О трех работах Эйнштейна 1905 года

В. Тихомиров
«Квант» №2, 2012

Родители Альберта Эйнштейна (1879–1955) беспокоились о судьбе своего сына. Он казался им ни на что не способным. Учился он неважно. Они даже вынуждены были отправить его в Швейцарию, где преподавание было либеральнее, чем в Германии. Там он кончил гимназию и поступил в Цюрихский университет. В университете Альберт учился без блеска. Герман Минковский, лекции которого слушал Эйнштейн, невысоко оценивал его возможности. Ни о какой научной карьере речь не шла, и юноша устроился на скромную должность эксперта в патентное бюро. Ему пошел двадцать шестой год, однако ничего, кроме нескольких заметок, на которые никто не обратил внимания, у Эйнштейна не было.

Но внутри молодого человека шла огромная, неведомая никому творческая работа, итоги которой выплеснулись в 1905 году. В тот год Эйнштейн опубликовал четыре статьи. В первой он сделал фундаментальный вклад в основы квантовой теории излучения, во второй — в основы молекулярной физики. Однако оба эти сверхвыдающиеся достижения были перекрыты его третьей работой, в которой он изложил начала специальной теории относительности. До осознания значимости его общеизвестной ныне формулы E₀ = mc², выводу которой он посвятил свою четвертую статью, время тогда еще не пришло¹. Но ныне это одна из самых известных формул в физике.

Давайте разберемся в первых трех работах Эйнштейна. Для них всех характерна какая-то детская простодушная естественность. Недаром Эйнштейну приписывают такие слова: «Мир устроен просто. Очень просто. Но не более того».

Первая публикация Альберта Эйнштейна 1905 года называлась так: «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света». Эта статья 18 марта 1905 года поступила в редакцию ведущего физического журнала Германии «Annalen der Physik» («Анналы физики») и в том же году была напечатана в одном из выпусков журнала.

Совершим очень короткий экскурс в историю. Вопрос о происхождении света возник в XVII веке. Роберт Гук (1635–1703) считал, что свет имеет волновое происхождение, как звук; эту точку зрения поддержал и Христиан Гюйгенс (1629–1695). А вот Исаак Ньютон (1643–1727) возражал им — он полагал, что свет состоит из частиц. Авторитет Ньютона взял верх, и восторжествовала корпускулярная теория света. Но в начале XIX века победила волновая теория света. И она считалась истинной до 1905 года, когда появилась статья Эйнштейна. За пять лет до того в работе Макса Планка (1858–1947) было высказано предположение, что энергия света выделяется дискретно, определенными порциями — квантами. И Эйнштейн во введении к своей работе пишет так: «Согласно сделанному здесь предположению, энергия пучка света, вышедшего из некоторой точки, не распределяется непрерывно во всё возрастающем объеме, а складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих только целиком». Это предположение согласовывалось с планковской гипотезой.

В 1887 году было открыто явление фотоэффекта — «выбивание» электронов из металла при освещении его светом. Эксперимент показывал, что максимальная начальная скорость электрона на выходе из металла определяется частотой света и не зависит от его интенсивности, а от интенсивности зависит число электронов, вырывающихся из металла в единицу времени. И при этом существует минимальная частота (определяемая химической природой вещества), при которой фотоэффект вообще возможен. Эти результаты явно противоречили волновой теории света.

Эйнштейн объяснил все это очень естественно, дополнив волновую теорию. Суть дела виделась Эйнштейну в том, что электрон в металле находится как бы в тюрьме — его удерживают внутри металла некие силы. Для того чтобы преодолеть внешние силы и выскочить из металла, электрону нужна дополнительная энергия. Эту энергию, как предположил Эйнштейн, электрон получает порциями, поглощая, при освещении металла светом, один фотон, имеющий энергию hν, где h — некая постоянная, которую стали называть постоянной Планка, а ν — частота света. Словом, Эйнштейн в своих рассуждениях допустил совместимость корпускулярной и волновой теорий.

Обозначим через ν₀ минимальную частоту, при которой возможен выход электрона из металла. Если ν ≤ ν₀, ничего не происходит — электрон остается в металле. Если же ν > ν₀, то при вылете электрон приобретает скорость. При этом, в соответствии с законом сохранения энергии, максимальная скорость  определяется равенством

где А_вых = hν₀ — работа выхода электрона из металла. Таково уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Это уравнение получило многократные подтверждения многочисленными экспериментами. Величины, измеряемые слева, как функции известных частот, на графике представляли собой параллельные прямые, угловой коэффициент которых равен постоянной Планка h. Среднее значение постоянной Планка, полученное в результате этих экспериментов, оказалось очень близким к принятой ныне величине постоянной Планка: точность составила доли процента.

Теория фотоэффекта, предложенная Эйнштейном, сыграла огромную роль в формировании новой механики — квантовой механики. Она была сочтена Нобелевским комитетом достойной присуждения Эйнштейну в 1921 году Нобелевской премии по физике.

Вторая статья Эйнштейна — «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты» — была завершена в начале мая 1905 года, поступила в редакцию 11 мая 1905 года и была опубликована в «Annalen der Physik» в том же томе, что и первая статья.

В этой работе Эйнштейн строит теорию хаотического движения очень мелких (видимых лишь под микроскопом) взвешенных частиц в неподвижной жидкости, выводит уравнение для плотности числа частиц и обнаруживает, что оно в точности совпадает с уравнением теплопроводности (или диффузии — эти уравнения выглядят одинаково).

И снова совершим краткий экскурс в историю. В 1822 году Жан Батист Фурье (1768–1830), выдающийся математик и физик, выпустил в свет свой мемуар «Аналитическая теория тепла». В нем он дал математическое описание распространения тепла в различных средах. Для этого Фурье вывел уравнение теплопроводности, которое призвано описывать поведение температуры u(t, x) в момент t в точке x бесконечного в обе стороны теплопроводящего стержня. Согласно Фурье, функция u(t, x) удовлетворяет уравнению

которое и называют уравнением теплопроводности. Легко проверить, что функция

является решением уравнения теплопроводности². Число, равно, по Фурье, температуре стержня в точке x в момент t при условии, что в нулевой момент времени в начале координат стержню передали единицу количества теплоты (как бы коснувшись стержня в нулевой точке другим раскаленным стержнем).

В 1827 году английский ботаник Роберт Броун (1773–1858) обнаружил видимое только в микроскоп беспорядочное движение мельчайших взвешенных частиц в неподвижной жидкости. Нам следовало бы называть фамилию ботаника Браун, поскольку по-английски она пишется Brown, но в старину транскрибировали фамилии не согласуясь с произношением. Ученого назвали Броун, и за открытым им беспорядочным движением частиц закрепилось название броуновское движение. Сейчас в учебниках по физике пишут, что «закономерности броуновского движения были изучены Эйнштейном (1905)». Это, несомненно, так, но сам Эйнштейн в работе, которую мы обсуждаем, счел необходимым в преамбуле статьи оговориться. Он пишет: «Возможно, что рассматриваемые движения тождественны с так называемым броуновским движением; однако доступные мне данные относительно последнего настолько неточны, что я не мог составить об этом определенного мнения».

Эйнштейн мысленно смоделировал поведение хаотически двигающихся частиц следующим образом. Частица двигается по точкам с координатами kΔx, где k — целое число, k = 0, ±1, ±2, ..., в моменты времени lΔt, где l — натуральное число 0, 1, 2, ..., бросает монетку и двигается вправо, если выпал орел, или влево, если выпала решка. Положим тогда в точке частица будет находиться с вероятностью  –n ≤ k ≤ n, ибо всех исходов 2ⁿ, а исходов, при которых частица попадет в данную точку, C_n^k. Если построить ступенчатую функцию, на отрезке [kΔt; (k + 1)Δt] равную то эта функция будет очень близка к функции

где D — некоторый коэффициент, зависящий от α и называемый коэффициентом диффузии.

Если теперь запустить n частиц двигаться описанным образом независимо друг от друга и перейти к пределу при n, стремящемся к бесконечности, то окажется, что число частиц на отрезке [x; x + dx] в момент времени t, обозначим это число частиц через f(t, x)dx, будет удовлетворять уравнению

Это, разумеется, уравнение теплопроводности, но в применении к описываемому процессу его называют уравнением диффузии. Исходя из физических соображений, Эйнштейн вычислил коэффициент диффузии D. Он оказался равным , где a — число, зависящее от размера частиц и от коэффициента трения жидкости, N_A — постоянная Авогадро, T — абсолютная температура, а R — некая универсальная постоянная.

К моменту написания этой статьи Эйнштейна вопрос о молекулярно-кинетической теории теплоты еще был открыт. Еще неясно было, сколько молекул имеется в одном моле вещества. Это число определяла постоянная Авогадро, величина которой еще не была достаточно точно оценена. В аннотации к статье Эйнштейн говорит, что экспериментальное подтверждение ее результатов будет сильным доводом в пользу молекулярно-кинетической теории теплоты, а опровержение ее будет, по его словам, «веским аргументом против молекулярно-кинетического представления о теплоте».

В самом конце статьи автор пишет, что найденные им соотношения «могут быть применены для определения числа N» (числа Авогадро N_A). И это вскоре произошло! Французский экспериментатор Жан Перрен (1870–1942) серией очень тонких опытов в 1906 году получил значение числа Авогадро, близкое к 6,8·10²³ моль^–1. Затем Перреном были произведены опыты с броуновскими частицами, поведение которых было описано Эйнштейном. Результаты совпали, и это стало торжеством молекулярно-кинетической теории. За всё это Жан Перрен в 1926 году был удостоен Нобелевской премии по физике.

Мы видим, что и вторая работа Эйнштейна была нобелевского уровня. Вскоре теория Эйнштейна была развита М. Смолуховским, затем А. Фоккером и М. Планком.

Потом за дело взялись математики. Н. Винер описал случайный процесс, который был навеян движением броуновской частицы. А. Н. Колмогоров в своей знаменитой статье «Аналитические методы в теории вероятностей» (1931) ввел понятие марковского процесса, обобщил и развил достижения физиков, о чём он сам узнал после опубликования своей работы. Начиная с 1933 года Колмогоров упоминает работы Смолуховского, Фоккера и Планка, но почему-то обходит своим вниманием работы истинного родоначальника теории — Эйнштейна.

Переходим к обсуждению третьей, и самой знаменитой, статьи Эйнштейна не только среди опубликованных в 1905 году, но и вообще во всём его творчестве. Эта статья под названием «К электродинамике движущихся тел» поступила в редакцию 30 июня 1905 года и была опубликована в «Annalen der Physik» опять-таки в том же самом томе! В этой статье излагалась теория, получившая впоследствии название специальной теории относительности.

Специальная теория относительности может быть выведена (и мы сделаем это) из двух постулатов.

Первый постулат, называемый принципом относительности, можно сформулировать так: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых условиях протекают одинаково. Как и в случае галилеевой механики, находясь в занавешенном поезде, способном двигаться равномерно, прямолинейно и бесшумно, нельзя установить, двигается поезд или стоит.

А второй постулат явился следствием опытов Альберта Майкельсона (1852–1931), установившего, что скорость света в вакууме постоянна, что она не зависит от движения источника света.

Как тут не вспомнить легенду, похожую на апокриф, о юноше (при этом называют Планка), который обратился к мэтру с просьбой о напутствии — он хотел стать физиком. Мэтр сказал, что не видит у физики перспектив: на почти безоблачном небе открытых истин видны лишь два небольших облачка — опыт Майкельсона и законы теплового излучения. Скоро они рассеются, и в физике нечего будет делать. О законах излучения, которые, благодаря гипотезе Планка, открыли окно в диковинный микромир, было чуточку рассказано выше. А опыт Майкельсона вообще перевернул наши представления о времени и пространстве.

Обсудим вопрос о сложении скоростей в галилеевской и в эйнштейновской механике. Представим себе железнодорожную станцию, на которой стоит с флажком дежурный по станции Д. Мимо него со скоростью проносится поезд. В поезде стоит курильщик K, а мимо него проходит пассажир П, который идет по ходу поезда со скоростью '. Допустим, что в нулевой момент времени все три человека находились на одной прямой. Через время t курильщик K будет находиться на расстоянии t, а пассажир П — на расстоянии ( + ')t от дежурного Д, т. е. П будет двигаться относительно Д со скоростью V =  + '. Это — формула Галилея. И до конца девятнадцатого века казалось, что если в нулевой момент времени все трое одновременно пустили бы луч света по направлению движения, то луч П опережал бы луч K, а тот, в свою очередь, опережал бы луч Д. (Ведь если бы они выстрелили одновременно, то пуля, пущенная П, неслась бы впереди двух других — в этом никто сомневался.) Однако опыт Майкельсона показал, что со светом дело обстоит не так: все лучи в нашем мысленном опыте будут распространяться не отставая и не опережая друг друга. Это может означать только одно: часы в движущемся поезде и часы дежурного на станции идут по-разному.

Будем считать, что скорость света равна единице. Пусть одна и та же точка на прямой имеет координаты (x, t), где x — положение поезда, t — момент времени по показанию часов дежурного, когда курильщик в поезде пересекает точку x, в неподвижной системе координат, и (x', t') — в подвижной системе координат. Закон сохранения скорости света приводит к равенству

x² – t² = x'² – t'².

Было сделано предположение, что переход от одной системы координат к другой совершается линейно. Линейные отображения, сохраняющие форму x₁² + x₂², это повороты:

x₁' = x₁ cos α + x₂ sin α,  x₂' = –x₁ sin α + x₂ cos α.

Линейные отображения, сохраняющие форму x² – t², это гиперболические повороты:

x = x' ch α + t' sh α,  t = x' sh α + t' ch α,  x' = x ch α – t sh α,  t' = –x sh α + t ch α,  ( * )

где ch α и sh α — гиперболический косинус и гиперболический синус соответственно.

Вернемся к нашим героям. По прошествии времени t стоящий в поезде пассажир K будет находиться в точке (t, t) в неподвижной системе координат и в точке (0, t') в подвижной, а идущий пассажир П будет иметь в тех же системах координаты (Vt, t) (где V — скорость П относительно Д) и ('t', t'). В силу того что точка (0, t') перешла в точку (t, t), из равенств ( * ) получаем

0 = t sh α – t ch α,  откуда  = cth α,

где cth α — гиперболический котангенс. Аналогично,

точка ('t', t') совпадает с точкой (Vt, t), откуда снова из ( * ) получаем

Vt = 't' ch α + t' sh α,  t = 't' sh α + t' ch α.

Деля первое равенство на второе и затем деля числитель и знаменатель на ch α , приходим к формуле Эйнштейна для сложения скоростей:

полученной в его знаменитой работе 1905 года.

Группу преобразований, сохраняющих форму x₁² + x₂² + x₃² – t² (ее частный случай был рассмотрен нами выше), А. Пуанкаре назвал группой Лоренца. В ряде статей, предшествующих работе Эйнштейна, Пуанкаре утверждал, что имеет место принцип относительности, согласно которому законы природы в двух системах координат, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью, одинаковы. В сочетании с постоянством скорости света это приводит, как было показано, к формуле сложения скоростей, полученной нами. Примерно с той же легкостью можно было бы извлечь из двух постулатов и другие парадоксы, вроде парадокса близнецов, изменения длин и т. п. Эти парадоксы стали достоянием всех после работы Эйнштейна 1905 года. По-видимому, всё это понимал к тому времени и Пуанкаре — один из величайших ученых всех времен. Но почему он никогда и никому не говорил об этом, остается загадкой.

Четвертая работа Эйнштейна была озаглавлена так: «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?» Она поступила в редакцию 27 сентября 1905 года и была опубликована в «Annalen der Physik» в том же 1905 году, но уже в следующем томе. Ей была посвящена статья Б. Болотовского, опубликованная в журнале «Квант» №2 за 1995 год. Прочитайте эту статью.

¹ Индекс «0» у энергии подчеркивает, что речь идет об энергии покоя частицы.
² Это уравнение означает, что производная по t функции u(t, x) при фиксированном x равна половине второй производной функции по x при фиксированном t. Так уравнение теплопроводности пишут математики. А физики умножают правую часть на размерный коэффициент, представляющий собой дробь, в которой числитель есть удвоенный коэффициент теплопроводности, а в знаменателе стоит произведение плотности на удельную теплоемкость.