Задача об «Очень быстрой собаке»
Лев Емельянов
«Квантик» №12, 2019
Всем когда-нибудь бывает ужасно скучно. Случается это неожиданно и где угодно — дома, в транспорте, на уроке в школе... Как быть? Очень просто — решать задачки! Для такого случая есть особые задачи, вроде и не математические, но над ними хочется думать, отложив все дела, обсуждать с друзьями, а с трудом добравшись до ответа — снова сомневаться в правильности, фантазировать и... немного шалить. И уж тогда точно не бывает скучно! Хотите познакомиться с такой задачкой? Пожалуйста! Собирайте друзей, начинаем обсуждение...
Сначала наступает пауза, граничащая с оцепенением — в чём вопрос-то? Начинаются реплики:
«Собака так быстро бегать не умеет».
Вы парируете: «Она ведь Очень Быстрая Собака».
«А берег когда закончится?»
Вы: «Считайте его неограниченным в разумных пределах».
И вдруг следует догадка в виде несмелого вопроса:
«А чему равна скорость звука?»
Вот тут и открывается простор для дискуссии: «330 м/с».
«Ну тогда понятно».
Вы: «Давайте не торопиться. Посчитаем. Вначале скорость собаки 1 м/с, но вот 1-й свисток — скорость 2 м/с, 2-й свисток — 4 м/с, 3-й — 8 м/с, 4-й...»
«Понятно, там степени двойки, 28 = 256 ещё не хватает, а 29 = 512 уже больше скорости звука. Ответ: 9 свистков. Скучноватая какая-то задача!»
«А почему она 10-го свистка не услышит?»
«Да потому что бежит быстрее звука!»
«Верно. А что значит быстрее звука?»
«То и значит, что убегает от 10-го свистка».
«От 10-го то убегает, но быстрее ещё значит, что догоняет».
«...Вот это да! Значит, она будет догонять прежние свистки? Здорово!»
«Итак, какой же теперь ответ?»
«Ну теперь-то совсем понятно — ОБС соберёт обратно все 9, нет, 8 свистков. То есть ответ: 17 свистков. Красиво!»
«А как быть со скоростью?»
«Так она же очень быстрая, значит, проблем со скоростью у неё нет».
«Опять давайте не торопиться. Посчитаем. ОБС догоняет и слышит 8-й свисток, на котором номера не видно. Она считает его 10-м и увеличивает скорость до 210 = 1024 м/с, затем догоняет 7-й (11-й для неё) — скорость 2048 м/с = 2,048 км/с, далее следует 6-й (12-й по-собачьи), скорость 4,096 км/с, а потом 5-й (кажущийся 13-м), и ОБС разгонится до 8,192 км/с».
«Ну и зачем мы всё это считали?»
«А вам ничего не говорит скорость 8 км/с?»
«Ну, вы об этом, это первая космическая, и что?»
«А что? Где окажется ОБС, набрав первую космическую скорость?»
«Ну на орбите Земли, и что? Ей же всё равно, она всё может».
«А что она там услышит?»
«Ой... ничего! Там же воздуха нет».
«То есть...»
«То есть после 13-го свистка, который она уже один раз слышала, но об этом не догадывается, она больше не услышит свистков. Значит, ответ: 13?»
«К счастью для Собаки, да. Услышав ещё свисток-другой, она умчалась бы прочь из Солнечной системы на поиски внеземных цивилизаций».
«И что, она, бедная, так и летает на орбите в безвоздушном пространстве?»
«Боюсь, что да. Но есть одна гипотеза во спасение этого, хоть и вредного, но очень неординарного существа».
«Она была вредная и не пошла на прогулку?»
«Нет. Есть такое явление, как эффект Доплера. Он состоит в том, что частота слышимого звука зависит от того, как движутся друг относительно друга ухо и источник звука. При их сближении частота увеличивается (звук становится выше), при удалении — уменьшается (звук слышится ниже). Его можно отчётливо наблюдать, точнее слышать, когда едете в поезде и слышите предупреждающий сигнал на переезде».
«Да, да, помню. Тогда я не понял, почему сигнал меняется, теперь понятно. А что Собаке-то от этого? Она ведь всё равно слышит, пусть не та частота».
«А вот над этим подумайте как-нибудь сами. Дело в том, что животные, как и человек, слышат звуки в определённом диапазоне. Что-то мы вообще не слышим, а они, эти звуки, есть. Например, летучие мыши слышат недоступные человеку частоты. Даже люди здесь отличаются чувствительностью слухового аппарата».
«И что?»
«Поищите, во спасение животного, информацию о её пределах слышимости и посчитайте по формуле эффекта Доплера частоту свистков на собачьих скоростях. Может, мы спасём её?»
Но в классе всегда найдётся кто-то со своим особым мнением. Вот этот кто-то вдруг говорит:
«А как она при такой скорости может не услышать следующий свисток?»
Вы робко пытаетесь возразить: «Вышла на орбиту и не услышала».
«Ну она же не ракета — летит не вертикально, а свистки близко друг от друга и оставшиеся 4 свистка она „соберёт“, не успев опомниться!»
Пауза.
«...Что сказать? В этом есть своя печальная логика! Значит, надежды на спасение ОБС разрушены и даже Доплер не помог. А скорость её действительно страшная — 217 = 131,072 км/с, там ведь уже скорость света виднеется! При такой-то скорости она долго будет жить из-за замедления времени, и это единственное, что утешает при мыслях о её нелёгкой судьбе».
Художник Алексей Вайнер
