«Математическое понимание природы». Главы из книги

Путешествие к центру Земли

Камень падает (без начальной скорости) в шахту, диаметрально просверливающую всю сферическую планету.

Исследовать его движение под действием гравитационного поля (считая планету однородной, имеющей постоянную плотность).

Решение. Согласно теореме Ньютона, уже пройденные (однородные) сферические слои камень не притягивают, а ещё не пройденные притягивают так, как если бы их масса была в центре планеты.

Обозначим расстояние от камня до центра планеты через r. Тогда объём (а значит, и масса M) оставшихся непройденными слоёв будет пропорционален r³. По закону всемирного тяготения сила притяжения такой массой, находящейся в центре планеты, убывает с r, как M/r² = r.

Значит, камень в такой шахте движется в соответствии с силовым полем закона Гука:

Здесь амплитуда R есть радиус планеты.

Итак, камень совершает вокруг центра планеты гармонические колебания. Он вернётся в исходную точку P через период T = 2π/ω (побывав в середине этого периода у антиподов).

Чтобы избежать длинных вычислений коэффициента ω² в уравнении поля Гука, рассмотрим близкий спутник, вращающийся вокруг планеты по проходящей через P окружности большого круга. Ортогональная проекция этого спутника на диаметр шахты совершает при его движении гармонические колебания с амплитудой R. В точке P гравитационное поле, действующее на этот камень и на спутник, одинаково (так как камень не прошёл ещё ни одного сферического слоя).

Поэтому период T колебаний камня в шахте равен периоду прохождения близким спутником всей своей круговой орбиты (для планеты Земля это примерно полтора часа).

Эти законы Ньютона объясняют удивительный состав колец Сатурна: глыбы льда, из которых они состоят, имеют в среднем размер от 10 до 20 метров.

Случайно движущиеся по (не совсем круговым) кеплеровским орбитам глыбы, естественно, могут столкнуться, и средняя скорость удара вычисляется, исходя из среднего размера глыб: она зависит от разности скоростей движения по близким кеплеровым орбитам.

Осколки от соударения имеют тем большую скорость, чем больше скорость удара. Вычисления показывают, что для больших 20 м глыб эта скорость осколков больше (второй) космической скорости (ухода осколков далеко от родившей их глыбы), так что такая глыба от столкновений будет уменьшаться.

Если же глыба имеет размер меньше 10 метров, то осколки вылетают с меньшими скоростями, и они возвращаются обратно—хотя бы одна из столкнувшихся двух глыб растёт.

Эта-то динамика и приводит к установлению населённости кольца и не слишком большими, и не слишком малыми глыбами (которая и обнаружена была, после описанных выше вычислений, при полёте Вояджера).