Некруглые монеты постоянного диаметра

Михаил Гельфанд
«Троицкий вариант» №14(233), 18 июля 2017 года

В 2014 году британский Королевский монетный двор решил изменить дизайн монеты в 1 фунт. Причиной послужило то, что примерно 3% находившихся в обращении однофунтовых монет были фальшивыми — и это несмотря на ежегодное изъятие примерно двух миллионов подделок (в обращении находится полтора миллиарда однофунтовых монет). Утверждалось, что новый фунт будет самым защищенным от подделок среди всех известных монет. Как и на всех британских монетах, на аверсе должен изображаться профиль королевы (рис. 1); а вот на рисунок реверса был объявлен конкурс [1]. Выход монеты планировался в 2017 году.

Рис. 1. Великобритания, проект монеты в 1 фунт, 2014 год

Дизайн монеты — правильный 12-угольник, который повторял дизайн традиционной трехпенсовой монеты 1937–1971 годов, — вызвал беспокойство у владельцев торговых автоматов, билетных касс и т. п.: ширина монеты зависела от того, под каким углом она попадает в приемник автомата, что могло создать сложности для автоматической оценки номинала и подлинности монеты. Поэтому в 2016 году углы были сглажены, стороны закруглены, и эксперименты показали, что такая монета с диаметром от 23,03 мм (между сторонами) до 23,43 мм (между углами) будет достаточно хорошо восприниматься торговыми автоматами. Монету выпустили 28 марта 2017 года; в течение полугода старые и новые фунты принимаются на равных, а 15 октября старые монеты выйдут из обращения. Автором изображения на реверсе, в котором объединены символы Англии, Шотландии, Уэльса и Северной Ирландии, стал пятнадцатилетний Дэвид Пирс, ученик гимназии королевы Марии в Уолсолле (рис. 2).

Рис. 2. Великобритания, 1 фунт, 2017 год (Royal Mint)

На самом деле всех эти перипетий можно было избежать, и Королевский монетный двор знает как: с 1969 года Великобритания чеканит семиугольные пятидесятипенсовики постоянного диаметра, сначала 30 мм (рис. 3), а с 1998 года — 27,3 мм (рис. 4).

Рис. 3. Великобритания, 50 пенсов, 1969 год (на аверсе профиль Елизаветы II второго типа, Арнольд Мачин). Фото с сайта en.numista.com

Постоянство диаметра фигуры означает, что между любой парой параллельных касательных будет одно и то же расстояние. Стало быть, автомату всё равно, как в него засунут монету.

Рис. 4. Великобритания, 50 пенсов, 2015 год (на аверсе профиль Елизаветы II пятого типа, Джоди Кларк). Фото с сайта en.numista.com

Аналогичные монеты чеканили территории, зависящие от Британской короны: Фолклендские острова, Гибралтар, Гернси, Остров Мэн, Джерси, — а также Ирландия (рис. 5).

Рис. 5. Ирландия, 50 пингинов, 1977 год; диаметр 30 мм. Фото с сайта en.numista.com

Семиугольными были и монеты в 20 пенсов (постоянный диаметр 21 мм), которые чеканятся с 1982 года (рис. 6).

Рис. 6. Великобритания, 20 пенсов, 1997 год (на аверсе профиль Елизаветы II третьего типа, Ян Ранк-Бродли) Фото с сайта en.numista.com

Все эти монеты имеют форму правильного многоугольника Рёло — фигуры постоянного диаметра, построенной на правильном многоугольнике. Геометрическое его построение несложно: надо провести дуги с центрами в вершинах и радиусами, равными по длине диагонали, которая ведет к вершинам, ограничивающим противоположное ребро. Монеты, перечисленные выше, имеют форму семиугольника Рёло; австрийские 5 евро (рис. 7) — девятиугольника.

Рис. 7. Австрия, 5 евро, 2009 год — Иосиф Гайдн. Фото с сайта CoinNews.nett

Но самой известной фигурой является, конечно, треугольник Рёло (рис. 8).

Рис. 8. Треугольник Рёло («Википедия»)

У него есть много замечательных свойств, например, можно вращать треугольник Рёло внутри квадрата так, что он всё время будет касаться всех четырех сторон квадрата [2]. При этом центр треугольника описывает фигуру, образованную четырьмя эллипсами (рис. 9).

Рис. 9. Вращение треугольника Рёло в квадрате. Синяя линия — траектория центра; красная — эллипс, по дуге которого проходит центр от самой нижней до самой левой точки своей трактории («Википедия»)

А сам треугольник заметает почти весь квадрат, кроме небольших областей в углах, также ограниченных эллипсами (рис. 10).

Рис. 10. Вращение треугольника Рёло в квадрате. Красная линия — эллипс, дуга которого ограничивает оставшийся непокрытым угол («Википедия»)

Форму треугольника Рёло имеют (разумеется) сувенирные монеты Бермуд (рис. 11 и 12) и памятная монета Канады (рис. 13).

Рис. 11. Бермуды, 1 доллар, 1998 год — Бермудский треугольник. Фото с сайта en.numista.com

Рис. 12. Бермуды, 9 долларов, 2007 год — крушение галеона «Сан-Педро» (Картахена — Кадис, ноябрь 1596 года); дата на монете не точна [3]. Фото с сайта en.numista.com

Рис. 13. Канада, 50 центов, 2009 год (Royal Canadian Mint)

Для сравнения — просто треугольная австралийская монета памяти солдат Первой мировой войны (рис. 14).

Рис. 14. Австралия, 5 долларов, 2016 год. Фото с сайта directcoins.com.au

Существуют простые обобщения геометрической конструкции, с помощью которой получены эти монеты. Фигуру постоянного диаметра можно построить, взяв за основу звезду со сторонами одинаковой длины, не обязательно правильную (рис. 15).

Рис. 15. Неправильный семиугольник постоянного диаметра, построенный на звезде с равными сторонами («Википедия»)

Можно также построить фигуру, начав с произвольного треугольника; при этом каждая вершина является центром не одной, а двух дуг, отчего углы получаются сглаженными (рис. 16) [4]. Пусть в треугольнике ABC угол А самый маленький (и, тем самым, противоположная сторона a самая короткая). Выберем неотрицательный радиус r_A. Теперь нам нужно подобрать радиусы r_В и r_С так, чтобы выполнялись соотношения a+r_В+r_С=r_A+b+r_С=r_A+r_В+c. Это несложно сделать, и диаметр фигуры получается равным 2r_A+b+с–a. Самый маленький радиус регулирует сглаживание на углах: при r_A=0 получаем фигуру с одним острым углом, а при r_A→∞ фигура превращается в окружность.

Рис. 16. Неправильный треугольник постоянного диаметра со сглаженными углами [4]

Существуют и другие конструкции (надо только, чтобы число вершин было нечетным), а также трехмерные обобщения, про которые рассказано, например, на канале YouTube «Numberphile» [5].

См. также:
Кривые постоянной ширины.

1. New pound coin designed to combat counterfeiting. BBC, 19.03.2014.
2. Качение треугольника Рёло по квадрату.
3. Wreck Site, San Pedro (+1596).
4. Ridley J. N. A generalization of the Reuleaux triangle.
5. Numberphile. Shapes and Solids of Constant Width.