Андре Вейль

Сергей Львовский
«Квантик» №8 и №9, 2018

Детство и юность

Андре Вейль (1906–1998)

Рассказа про бедняка, выбившегося в люди и ставшего великим учёным, вы здесь не увидите: будущий замечательный математик Андре Вейль родился в 1906 году в Париже в образованной и обеспеченной семье. Его отец был врачом, мать получила хорошее музыкальное образование, семья родителей дружила с семьёй лауреата Нобелевской премии, выдающегося русского биолога И. И. Мечникова, детей с самого раннего возраста приобщали к музыке — словом, маленький Андре и его младшая сестра Симона росли в любви и комфорте.

С ранних лет у Андре проявились способности к языкам. Началось всё, кажется, с немецкого: родители Андре и Симоны свободно им владели и пользовались этим языком, когда хотели что-то скрыть от детей; в результате брат с сестрой овладели немецким с раннего детства. Этим дело не ограничилось: в детстве и юности Андре Вейль много занимался древними языками (древнегреческим, латынью и особенно древнеиндийским языком санскритом) и всю жизнь увлекался языками современными. Когда ему довелось два года проработать в Бразилии, он преподавал на португальском языке; он читал и объяснялся по-русски; в США, где он провёл половину жизни, его рабочим языком был, естественно, английский — и список этим не ограничивается.

Андре и Симона Вейль с родителями

В шесть лет Андре поступил в школу и успешно учился. Ему не помешало даже то, что школы приходилось часто менять, а порой и учиться дома: в 1914 году началась мировая война, отцу, призванному в качестве военного медика, приходилось переезжать между различными госпиталями, а за ним следовала и семья. Математические способности у Андре начали проявляться рано. Он самостоятельно освоил школьный учебник алгебры, затем родители подписались на «Журнал элементарной математики», регулярно публиковавший задачи для школьников — и Андре с успехом участвовал в конкурсе по их решению. В старших классах Вейль с увлечением изучал учебники по математике, выходившие за рамки школьной программы, и параллельно с не меньшим увлечением знакомился с древнегреческой и древнеиндийской литературой (санскритом он начал заниматься самостоятельно и продолжил эти занятия под руководством профессора Сильвена Леви, с которым его познакомили друзья семьи). Так или иначе, досрочно окончив среднюю школу, Андре Вейль поступил в Эколь Нормаль — лучшее высшее учебное заведение Франции.

Здание Эколь Нормаль

Андре и Симона Вейль, фотография 1922 года

В Эколь Нормаль Вейль много читает и учится сверх программы (в частности, изучает работы Бернгарда Римана, великого немецкого математика XIX века — знание этих работ очень помогло ему в дальнейшем при работе над диссертацией) и параллельно не бросает занятий санскритом: под руководством того же Леви он приступает к изучению древнеиндийской философии. Хотя Андре Вейль всю свою долгую жизнь был чужд религии, древнеиндийские священные тексты оказали серьёзное влияние на жизненные решения, которые ему предстояло принимать в дальнейшем.

Первые успехи

В 1925 году Вейль, успешно сдав государственные экзамены, завершил обучение в Эколь Нормаль. Ему удалось получить стипендию (в наше время сказали бы «грант») на научные поездки; он использовал её, поездив по Италии и Германии, — отчасти как турист, но главным было посещение тогдашних научных центров и знакомство с ведущими математиками. Именно в Риме он выбрал раздел математики (сейчас он называется диофантовой геометрией), которому будет посвящена его диссертация. Диофантова геометрия находится на стыке алгебраической геометрии (наука о геометрических фигурах, заданных алгебраическими уравнениями) и теории чисел (наука о свойствах целых чисел; это самый старый — его начали развивать ещё древние греки — и очень трудный раздел математики). Теорема, доказанная Вейлем и лёгшая в основу его защищённой в 1928 году диссертации, сейчас входит во все учебники диофантовой геометрии.

Профессор Сильвен Леви (1863–1935), у которого Андре Вейль учился санскриту и древнеиндийской философии

Чтобы продолжить карьеру математика, Вейлю необходимо было найти работу в университете. Во Франции в тот момент подходящих вакансий не было, и тогда всё тот же Сильвен Леви, занимавшийся с Вейлем санскритом, договорился со своими индийскими знакомыми, что того примут на работу в один из университетов в Индии (тогда ещё британской колонии) на должность заведующего кафедрой математики. Андре Вейль с радостью принял предложение поехать в страну, которую успел полюбить и в которой ещё не был.

Университет, в котором предстояло работать Вейлю, был расположен в городе Алигарх. Ничем особенным этот университет не блистал; предполагалось, что молодой энергичный француз наладит в нём преподавание математики на высоком уровне. В принципе это было возможно, так как сильные профессиональные математики в Индии в то время были.

Эмми Нётер (1882–1935), у которой Андре Вейль учился алгебре во время поездки в Германию в 1926–1927 г.

Двухлетнее пребывание Вейля в Индии было во многих отношениях удачным: он с успехом занимался наукой, за время многочисленных каникул с удовольствием объездил всю Индию, наконец, ему щедро платили. Но вот набрать новых сотрудников и поднять уровень преподавания математики Вейлю так и не удалось. Сказались, видимо, и молодость, и незнание местной специфики, и неопытность в административных интригах — через полтора года его из университета уволили.

После увольнения Вейль ещё несколько месяцев попутешествовал по Индии, познакомился с рядом интересных людей (среди которых были несколько будущих государственных руководителей независимой Индии, а также лидер индийского национально-освободительного движения Махатма Ганди), а затем вернулся во Францию, где на сей раз нашёл подходящую ему работу в университете.

Карта Британской Индии. Город Алигарх отмечен красным кружком

Бурбаки

Во Франции Вейль продолжал успешно вести научную работу, но помимо этого он оказался в числе основателей весьма примечательного проекта. Чтобы объяснить, в чём он состоял, нам понадобится небольшое отступление.

На конгрессе Бурбаки, сентябрь 1937. Андре Вейль — крайний слева, Симона Вейль стоит

По мере того как математика развивалась, возрастала необходимость давать точные определения используемым в ней понятиям. Например, если мы изучаем свойства конкретных функций (скажем, квадратных трёхчленов), то даже произносить слово «функция» не обязательно, но когда доходит до исследования свойств «функций вообще», приходится задаться вопросом: а что такое, собственно говоря, функция? Точно так же в какой-то момент приходится задумываться, что такое число, что такое точка и прямая, и так далее — ко второй половине XIX века таких вопросов в математике накопилось много. Отвечать на них можно по-разному (можно, например, — и так делали — для каждого раздела математики вводить свою систему аксиом), но к 1920-м годам большинство учёных пришли к убеждению, что в принципе всю математику можно построить единым образом на основе понятия множества. Однако одно дело — понимать, что нечто можно сделать «в принципе», и совсем другое — действительно это сделать. Вот за эту неподъёмную задачу — изложить в книгах основы всей математики, отталкиваясь от понятия множества — и взялась группа молодых французских математиков, в которую входил и одним из организаторов которой был Андре Вейль.

Ещё три члена первого состава группы Бурбаки. Слева направо: Анри Картан (1904–2008), Жан Дьёдонне (1906–1992), Клод Шевалле (1909–1984)

Началось все с того, что группа работавших в различных французских университетах молодых сверстников — недавно защитившихся выпускников Эколь Нормаль — решила совместно написать новый, в современном духе университетский учебник математического анализа. Вскоре выяснилось, что одним анализом обойтись не удастся и надо по-новому излагать всю математику.

Страсбургский университет, где Вейль работал в 1930-е годы (современная фотография)

Для серии книг, которую только предстояло написать, участники группы выбрали название «Первоосновы математики» (в русских переводах закрепилось неверное «Элементы»). Работа была организована следующим образом. Раз в несколько месяцев группа на несколько дней собиралась вместе. На этих собраниях утверждались темы очередных книг, и по каждой теме назначался ответственный — тот, кто обязывался к следующему собранию представить рукопись. Эти рукописи подробно обсуждались и критиковались на очередном собрании — текст положено было дорабатывать до тех пор, пока он не будет единодушно одобрен (если единодушного одобрения достичь никак не удавалось, то либо назначался другой ответственный, либо написание книги по данной теме откладывалось).

Чтобы не писать на обложках книг длинного перечня фамилий, члены группы выбрали для себя коллективный псевдоним Никола Бурбаки (кажется, так звали вымышленного математика из какого-то студенческого розыгрыша).

Эли Картан (1869–1951), один из создателей современной дифференциальной геометрии, отец Анри Картана

Члены группы Бурбаки были людьми молодыми и склонными к играм и шуткам, и это сказалось на стиле их работы. Например, они изображали из себя тайное общество: в их книгах не упоминалось никаких имён авторов, кроме несуществующего Бурбаки, а состав группы держался в секрете. Ещё до начала публикации собственно «Первооснов математики» члены группы опубликовали подписанную именем Бурбаки заметку в «Докладах» французской академии наук. Статьи в этом журнале должен рекомендовать к публикации член академии, так что перед молодыми людьми встала задача найти академика-математика с хорошим чувством юмора — выбрали геометра Эли Картана, отца члена группы Анри Картана. Ещё было установлено, что по достижении пятидесяти лет членство в группе Бурбаки автоматически прекращается.

За прошедшие с тех пор восемьдесят с лишним лет «Никола Бурбаки» написал и издал (исключительно по-французски, невзирая на то, что международным языком математики давно стал английский) большое число книг. Состав группы всё время менялся в соответствии с правилом отставки в 50 лет; через членство в группе Бурбаки прошли почти все лучшие французские математики. Многие книги Бурбаки переведены на другие языки, включая русский и английский, многие переиздаются и перерабатываются. У Бурбаки появились и неумные подражатели (писать сухим и формальным языком, которым написаны их книги, нетрудно, но если автору при этом нечего сказать, то получается нехорошо), и активные недоброжелатели. Неоднократно раздавались голоса, что этот проект себя изжил, но похоже, хоронить Бурбаки рано: в 2016 году вышли из печати первые четыре главы совершенно новой их книги «Алгебраическая топология».

Остаётся добавить, что идеальная цель изложить в книгах «всю» математику достигнута быть не может, но это и неважно.

Андре Вейль и война

Андре Вейль с женой Эвелиной, 1939 год

В момент, когда началась Вторая мировая война и во Франции была объявлена всеобщая мобилизация, Андре Вейль с женой находились в поездке в Финляндии. Вейль был лейтенантом запаса; согласно французским законам, при объявлении мобилизации он был обязан самостоятельно явиться на сборный пункт. Вместо этого он остался в Финляндии.

Собственно, ещё за полтора года до этого, весной 1938 года, когда стало ясно, что дело идёт к войне, Андре Вейль твёрдо решил, что воевать он не будет. Вейль не был ни пацифистом, ни тем более сторонником Гитлера, но он был твёрдо убеждён, что эта война — не его дело. Он считал, что у каждого человека есть призвание, которому тот обязан (именно обязан!) следовать. В легендарные времена в древней Индии это призвание определялось кастой, в которой человек был рождён, а в наше время человек должен своё призвание понять. И бесспорно, по призванию Вейль был математиком, а вовсе не воином. Кроме того, Андре Вейль очень не любил военной пропаганды. Он с горечью вспоминал, как во время Первой мировой войны французские деятели науки и культуры публиковали статьи, в которых доказывали, что немецкие учёные и композиторы много ниже французских, а их немецкие коллеги писали аналогичные тексты, в которых немцы и французы менялись ролями. Наконец, Вейль не любил идти за толпой: он считал, что уклонившись от войны, он сможет хоть в небольшой степени побыть хозяином своей судьбы.

Выдающийся финский математик Ларс Альфорс (1907–1996). До Второй мировой войны работал в Финляндии, а после войны — в США. Андре и Эвелина Вейль гостили в семье Альфорса в 1939 году

Жена Андре Вейля Эвелина вернулась во Францию к сыну, а Вейль остался в Финляндии. Они решили, что Андре отсидится какое-то время в нейтральной стране, а потом супруги воссоединятся и уедут в США. Выполнить этот план оказалось непросто.

30 ноября 1939 года СССР начал войну с Финляндией, и обстановка в стране по понятным причинам стала нервозной. Неизвестно что делающий иностранец стал вызывать подозрения — и Вейля арестовали. При обыске у него обнаружили показавшиеся подозрительными рукописи и адресованное ему письмо по-русски (от советского математика Л. С. Понтрягина). После этого сомнений не осталось: Вейль — советский шпион! Сам Вейль тоже вёл себя довольно опасно. Так, когда на допросе в контрразведке (разговор шёл по-немецки) ему в какой-то момент сказали: «Вы мне солгали», он не нашёл ничего лучше, чем в ответ указать на ошибку в спряжении глагола «лгать». Андре Вейлю всерьёз грозил расстрел; к счастью, финский математик Рольф Неванлинна за него поручился. От расстрела Вейль спасся, но финские власти рассудили, что в воюющей стране сомнительному иностранцу делать нечего: Вейля усадили в поезд, довезли до шведской границы и сдали с рук на руки шведским пограничникам.

Л. С. Понтрягин (1908–1988), в предвоенные и первые послевоенные годы — ведущий мировой специалист по топологии. Андре Вейль познакомился с Понтрягиным в 1935 году в Москве

Оставаться в Швеции у Вейля никаких оснований не было — единственным выходом для шведских властей было вернуть его во Францию. Вейля переправили в Англию; в Англии его арестовали и под конвоем отправили на корабле во Францию. Достойно упоминания, что в дороге Вейль порывался познакомить своего конвоира с ехавшим на том же пароходе знаменитым физиком Полем Ланжевеном.

По прибытии во Францию Вейля посадили в тюрьму, где он должен был дожидаться суда по обвинению в уклонении от призыва. В тюрьме он имел возможность переписываться, читать любимые книги и — главное — работать. Находясь в заключении, Вейль вычитал корректуру своей монографии про интегрирование в топологических группах, а также написал и отправил в «Доклады» Французской академии наук важную заметку, о которой ещё пойдёт речь. Вскоре после этого состоялся суд.

Вейля приговорили к пяти годам тюрьмы, но дали понять, что от наказания его могут освободить, если он попросится на фронт. Вейль такое прошение подал, и оно было удовлетворено. К этому моменту немцы вторглись во Францию и начали наступление. Вейль не успел принять участия в боях: часть, в которую его отправили, привезли на берег Ла-Манша, погрузили на корабль и эвакуировали в Англию.

Рольф Неванлинна (1895–1980), крупный специалист по комплексному анализу

В Англии нелепые события продолжились. Часть перевезённых из Франции военных собирались отправить морем во Французское Марокко, но из-за неразберихи группа, в которую входил Вейль, к отправлению опоздала, так что в Марокко вместо Вейля отправилось его личное дело.

К тому времени военная кампания во Франции пришла к печальному концу: Франция подписала с Германией перемирие на крайне тяжёлых условиях. Значительная часть страны была Германией оккупирована, а в оставшейся части (так называемая «свободная зона») немцы позволили сформировать пронацистское французское правительство, первое время обладавшее некоторой самостоятельностью. В частности, оно послало в Англию два плавучих госпиталя, чтобы забрать больных французских солдат. Вейль смог обманом попасть на один из этих кораблей и на нём вернулся во Францию.

Генерал Шарль де Голль (1890–1970). В 1940 году отказался подчиниться соглашению о перемирии с Германией. Создатель организации «Сражающаяся Франция». В 1958–1969 годах — президент Франции

Злоключения близились к концу. Вейлю удалось переправить Эвелину с её сыном из оккупированной зоны в «свободную» — первое время граница между зонами охранялась не эсэсовцами, а немецкой армией, и тут, к счастью, не обходилось без разгильдяйства и коррупции. Затем Вейль получил приглашение на работу в американский колледж. В марте 1941 года Андре, Эвелина и её сын Ален прибыли в Нью-Йорк, и на этом война для Андре Вейля закончилась.

Теоремы и гипотезы

Через несколько лет после приезда в США Вейль получил подходящую для математика его ранга работу в университете Чикаго, затем в Институте высших исследований в Принстоне, во Францию он тоже регулярно наезжал — словом, это была обычная карьера крупного учёного. Скажем теперь кое-что про его научные достижения.

Маршал Филипп Петен (1856–1951). В 1940 году заключил с Германией перемирие, равносильное капитуляции, и возглавил пронемецкое правительство в «свободной зоне ». После освобождения Франции приговорён за государственную измену к расстрелу, заменённому пожизненным заключением из-за преклонного возраста

Выше мы упоминали о короткой заметке, написанной Андре Вейлем в тюрьме. Эта заметка содержала формулировку и набросок доказательства чрезвычайно важного результата — так называемой «гипотезы Римана для кривых над конечным полем». Это был именно набросок: Вейль опирался на вспомогательное утверждение, доказывать которое он в тот момент не умел, но в ситуации, когда было неизвестно, что с ним будет дальше, он решил опубликовать незавершённую работу. Оказавшись в спокойной обстановке, Вейль принялся доводить эту работу «до ума». Для этого ему пришлось, ни много ни мало, по-новому изложить основания алгебраической геометрии! В 1946 году он публикует на эту тему трёхсотстраничную монографию, а в 1948, опираясь на неё, публикует, наконец, полное и подробное изложение своего результата 1940 года. Сейчас эта теорема Вейля также входит во все продвинутые учебники.

Доказав свою теорему, Вейль начал думать о том, как её обобщить. Опираясь на то, что он доказал для кривых, и на разбор некоторых других конкретных примеров, в 1949 году он выдвинул чрезвычайно дерзкую гипотезу, относящуюся уже не к кривым, а к многообразиям любой размерности. Если бы гипотезу Вейля (точнее, гипотезы: это не одно, а несколько связанных между собою утверждений) удалось доказать, то были бы установлены совершенно неожиданные связи между геометрией и арифметикой, но в момент, когда Вейль их формулировал, никто, включая его самого, не понимал, как это можно было бы сделать: похоже, для этого надо было определять совершенно новые математические понятия.

Удостоверение Симоны Вейль (1909–1943) — члена организации «Сражающаяся Франция». Эмигрировав в США, Вейль переправил туда своих родителей и сестру, но Симона вернулась в Англию, чтоб в «Сражающейся Франции» бороться с нацизмом

Казалось бы, что за доблесть выдвинуть лихую гипотезу, которую непонятно, как доказывать? Но тут и проявляется различие между графоманом и великим учёным, способным на предвидение: всё, что Вейль каким-то непостижимым образом угадал, в дальнейшем подтвердилось. Сначала одну из этих гипотез доказал Б. Дворк, но к остальным гипотезам применить его метод не удалось. Затем А. Гротендик с учениками разработал те самые новые математические понятия, которые были необходимы для работы с гипотезами Вейля, и доказал ещё часть гипотез. Наконец, П. Делинь в 1974 году завершил доказательство гипотез Вейля в полном объёме. Многие считают, что (теперь уже бывшие) гипотезы Вейля — главное достижение алгебраической геометрии XX века.

Симона Вейль

Скажем ещё об одной гипотезе, связанной с именем Андре Вейля, — гипотезе Таниямы — Вейля. Она более известна широкой публике, чем гипотезы Вейля 1949 года, поскольку именно из неё вывели великую теорему Ферма. Первоначально эту гипотезу выдвинул японский математик Ю. Танияма, но после этого Андре Вейль предположил, что выполняется существенно более точное утверждение, чем гипотеза Таниямы, и именно это более точное утверждение в конце концов было доказано (опять предвидение!).

В 1986 году умерла Эвелина, и это стало для Вейля тяжёлым ударом. В посвящённой её памяти книге «Воспоминания об ученичестве» Вейль пишет, что учился всю жизнь и продолжает учиться даже сейчас — он учится жить воспоминаниями.

Умер Андре Вейль в 1998 году.

Андре Вейль в старости

Эпилог

В 1957 году Андре Вейлю довелось доказать полезную, но очень простую теорему из алгебраической геометрии. К тому же её доказательство было совсем элементарным. Решив, что публиковать такое от своего имени будет несолидно, Вейль оформил статью в виде анонимного письма в редакцию одного из математических журналов. Само доказательство он изложил в стиле итальянских алгебраических геометров начала XX века. И всё это он написал по-итальянски!