})\). А каждое слагаемое с нечетным знаменателем 2k + 1 встречается один раз со знаком плюс в скобке \( (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{4k+2} - \frac{1}{4k+2})\). Поэтому сумма равна
— Осмелюсь предположить, что это тоже ноль, только записанный еще менее очевидным способом.
— Ну что вы, какой же это ноль! Сумма, которую я написал, положительна, это совершенно очевидно:
А вы, я вижу, плохо отличаете положительные числа от нулевых. Кажется, я зря предположил, что стоимость мороженого и шоколадки у вас будет всегда одна и та же! Да вы, наверно, и есть тот самый Пинот Хукк, который задал этот дурацкий вопрос! Признавайтесь!
— Нууу, ээээ... В последнее время телезрители проявляют мало активности на сайте нашей телепередачи... Они задают скучные и малоинтересные вопросы...
— Дорогие друзья, я дятел Спятел, эксперт великолепной инновационной программы «Что не так?» по вопросам адекватности. Сегодня мы обсуждали интереснейший вопрос о возможном неадекватном поведении суммы при перемене мест слагаемых. Вместо этого мы стали свидетелями неадекватного поведения нашего ведущего! Давайте поаплодируем ему за прекрасно поставленный вопрос. Прояснилось ли что-нибудь в результате нашей дискуссии? Думаю, не очень. Ну да и ладно. Берегите себя, сохраняйте ясность ума и трезвость мысли! Увидимся на следующей неделе!
-
Поясните, пожалуйста, для технарей - в чем тут мораль? Что сумму бесконечного ряда нужно рассматривать только как предел последовательности частичных сумм (технарь вспомнил что-то из матана первого курса), а перегруппировывать слагаемые мы права не имеем? И при чем здесь вакуумные флуктуации?
-
Тоже не могу найти ошибку... или хитрость. Второй ряд нифига не 0. Он больше 0.5, хотя изначально 0. Может это получается из-за того, что бесконечно малый элемент ряда можно сдвинуть в "+" (или в "-") на бесконечно малую величину и вроде как без "последствий". Число то бесконечно малое и сдвиг бесконечно малый. Только вот из-за этого сдвигается весь ряд и уже нуля даже близко не получается. С точки зрения квантовой теории вакуум не пустой и кишит рождающимися и аннигилирующими частицами. Это в общем доказано и проявляется, например, в эффекте Казимира. Из-за того, что в подобных рядах ноль не всегда получается, можно, например, описать барионную ассиметрию Вселенной, ну или вообще появление Вселенной как таковое. Хочется конечно коментарии автора услышать.
-
По существу. Ряд бесконечный. В примере показана только часть ряда, то есть определенное количество слагаемых. Я, идиот, считаю, что количество слагаемых рассматриваемого ряда в одном примере ВСЕГДА ДОЛЖНО БЫТЬ ОДИНАКОВЫМ. Даже детки в школе знают это правило. Если после перестановки слагаемых мы добавим или уберем несколько чисел, сумма после перестановки изменится.
В первом примере показаны 12 слагаемых до многоточия бесконечности. Считаем, сколько слагаемых нам показали после перестановки:
Три пары слагаемых превращаются в ноль и их ЗАПИСЫВАТЬ НЕ ПРИНЯТО, поэтому 6 слагаемых держим в уме.
4 слагаемых записаны после перестановки.
Итого: после перестановки нам показывают 10 слагаемых из 12 первоначальных. Естественно, суммы будут разные, что математики нам и доказывают.
Фокус заключается в том, что 2 слагаемых (-1/16 и -1/16) шулеры спрятали за многоточием бесконечности. Если в пример ПОСЛЕ ПЕРЕСТАНОВКИ добавить недостающие слагаемые, сумма бесконечного ряда не изменится.
Второй пример вы можете проанализировать самостоятельно. Результат будет таким же.
-
-
В том же матане есть понятие абсолютной сходимости. Ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин. Ну то есть мы все минусы меняем на плюсы, а сходимость сохраняется (хотя, разумеется, меняется сумма).
Так вот если ряд сходится абсолютно, с ним можно делать всё. Можно как угодно переставлять и группировать слагаемые - он всё равно сойдётся, и сумма не поменяется. Он, так сказать, не меняется при перестановке слагаемых.
А если ряд сходится, но не сходится абсолютно, то переставлять слагаемые в нём опасно, ряд очень существенно меняется. Есть теорема: за счёт перестановки слагаемых сходящийся ряд, который не сходится абсолютно, можно "направить" к любой наперёд заданной сумме, а можно сделать расходящимся.
(как именно понимать суммирование, вы правильно помните; сумму ряда невозможно найти бесконечным суммированием, потому что оно бесконечное; она находится предельным переходом по частичным суммам - за счёт перестановки слагаемых мы именно этим пределом и можем в любых масштабах управлять).
Представьте себе некоторый сходящийся ряд и мысленно разбейте его на три части: в первой оставьте все положительные члены - назовём её "положительной", во вторую уберите все отрицательные - назовём её "отрицательным", в третью уберите все нули, это "нулевая" часть.
Каждая часть - либо конечная сумма, либо ряд. Причём с нулевой частью всё понятно: либо это ряд с суммой 0 (потому что состоит только из 0), либо это конечная часть суммы 0.
Если ряд (напоминаю, сходящийся) сходится абсолютно, то и положительная, и отрицательная части будут конечны (то есть это будут либо конечные суммы, либо сходящиеся ряды). А если ряд не сходится абсолютно, то и положительная, и отрицательная части - обязательно ряды (а не конечные суммы), и обязательно расходящиеся. Оба эти ряда знакопостоянны, для обоих выполняется необходимое условие сходимости, и если они расходятся - значит, частичные суммы их возрастают (убывают) неограниченно.
Вот за счёт этой неограниченности мы и можем добиваться, чего хотим. Ставим некоторую цель - для определённости положительную. Начинаем набирать члены из положительного ряда по порядку, пока не наберём частичную сумму больше этой цели - а мы её обязательно наберём, потому что положительный ряд расходится. Как только это случилось, начинаем брать члены из отрицательной части, пока частичная сумма не уйдёт ниже этой цели. Как только ушли ниже - снова берём из положительной, пока не уйдём выше. И снова переключаемся. Очевидно, в рамках этого процесса мы "используем все члены" и из положительной, и из отрицательной части. Более строго: для каждого члена из любой части мы можем точно сказать, на каком шаге он будет использован, и каждый обязательно будет использован на каком-то шаге.
Частичные суммы будут колебаться вокруг заданного числа, прижимаясь к нему всё сильнее, потому что и у положительной, и у отрицательной части выполняется необходимое условие сходимости. Если это формализовать, мы получим, что предел частичных сумм равен нашему заданному числу.
Если нужно, чтобы ряд расходился - нужно просто ставить разные цели. То есть берём положительные члены, пока частичная сумма не превзойдёт 1. Затем отрицательные, пока она не станет меньше 1. Затем положительные, пока она не станет больше 2. Снова отрицательные - до меньше 2. Снова положительные - до больше 3. И так далее.
Все эти "доказательства" построены на одной маленькой хитрости, о которой математики вам никогда не скажут, поскольку сами её не знают, их этому не учили.
