Случайные шахматы

Михаил Гельфанд
«Троицкий вариант — Наука» №1 (445), 13 января 2026 года

Оригинал статьи на сайте «Троицкого варианта»

Почти тридцать лет назад компьютер стал играть в шахматы лучше человека — это показал выигрыш в 1997 году программы Deep Blue в матче с действующим чемпионом мира (имя которого нынче не рекомендуется упоминать вследствие последующей политической активности, приведшей его в разного рода списки неблагонадежных граждан). После этого общественный интерес к шахматам как-то поутих, однако игра до сих пор представляет возможности не только для проведения досуга, но и для научных изысканий, например в области принятия решений.

На самом деле про кризис в шахматах говорили задолго до исторического матча. Одним из проявлений этого кризиса была дебютная теория, разработанная настолько хорошо, что содержательная игра начинается только в миттельшпиле, а дебют разыгрывается по памяти (что несколько напоминает анекдот про сумасшедших, перенумеровавших анекдоты и рассказывающих их, просто объявляя номер). Еще в 1792 году нидерландский шахматист, военный и государственный деятель Филипп Юлиус ван Зёйлен ван Нейевелт предложил начинать игру со случайных позиций. Забавно сравнить названия французского и нидерландского изданий его книги: «Превосходство в шахматах: доступное для всех, и особенно для дам, которые любят это развлечение, или Новый метод, с помощью которого можно быстро и без особых усилий стать очень сильным в этой игре» и «Игра в шахматы стала гораздо проще для изучения и гораздо увлекательнее для игры: или Инструкция о том, как быстро и без особых усилий стать очень сильным в этой игре» соответственно.

Титульные листы французского (abebooks.com) и нидерландского (books.google.nl) изданий книги ван Зёйлен ван Нейевелта о шахматах со случайной начальной расстановкой. Французское издание в хорошем состоянии можно купить на букинистическом сайте за тысячу долларов; на «Амазоне» есть современный репринт нидерландского издания

Свои модификации предлагали Хосе-Рауль Капабланка и Давид Бронштейн. В 1996 году Роберт Фишер (еще один чемпион мира, внешахматные воззрения которого сильно повлияли на его репутацию, хотя скорее в противоположном направлении) предложил разыгрывать стартовую позицию случайно, но с соблюдением двух ограничений: слоны должны стоять на полях разного цвета, а король должен находиться между ладьями, чтобы сохранить возможность рокировок. Расположение черных фигур, как и в обычных шахматах, зеркально симметрично расположению белых. Презентация 18 июня на пресс-конференции в Буэнос-Айресе не вызвала большого интереса, но уже в 2001 году в Майнце прошел первый чемпионат мира, а с 2012 года эти чемпионаты проводятся под эгидой ФИДЕ. В них, как и в других турнирах, играют многие ведущие шахматисты.

Филипп Юлиус ван Зёйлен ван Нейевелт (1743–1826) и Роберт Джеймс Фишер (1943–2008) («Википедия»)

Теперь можно задать два вопроса: 1) насколько стартовая позиция влияет на преимущество первого хода у белых и 2) насколько стартовая позиция влияет на разнообразие нескольких последующих ходов, причем отдельно для белых и черных. Эти вопросы и были заданы в только что вышедшем препринте¹ Марка Бартелеми, результаты которого мы и перескажем.

Марк Бартелеми (Marc Barthelemy), физик из Института теоретической физики в Сакле, что к юго-западу от Парижа (quanturb.com)

Как легко посчитать², количество стартовых позиций, удовлетворяющих правилам Фишера, — 960. Автор оценил каждую из них с помощью программы Stockfish, по его словам, «оценивающей позиции со сверхчеловеческой точностью». Оказалось, что это распределение сильно сдвинуто в пользу белых (+0,297 ± 0,136), лишь несколько позиций оказываются почти равными, и только четыре имеют (пренебрежимо малое) преимущество у черных. Стандартная позиция ♖♘♗♕♔♗♘♖ очень близка к среднему и к медиане (47-й перцентиль).

Распределение оценок начальных позиций (в пешках, за белых). Сплошая зеленая линия — стандартная позиция ♖♘♗♕♔♗♘♖ (+0,28); пунтирные линии: синяя — минимум (–0,09 при ♖♘♗♔♕♘♖♗), серая — среднее (+0,30), красная — максимум (+0,83 при ♘♖♗♔♘♖♕♗)³

Но преимущество белых обычно не считается проблемой; оно преодолевается правильным графиком соревнования. Автор же оценивает то, что можно назвать интеллектуальной нагрузкой на игрока. Пусть наилучший ход (точнее, полуход) в данной позиции приводит к позиции с оценкой Е₁, второй по качеству — к позиции с оценкой Е₂; а Δ = E₁ – E₂ — оценка разницы между лучшим и субоптимальным ходами. Для игрока, способного к различению качества ходов на уровне Δ₀, вероятность выбрать лучший ход оценивается как P = 1/(1 + exp(–Δ/Δ₀)); это функция softmax (logit) в машинном обучении. Естественным образом при Δ ≫ Δ₀, P→1 (лучший ход очевиден), а при Δ ≪ Δ₀, P→½ (почти нет разницы). Информационное содержание, или стоимость хода

S(Δ) = –log₂P = log₂(1 + exp(–Δ/Δ₀))

измеряет количество информации (в битах), которое нужно для выбора правильного хода. Как и должно быть из интуитивных соображений, S(Δ) ≈ 0 бит при Δ ≫ Δ₀ (выбрать легко) и S(Δ) ≈ log₂2 = 1 бит при Δ ≪ Δ₀ (выбрать сложно). Наконец, определим кумулятивную функцию для n (полу)ходов:

S(n) = ∑_i=1...n S(Δ_i) = ∑_i=1...n log₂(1 + exp(–Δ_i/Δ₀)).

У такого определения есть естественные свойства: вклад очевидных позиций мал, доминируют позиции, выбор в которых сложен, а общая величина зависит от уровня игрока, определяемого Δ₀. Считается, что для гроссмейстера Δ₀ = 10 сантипешек (100 — для посредственного игрока, который может разве что заметить потерю пешки).

Пользуясь всё той же программой Stockfish, автор посчитал сложность решений на глубину n = 10 (полу)ходов отдельно для белых (S_W) и для черных (S_B), а также асимметрию A = S_B  – S_W, которая, грубо говоря, измеряет, насколько черным приходится больше думать в начале игры, чем белым. Оказалось, что распределение асимметрии существенно сдвинуто относительно нуля: при большинстве начальных позиций белым играть сложнее. Однако стандартная начальная позиция для белых проще средней (4,29 ± 1,22 против 4,81; здесь и далее всё измерено в битах), а для черных — сложнее (4,97 ± 1,17 против 4,56), что приводит к достаточно большой асимметрии против черных (+0,69 ± 1,69, 91-й перцентиль).

Распределение сложности решений белых (слева вверху) и черных (справа вверху), и асимметрии (справа внизу). Красные пунктирные линии — средние, зеленые сплошные — стандартная начальная позиция, серая — нулевая асимметрия

Итак, стандартные шахматы мало того что благоприятствуют белым в начальной позиции, они еще и накладывают на черных бóльшую интеллектуальную нагрузку. Каковы же другие интересные стартовые позиции? Самые асимметричные по сложности: ♖♗♕♘♗♔♘♖ против черных (A = +1,84 ± 1,75) и ♗♕♖♗♘♔♘♖ против белых (A = –2,51 ± 1,65); самая симметричная: ♘♘♖♗♗♔♖♕ (но со стартовым преимуществом белых); самая суммарно сложная: ♗♘♖♕♔♗♘♖ (S_B + S_W = 15,00 ± 1,02, но при этом с небольшой асимметрией A = –0,06); самая простая: ♘♗♕♖♔♖♗♘ (S_B + S_W = 4,89 ± 2,55; однако большая дисперсия показывает, что некоторые игры с таким стартом достаточно сложны). «Самая справедливая» позиция с малым преимуществом одной из сторон и малой асимметрией — это ♕♘♗♖♔♗♘♖, отличающаяся от стандартной единственной перестановкой ферзя и ладьи.

Оценка стартовой позиции (горизонтальная ось) и асимметрия сложности (вертикальная ось). Стандартные шахматы — желтая звезда, самая сбалансированная позиция ♕♘♗♖♔♗♘♖ — зеленый ромб

В турнирах по нестандартным шахматам стартовые позиции считаются равноценными и выбираются случайно. Автор указывает, что следует учитывать не только стартовое преимущество белых, но и асимметрию сложности решений. Видимо, полезно было бы построить множество хорошо сбалансированных позиций, отказавшись от условия стартовой симметрии белых и черных, и выбирать из него, но тут возникают комбинаторные сложности: количество вариантов становится 960² = 921 600 (но если отказаться от намерения найти все такие позиции, можно думать про разные эвристические методы оптимизации поиска).

С философской же точки зрения эта работа и выводы из нее представляются неким парадоксом. Компьютер хорошо оценивает позиции и вообще играет в шахматы лучше человека — поэтому мы используем его, чтобы оценивать справедливость разных начальных расстановок, и собираемся генерировать варианты, в которые потом уже будут играть люди (подсознательно понимающие, что компьютер уже всё давно разыграл).

¹ Barthelemy M. Not all Chess960 positions are equally complex. arXiv: 2512.14319. December 17, 2025. DOI: 10.48550/arXiv.2512.14319.

² Слоны занимают 4 × 4 = 16 разных пар полей (четыре белых и четыре черных), ферзь любое из шести оставшихся, для двух коней остается пять полей, т.е 5 × 4/2 = 10 разных положений, а на трех оставшихся полях единственным возможным образом (rkr) располагаются ладьи и король.

³ Сразу не вполне понятно, почему минимум и максимум достигаются при одной позиции каждый: казалось бы, позиции, взаимно-симметричные относительно вертикальной оси, должны приводить к одинаковым результатам при симметричных ходах, и потому иметь одинаковые оценки. Видимо, дело в асимметрии правил рокировки: король попадает на вертикаль c (третья от края) или g (вторая от края) в зависимости от того, с какой стороны от него стоит рокирующаяся ладья.