Эрвин Шрёдингер и его уравнение — 2

Алексей Левин
«Троицкий вариант — Наука» №22(441), 22 ноября 2025 года

Оригинал статьи на сайте «Троицкого варианта»

Алексей Левин

Эта статья в двух частях замыкает серию публикаций, посвященных столетнему юбилею квантовой механики, которые в 2024–2025 годах появились в «Троицком варианте». Посвящена она одному из его создателей — Эрвину Рудольфу Йозефу Александру Шрёдингеру. Вместо традиционного жизнеописания, охватывающего все эпизоды его земного существования, здесь собраны только те автобиографические факты, которые существенны для понимания его пути к главным, перевернувшим квантовую механику результатам. В первой части¹ было рассказано о первой половине жизни Шрёдингера — о детстве, школьных годах и студенчестве, участии в Первой мировой войне, работе в Венском университете, переезде в Германию, а затем Швейцарию. Словом, обо всем, что предшествовало его главным научным работам.

Эрвин Шрёдингер. Фото Фрэнсиса Саймона

Княжеский дар

Если верить воспоминаниям одного из основателей квантовой электродинамики Фримена Дайсона, Нильс Бор как-то сказал Вольфгангу Паули, что его новая нелинейная теория поля недостаточно безумна для того, чтобы оказаться истинной. Об этом говорится в статье Дайсона “Innovations in Physics”, опубликованной в сентябрьском выпуске Scientific American за 1958 год. Вообще-то критерий Бора, если только он говорил всерьез, а не шутил, имеет довольно ограниченную применимость. Скажем, великая статья Альберта Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», где впервые изложены основы специальной теории относительности, буквально поражает строгой внутренней логикой и никак не наводит на мысли о безумии. Но какое-то рациональное зерно в словах Бора, возможно, имеется.

Почему я об этом вспомнил? Дело в том, что от диссертации Луи де Бройля и в самом деле попахивало если не безумием, то явной экстравагантностью. Во всяком случае, таково было впечатление четырех заслуженных профессоров Сорбонны, которые оценивали его работу. А ведь это были звезды французской науки: блестящие физики Поль Ланжевен и Жан Перрен, известный минералог и кристаллограф Шарль-Виктор Моген и великий математик Эли Жозеф Картан, который в 1913 году первым придумал новые геометрические объекты — спиноры. Однако даже эти корифеи не оценили по достоинству труд де Бройля, сочтя его гипотезу слишком фантастической. Однако же дали автору докторскую степень — за несомненную оригинальность.

Луи де Бройль, 1920-е годы

Я не буду воспроизводить первоначальные дедукции де Бройля, которые и в самом деле несколько темноваты. Однако в своей стержневой идейной схеме его работа кристально логична. После пионерских открытий Эйнштейна и Комптона нельзя было не признать, что электромагнитные волны могут проявлять себя также и как корпускулы (общепринятый термин «фотон» был придуман американским химиком Гилбертом Льюисом чуть позже, в 1927 году). В принципе, ничто не мешало предположить, что этот дуализм работает и в другую сторону: частицы микромира могут демонстрировать волновые свойства. Именно к такой гипотезе пришел де Бройль. Впервые он изложил свои идеи еще в 1923 году².

Главная идея де Бройля состоит в возможности приписать каждой частице волну вполне определенной длины. При этом, что очень важно, его аргументы основаны на эйнштейновской специальной теории относительности. В исходном виде они требуют для понимания некоторых усилий, но, в принципе, их можно переписать очень коротко и с помощью несложной математики. Не могу отказать себе в удовольствии это сделать — для тех, кто разбирается в СТО. В математическом формализме этой теории любая плоская волна полностью описывается 4-вектором (k, ω). Здесь k — трехмерный волновой вектор, модуль которого равен 2π/λ (λ — длина волны), а ω — круговая частота. При преобразованиях Лоренца он изменяется точно так же, как и любой другой 4-вектор, включая 4-вектор импульса частицы (p, E), где p — трехмерный вектор импульса, а E — энергия. Де Бройль предположил, что любой частице можно сопоставить не только 4-вектор импульса, но и волновой 4-вектор. Из этой гипотезы следует, что длина этой волны равна отношению постоянной Планка h к модулю трехмерного импульса частицы p: λ = h/p. Именно эта формула и лежит в центре теории де Бройля.

Де Бройль назвал свои гипотетические волны фазовыми. Важно отметить, что он не придавал им ту же реальность, что и волнам максвелловской теории электромагнетизма или любым другим волновым процессам классической науки. Проблема их физической интерпретации в свое время породила обширную литературу, но в эту тему я вдаваться не буду. Отмечу только, что в релятивистской квантовой теории поля корпускулярно-волновой дуализм возникает естественным образом и не требует специальных истолкований.

Конечно, диссертация де Бройля не ограничивалась выводом приведенной выше формулы. Так, он показал, что скорость пакетов, образованных фазовыми волнами (так называемая групповая скорость), по величине и направлению совпадает с обычной скоростью материальной частицы с импульсом p и энергией E. При этом групповая скорость всегда меньше скорости света, так что никаких противоречий со СТО не возникает. Этот результат тем более важен, что, как было установлено еще классической физикой, волновые процессы всегда переносят энергию или любые прочие наблюдаемое величины именно с групповой скоростью. Кроме того, де Бройль получил условие квантования круговых электронных орбит, лежащее в основе полуклассической модели атома водорода, опубликованной в 1913 году Нильсом Бором. Напомню, что оно выражается соотношением 2πmvr = nh, где m — это масса электрона, v — его орбитальная скорость, r — радиус орбиты, n — любое натуральное число и h — постоянная Планка. Так что теория де Бройля в определенном смысле объясняла боровский постулат, который, как известно, был сформулирован как чистая гипотеза. С другой стороны, в основе теории де Бройля лежала столь же произвольная гипотеза, так что критик-пурист мог бы сказать, что хрен редьки не слаще.

Существует легенда, что кто-то из членов экзаменационной комиссии на защите спросил де Бройля, какие еще аргументы в защиту своей модели он мог бы предложить. Де Бройль якобы ответил, что ее экспериментальным подтверждением послужило бы наблюдение интерференционных явлений при рассеянии электронов на кристаллических решетках. Не знаю, правда это или нет, но могу предположить, что Моген вполне оценил бы такой ответ. Во всяком случае, в 1927 году такой эксперимент был выполнен сотрудниками фирмы Bell Telephone Laboratories Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером, которые обнаружили дифракционные полосы при отражении разогнанных электростатическим полем электронов от монокристалла никеля. Одновременно аналогичные данные в Великобритании получил профессор Абердинского университета Джордж Паджет Томсон, сын первоткрывателя электрона Джозефа Джона Томсона. В 1937 году Дэвиссон и Томсон за свои эксперименты были удостоены Нобелевской премией по физике. Как считается, их результаты стали сильным аргументом в пользу присуждения этой награды самому де Бройлю восемью годами ранее.

Эксперимент Дэвиссона — Джермера. Davisson-Germer Experiment, hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

Теперь вернемся к Шрёдингеру. С перепечаткой диссертации де Бройля в Annales de Physique он ознакомился в конце октября 1925 года (скорее всего, по инициативе Питера Дебая). 3 ноября Шрёдингер в письме Эйнштейну не только выразил восхищение этой работой, но и подчеркнул аналогию между нею и своей статьей об электронных орбитах в Zeitschrift für Physik, о которой говорилось выше. 16 ноября в письме к профессору физики Тюбингенского университета крупному спектроскописту Альфреду Ланде он вновь отметил свой интерес к диссертации де Бройля и дал понять, что высказанные там идеи согласуются с его намерением использовать в квантовой физике теорию волновых явлений (кстати, ту же цель тогда ставил перед собой и Ланде). Наконец, вскоре Шрёдингер устроил в университете коллоквиум с обсуждением концепции де Бройля — вероятнее всего, 23 ноября.

Дэвиссон и Джермер, 1927. AIP Emilio Segrè Visual Archives

Мне кажется, что причина такой вспышки интереса к работе недавнего парижского аспиранта, о котором цюрихский профессор раньше, скорее всего, ничего не слышал, довольно проста. Шрёдингер был воспитан в школе классической физики, которая во главу угла ставила идею непрерывности и потому широко использовала дифференциальные уравнения. Он их неплохо изучил в университете и умел ими пользоваться. Это было тем легче, что с того времени появились великолепные новые руководства по этому предмету. Здесь прежде всего надо назвать фундаментальный труд Рихарда Куранта и Давида Гильберта «Методы математической физики», который вышел первым изданием в Берлине в 1924 году и на многие годы стал настольной книгой многих физиков-теоретиков. Теория де Бройля буквально наталкивала на мысль, что дифференциальные уравнения можно применить и в разработке математического языка квантовой механики. Шрёдингеру такая возможность должна была сильно импонировать. И он ее не упустил.

Semestris mirabilis³

Рождественские каникулы 1925 года Шрёдингер вновь провел в лечебнице доктора Хервига. Двухнедельный отдых в Арозе явно пошел ему на пользу. На этот раз его там сопровождала не жена, а старая знакомая из Вены, чье имя историкам физики так и не удалось установить. Об этом стоит пожалеть, поскольку именно ее присутствие могло вдохновить Шрёдингера на открытие. Во всяком случае, так считал Герман Вейль, о чем рассказал замечательный физик-теоретик и историк науки Абрахам Пайс⁴. Если верить Пайсу, Вейль как-то ему заметил, что «Шрёдингер свершил свой великий труд во время последней в своей жизни эротической вспышки». Читатель вспомнит, что я обещал не касаться отношений Шрёдингера с его подругами, но эту ссылку на Вейля просто нельзя не упомянуть.

Как бы то ни было, Шрёдингер вернулся в Цюрих 9 января и сразу углубился в работу. Всего за полгода он написал шесть статей, но опубликовал только пять. Первая, которую он никуда не послал, не сохранилась даже в рукописи (возможно, что она даже не была полностью закончена). О ее содержании известно только по наброскам в его личных записях, которые, как предполагается, были начаты в Арозе около 25 декабря и, скорее всего, закончены уже в Цюрихе. В ней он попытался приспособить теорию де Бройля в ее полной (то есть релятивистской) версии для описания динамики электрона в атоме водорода. Вероятно, он надеялся таким образом воспроизвести структуру энергетических уровней водородного атома как минимум не хуже, чем это сделал в 1915 году профессор Мюнхенского университета Арнольд Зоммерфельд. Зоммерфельд сильно обогатил первоначальную модель Нильса Бора, рассмотрев более сложный набор электронных состояний и вычислив некоторые релятивистские поправки к их энергии. Однако Шрёдингеру не удалось вывести из своих уравнений зоммерфельдовскую формулу для расщепления энергетических уровней водородного атома (так называемая формула тонкой структуры), которая к тому времени была подтверждена в экспериментах. Поэтому его теория явно была не в состоянии конкурировать с результатами Зоммерфельда. Скорее всего, именно поэтому он воздержался от ее публикации и в дальнейшем разрабатывал только нерелятивистскую версию волновой механики. Однако стоит отметить, что именно в этих набросках Шрёдингера впервые появилась греческая буква ψ, которую он позднее использовал для обозначения волновой функции.

Здесь требуется еще одно уточнение. В начале 1920-х годов спектроскописты обнаружили новые детали расщепления этих уровней, вызванные, в современной терминологии, спин-орбитальным взаимодействием. Правда, само понятие спина появилось позже, только в ноябре 1925 года. Точно неизвестно, когда о нем узнал Шрёдингер, но, во всяком случае, и его первая релятивистская версия волнового уравнения, и все последующие, уже нерелятивистские, описывали бесспиновые частицы.

Это решение Шрёдингера оказалось исключительно удачным. Во-первых, последовательно релятивистская теория электрона невозможна без использования той самой матричной алгебры (причем весьма сложной!), которую Шрёдингер, по его собственному признанию, не любил и не знал. Конечно, это стало ясным лишь после того, как такую теорию в 1928 году построил Дирак, но у Шрёдингера в любом случае не было шансов на успех. Во-вторых, его уравнение оказалось чрезвычайно полезным в том смысле, что позволило с хорошей точностью описывать великое множество атомных и молекулярных систем, чья динамика слабо зависит от релятивистских эффектов. Наконец, стоит вспомнить, что в 1927 году Вольфганг Паули именно на базе уравнения Шрёдингера построил хотя и неполную, но в определенной области приложений очень успешную нерелятивистскую теорию электрона со спином. Спин Паули не был выведен из базовой математической структуры, как у Дирака, но, так сказать, вставлен явочным порядком. Так что в 1926 году боги явно обратили благосклонные взгляды на Цюрих и его окрестности.

Точности ради надо отметить еще два обстоятельства. Во-первых, в 1926 году у Шрёдингера вышла из печати законченная еще в декабре 1925 года заметка «О теории газов Эйнштейна», где он прокомментировал эйнштейновское предсказание квантовой конденсации бозонов при сверхнизких температурах⁵. Он подчеркнул, что ключевое отличие новой статистики газов, которую сейчас называют статистикой Бозе — Эйнштейна, от статистики Больцмана заключается в обращении с газовыми частицами по тем же правилам, которые ранее были установлены для планковских «световых атомов» — в позднейшей терминологии «фотонов». Это нововведение он счел очень перспективным, но сам, по существу, ничего к нему не добавил.

Во-вторых, в декабре 1926 года Шрёдингер опубликовал в Physical Review большую итоговую статью о своей теории⁶. В самом конце он вновь сослался на опубликованную годом ранее «теорию Уленбека и Гаудсмита о вращающемся электроне», где появилась гипотеза о наличии у электрона внутреннего момента количества движения, т. е. спина. Впервые он ее очень коротко упомянул в третьей статье о квантовании и собственных значениях, о которой пойдет речь ниже. (О рождении теории спина подробно рассказано в статье «Вольфганг Паули: спин, спиноры и всё такое», которую я уже цитировал.) При этом Шрёдингер подчеркнул, что ему пока неясно, каким образом можно «принять в расчет вращение электрона» (то есть, в современной терминологии, электронный спин) в его собственной волновой механике (с. 201). Еще раз подчеркну, что во всех версиях его уравнения, о которых сейчас пойдет речь, спин никак не фигурирует.

Кое-что о гильбертовом пространстве

Теперь я мог бы перейти к пяти опубликованным статьям Шрёдингера, написанным во время его «чудесного полугодия». Однако сначала решусь на короткое математическое введение, которое позволит полнее представить их содержание в историческом контексте.

В конце позапрошлого и в начале прошлого века в математике пышным цветом расцвело новое направление — функциональный анализ. В его основе лежала концепция преобразований достаточно общего вида, которые воздействовали не на числовые аргументы, а на те или иные классы функций. Для их описания были введены специальные математические объекты, которые стали называть функционалами, или операторами. Тогда же начала развиваться теория абстрактных линейных векторных пространств с бесконечным числом измерений, возникшая как глубокое обобщение теории конечномерного евклидова пространства. Их векторы, подобно векторам в евклидовом пространстве, могли трансформироваться друг в друга, и эту задачу как раз и выполняли линейные операторы.

Одно из этих абстрактных пространств в 1929 году по предложению Джона фон Неймана получило имя великого математика Давида Гильберта. Сам фон Нейман начал им заниматься как минимум двумя годами ранее. Итоги своих размышлений он представил в трех классических статьях, напечатанных в 1927 году. В частности, вторая по счету публикация — «Теоретико-вероятностное конструирование квантовой механики» — с кристальной четкостью выявила статистическую природу квантовых измерений и связь их результатов с векторами (если выражаться совсем точно, лучами) гильбертова пространства⁷. Говоря иначе, именно в этой статье было впервые установлено строгое соответствие между формальным аппаратом квантовой механики, построенным на базе гильбертова пространства, и принципиально вероятностной природой квантовомеханического описания реальности, вытекающей из специфики измерений объектов микромира. Два года спустя фон Нейман построил общую аксиоматическую теорию гильбертова пространства и действующих в нем линейных операторов.

Экскурс в эту теорию — не моя задача. Поэтому просто напомню, что гильбертово пространство — это одна из версий комплексных нормированных векторных пространств. Отсюда следует, что любая линейная комбинация векторов гильбертового пространства с комплексными коэффициентами принадлежит тому же самому пространству. Понятие нормированности означает, что двум векторам можно однозначно сопоставить некоторое комплексное число, причем в случае их совпадения оно оказывается действительным и положительным (или нулем, если сам вектор нулевой). О других свойствах гильбертова пространства умолчу⁸.

Вплоть до начала 1920-х годов считалось, что абстрактные бесконечномерные линейные пространства представляют интерес только для чистой математики. Однако вскоре выяснилось, что концепция гильбертова пространства может стать основой языка квантовой механики. Например, его векторы удобно использовать для представления различных состояний физической системы, а операторы определенного типа, так называемые эрмитовы, можно сопоставлять физически наблюдаемым величинам. Интересно, что Герман Вейль вполне серьезно считал, что осознание этих возможностей явилось не закономерным следствием особых достоинств теории гильбертова пространства, а просто чистым везением, даром судьбы. Не исключено, что в этом он не ошибся — Вейль вообще редко ошибался.

Я отмечал, что уравнение Шрёдингера позволило быстро решить великое множество практических задач атомной и молекулярной физики. Выражаясь формально, оно, как оказалось, обладает огромной предсказательной силой. Встает вопрос: коль скоро волновая механика так хорошо себя проявила, зачем со временем понадобились такие абстракции, как гильбертовы пространства и их операторы? Об этом мы поговорим позже, а пока наконец-то займемся шрёдингеровским «чудесным полугодием».

4 + 1

Эрвин Шрёдингер построил свою волновую механику в серии из четырех публикаций под общим заголовком «Квантование как задача о собственных значениях» («Quantisierung als Eigenwertproblem»). Первую статью журнал Annalen der Physik получил 27 января⁹, вторую — 23 февраля, третью — 10 мая, четвертую — 23 июня. Учитывая масштабы его работы и ее значение для физики, можно только поражаться тому, с какой интенсивностью он трудился. А ведь в марте была и еще одна статья, о которой я расскажу позже.

В определенном смысле концептуальное ядро шрёдингеровской теории содержится уже в первой публикации. Там описан вывод волнового уравнения в его стационарной (то есть не зависящей от времени) форме.

Статья «Quantisierung als Eigenwertproblem» в Annalen der Physik (1926)

Сам вывод весьма экзотичен и, надо признать, выглядит довольно искусственным. Шрёдингер отправляется от чрезвычайно изящной переформулировки ньютоновской аналитической механики, осуществленной в 1830-х годах Гамильтоном и позднее усовершенствованной его немецким коллегой Карлом Густавом Якоби. Названное их именами дифференциальное уравнение в частных производных позволяет описывать движения широкого класса механических систем, находящихся под действием потенциальных сил. При рассмотрении одной материальной точки, находящейся в силовом поле, это уравнение содержит дифференциальный оператор Лапласа (лапласиан), который также фигурирует в волновом уравнении классической физики.

Шрёдингер с помощью ряда довольно произвольных математических преобразований ввел в уравнение Гамильтона — Якоби «новую неизвестную функцию ψ», которую предположил однозначной, ограниченной и дважды дифференцируемой во всем пространстве. Для этой функции он получил дифференциальное уравнение, которое описывало стационарные состояния единичного электрона, движущегося в электростатическом поле атомного ядра — иначе говоря, электрона атома водорода. Оно содержит некоторую произвольную константу К размерности действия (то есть произведения энергии на время), которую Шрёдингер волевым порядком предположил равной имеющей ту же размерность постоянной Планка, поделенной на 2π (позднее ее стали обозначать символом ħ и называть постоянной Планка — Дирака). Это уравнение он переписал в сферических координатах и (с помощью Германа Вейля, которому выразил благодарность) получил его решения, правильно описывающие квантованные наборы энергетических уровней и угловых моментов электрона. В этом и состоит важнейшая часть содержания статьи, остальные я для краткости опущу. Если использовать современную формулировку, Шрёдингер выразил набор возможных состояний электрона атома водорода через главное квантовое число, которое определяет его энергию, и азимутальное квантовое число, задающее угловой момент. Каждому главному числу l, которое может принимать любое натуральное значение (1, 2, 3...), соответствуют столько же азимутальных чисел n, чьи значения заполняют промежуток от 0 до l – 1 (в современных формулировках буквой n принято обозначать главное квантовое число, а буквой l азимутальное). Решив свое уравнение, Шрёдингер полностью воспроизвел полуклассическую модель Бора и, в частности, показал, что энергия любого стационарного состояния электрона обратно пропорциональна квадрату главного квантового числа и не зависит от значения азимутального числа. Более того, он эту модель расширил. Если пользоваться устаревшим понятием электронных орбит, будет ясно, что Шрёдингер описал не только дискретные круговые орбиты, как Бор, но и эллиптические, как Зоммерфельд. Причем он сделал это без дополнительных гипотез и, так сказать, одним ударом.

Эту сторону дела Шрёдингер счел чрезвычайно важной. Во всяком случае, он обратил на нее внимание в самом начале статьи. Не откажу себе в удовольствии его процитировать:

В этом сообщении я постараюсь показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится никаких «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе, подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.

Здесь ни убавить, ни прибавить — всё верно и всё по существу.
В конце статьи он вновь подчеркивает ту же мысль:

Довольно естественно связывать функцию ψ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный выше сравнительно наглядный путь, но потом предпочел рассмотренный в статье чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется, что квантовые правила не вводятся больше как загадочные «правила целочисленности», а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции¹⁰.

Эта цитата помогает понять, почему Шрёдингер интерпретировал квантование как задачу о собственных значениях. Я не буду объяснять, что это такое в общем случае. Для этого пришлось бы углубляться в теорию линейных операторов, на что у меня нет ни места, ни желания. Достаточно сказать, что его дифференциальное уравнение для функции ψ имеет достаточно гладкие, однозначные и ограниченные решения только в том случае, если некоторая комбинация входящих в него параметров (а это заряд и масса электрона, его полная энергия и постоянная К) равняется натуральному числу l. Эта комбинация записывается простой алгебраической формулой, которую я для краткости не буду приводить. Свободным параметром здесь является только энергия электрона, поскольку прочие — физические константы. Из этой формулы следует, что энергия стационарных состояний электрона обратно пропорциональна квадрату главного квантового числа — т. е. эта энергия квантуется. С математической точки зрения здесь возникает набор собственных значений некоторого оператора, которые Шрёдингер интерпретирует как правила квантования. Выражаясь иначе, квантование состоит в таком выборе численной величины энергии электрона, при котором функция ψ оказывается однозначной, гладкой и конечной. Очень элегантно и очень убедительно.

Шрёдингер не строил гипотез о физическом смысле функции ψ, эту проблему он отложил на будущее. Он также прекрасно понимал, что его уравнение описывает весьма упрощенную модель атома водорода. В частности, он знал (и в конце статьи это отметил), что оно не является лоренц-инвариантным и поэтому несовместимо с теорией относительности. Тем не менее его январская статья была быстро признана крупнейшим вкладом в теоретическую физику. В 1929 году Поль Дирак заметил, что она содержит большую часть физики и, в принципе, всю без остатка химию. В течение следующих 33 лет, т. е. к 1960 году, в научной литературе было опубликовано свыше 100 тыс. работ с различными приложениями уравнения Шрёдингера. Куда как неслабо!

О следующих частях шрёдингеровской тетрады позволю себе написать покороче, иначе мой текст безбожно растянется. Во второй статье он куда детальней, чем в первой, проследил аналогию между гамильтоновыми описаниями механики и геометрической оптики и на этой основе дал новый вывод стационарного волнового уравнения. Там оно представлено в той форме, в которой его можно увидеть во множестве учебников квантовой механики, что сразу заметят те, кто их читал:

Δψ + 8π²m/h²(E – V) ψ = 0

Здесь Δ — уже упоминавшийся дифференциальный оператор Лапласа.

Шрёдингер делал особый акцент на том, что это уравнение, как он выражался, «содержит в себе квантовые условия» — т. е. идею дискретности. Он также нашел его решение для случая одномерного квантового осциллятора и, как следствие, вычислил его энергетический спектр, получив знаменитую формулу для дискретного набора его уровней энергии E_n = (n + ½) hν, где ν — частота (ранее это уже сделал Гейзенберг с помощью матричной механики). В этих вычислениях Эрвин впервые опирался на книгу Куранта и Гильберта «Методы математической физики» (которая, как я отметил, вышла в 1924 году), где дано решение такого уравнения через функции Эрмита. Он также упомянул, что ознакомился с работами Гейзенберга, Борна и Иордана, однако пока не понял, существует ли связь между их методом и его собственным. Наконец, там есть и приложения волнового уравнения к другим задачам, на которых я не буду останавливаться.

Уже первые статьи Шрёдингера обрели внимательных и благодарных читателей в лице Альберта Эйнштейна и Макса Планка. В апреле Эйнштейн написал Эрвину, что ключевые идеи его работ поистине гениальны. В мае Планк, тоже в личном письме, выразился в том смысле, что эти публикации открывают новую эру в физике. Правда, были и более осторожные отзывы, но это естественно.

В третьей, самой большой статье Шрёдингер на 53 страницах детально развил технику приближенных решений своего уравнения на основе классической теории возмущений. С ее помощью он объяснил влияние внешнего электрического поля на спектр излучения атома водорода — точнее, на серию Бальмера. Этот эффект в виде расщепления линий оптического спектра водорода был в 1913 году открыт профессором Высшей технической школы в Ахене Йоханнесом Штарком и сейчас носит его имя. Как уже говорилось, в этой статье Эрвин упомянул о своем знакомстве с недавней (напомню, опубликованной в ноябре 1925 года) работой Сэмюэла Гаудсмита и Джорджа Юджина Уленбека об электронном спине. Выходит, что Шрёдингер ознакомился с гипотезой спина не позже мая 1926 года. Однако, как свидетельствует его декабрьская публикация в Physical Review, он еще долго не усматривал связи между спином и своей волновой механикой.

Наконец, в четвертой и последней статье Шрёдингер впервые применил волновую механику для описания нестационарных квантовых процессов, чья динамика явно зависит от времени. Таково, например, рассеяние частиц на атомных и молекулярных мишенях, а также испускание и поглощение электромагнитного излучения. Для этого он модифицировал свое уравнение, включив в него дополнительный член, выражающий зависимость волновой функции от времени. Этот член вошел в уравнение в виде первой производной функции ψ по времени — т. е. скорости ее изменения. Как знают все, кто изучал квантовую механику, эта производная в стандартной записи умножается на мнимую единицу и постоянную Планка — Дирака. Отсюда следует, что решения уравнения Шрёдингера в общем случае должны выражаться не действительными, а комплексными функциями. К такому выводу Шрёдингер пришел с трудом и довольно поздно, где-то в середине июня. При этом, как следует из последнего раздела его статьи, тогда он не до конца понимал его важность и глубину. Сейчас известно, что это обстоятельство является ключевой и неустранимой особенностью квантовой механики, поскольку без него невозможно объяснить эффекты квантовой интерференции. Но эта тема слишком серьезна, чтобы ее здесь обсуждать.

Эрвин Шрёдингер. Фото из архива Смитсоновского института

Шрёдингер также сделал интересное замечание относительно физического смысла произведения заряда электрона на квадрат модуля волновой функции. Эту величину он интерпретировал как плотность электрического заряда. Здесь его логика напоминает вероятностную интерпретацию волновой функции, вскоре предложенную Максом Борном. Впрочем, особенно в эту проблему он не углублялся. Статья также содержит несколько примеров использования нестационарного волнового уравнения к задаче о взаимодействии электромагнитного излучения с веществом, которые имеют слишком технический характер, чтобы их здесь рассматривать.

Завершая обзор четырехчастной работы Шрёдингера «Квантование как задача о собственных значениях», нельзя не отметить, что многие его конкретные результаты ранее уже были получены на базе матричной механики. Так, 7 ноября 1925 года Поль Адриен Морис Дирак послал в Proceedings of the Royal Society статью “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics”, которая открыла серию его выдающихся работ в этой области. Он проследил связь матричных методов с аналитической механикой Гамильтона и Якоби и получил основные квантовые уравнения в очень общей форме. Шрёдингер, напомню, аналогичным образом использовал уравнение Гамильтона — Якоби в качестве базы волновой механики, но сделал это парой месяцев позже. 17 января 1926 года Вольфганг Паули отправил в тот же журнал статью, где применил матричную механику для решения задачи об уровнях энергии электрона в атоме водорода — как изолированного, так и помещенного в статическое электрическое поле, дав тем самым численное объяснение эффекта Штарка. В этом Шрёдингер опять отстал. Весной Гейзенберг и Иордан использовали матричную механику для анализа расщепления спектральных уровней при аномальном эффекте Зеемана. В этой работе они рассмотрели оптический электрон как частицу со спином, чего Шрёдингер не делал. Примерно тогда же в печати появились первые работы других авторов по применению матричной механики для вычисления молекулярных спектров. В этой связи стоит сообщить, что в 1925–1927 годах общее число научных публикаций с применением квантовомеханических методов приблизилось к двум сотням.

Но и на этом фоне уравнение Шрёдингера стало важнейшим прорывом в теоретической физике и обеспечило квантовой механике массу новых возможностей — и как инструменту углубления фундаментальной теории, и как универсальномуметоду решения прикладных задач. В определенном смысле историческая роль Шрёдингера сходна с ролью Ричарда Фейнмана, который своими диаграммами создал единую технику работы с проблемами квантовой электродинамики, а позднее и всей квантовой теории поля. Поэтому уравнение Шрёдингера заняло в нерелятивистской квантовой механике то же место, что уравнение Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике.

Теперь самое время ответить на вопрос о целесообразности преобразования наследства Шрёдингера на основе теории гильбертова пространства. Дело в том, что волновая механика, несмотря на свои быстрые успехи, имела ряд ограничений. Например, она описывала физические состояния посредством волновых функций, зависящих от пространственных координат и времени. Однако физику интересуют и другие наблюдаемые величины, например импульсы и угловые моменты. Кроме того, открытие спина ввело в физику наблюдаемые нового типа, которые вообще нельзя описать в терминах пространственных координат и импульсов. Концепция гильбертова пространства как раз и дала возможность разрешить эти (и многие другие проблемы) на основе единого математического формализма.

В заключение приведу уравнение Шрёдингера в его самой общей форме:

\( i \hbar \dot{\Psi}(t) = H \Psi(t) \)

Здесь \( \dot{\Psi}(t) \) — зависящий от времени вектор гильбертового пространства, Ψ̇(t) — его производная по времени, а H — оператор полной энергии системы, он же гамильтониан. Формула очень компактна и удивительно красива — и она действительно кодирует значительную часть физики микромира. Признаюсь, что мне она доставляет чисто эстетическое удовольствие. Приглашаю читателей его разделить.

Уравнение Шрёдингера на могиле четы Шрёдингеров в Альпбахе (Австрия). Фото Victor Blacus / commons.wikimedia.org

Теперь обратимся еще к одной, «внесериальной» работе Шрёдингера того великого полугодия. Как я уже отмечал, во время работы над второй статьей о квантовании и собственных значениях Шрёдингер думал о возможных связях между волновой и матричной механикой, но еще не пришел к определенному выводу. Однако в марте он отправил в печать статью с говорящим заголовком «Об отношении квантовой механики Гейзенберга — Борна — Иордана к моей», в которой решил эту проблему¹¹. Он показал, что каждой волновой функции, зависящей от координат и импульсов, можно поставить в соответствие бесконечномерную матрицу, позволяющую выполнять именно те операции, которые ввели в оборот создатели матричной механики. С другой стороны, с помощью разложения волновых функций по взаимно ортогональным дискретным решениям шрёдингеровского уравнения можно получить для наблюдаемых величин те же численные значения, что и в матричной механике. Так что волновые функции позволяют вычислять матричные элементы, а знание полных наборов таких элементов дает возможность определять волновые функции. Это значит, что обе версии квантовой механики, гейзенберговская и шрёдингеровская, математически эквивалентны и отличаются только по форме. При этом Шрёдингер особо отметил, что энергетический спектр квантовой системы может быть не только дискретным, но и непрерывным. Однако он не хотел отягощать свое доказательство такими тонкостями и поэтому оставил их за кадром.

Если использовать геометрическую аналогию, это примерно то же самое, что задание обычного вектора в трехмерном евклидовом пространстве либо его длиной и направлением, либо его координатами в декартовой системе.

Эту эквивалентность практически одновременно доказал американский физик (и в будущем геофизик и океанограф) Карл Генри Эккарт. В 1925 году он защитил докторскую диссертацию в Принстоне, а потом да года работал в Калифорнийском Технологическом институте. О матричной механике он впервые узнал из лекции Макса Борна, которую тот в конце 1925 года прочитал в Калтехе. Ознакомившись с первой статьей Шрёдингера, Эккарт пришел к выводу о равноправии матричной и волновой формулировок квантовой механики и обосновал этот результат в двух статьях¹². В первой работе доказательство проведено только на примере одномерного гармонического осциллятора, а во второй выполнено в более общей форме и опять подкреплено вычислением уровней энергии гармонического осциллятора. Однако обе они появились в печати только во второй половине 1926 года (в июле и в октябре), из-за чего сильно запоздали по сравнению с мартовской статьей Шрёдингера. Кстати, название первой статьи Эккарта не должно удивлять: он сравнивал волновую механику Шрёдингера с модифицированной версией матричной механики, разработанной венгерским математиком Корнелием Ланцошем.

Еще до Эккарта, в апреле 1926 года, аналогичный результат получил Вольфганг Паули. Он сообщил его в длинном письме к Паскуалю Иордану, однако почему-то не стал публиковать. Впрочем, все эти доказательства имели дефекты и потому реально нуждались в полировке. Равноправие двух формулировок квантовой механики было строго доказано только в работах Джона фон Неймана, опубликованных в конце 1920-х и в начале 1930-х годов.

Эпилог

Со второй половины 1926 года уравнение Шрёдингера зажило собственной жизнью. Этому поспособствовала вышеупомянутая статья в Physical Review, которая ознакомила с ним англоязычную аудиторию. Впрочем, к тому времени Шрёдингер уже приобрел большую известность среди элиты физического сообщества, особенно германского. В конце июня он участвовал в международной конференции в Цюрихе, организованной Питером Дебаем и его учеником Паулем Германом Шеррером, профессором экспериментальной физики цюрихского Политехникума, в будущем — одним из основателей ЦЕРНа. На эту встречу, получившую неформальное название Магнитной Недели, приехали такие звезды, как научный руководитель де Бройля Поль Ланжевен, Арнольд Зоммерфельд, Вольфганг Паули, классик физики магнетизма Пьер Вейс и блестящий экспериментатор Отто Штерн (как и Паули, будущий лауреат Нобелевской премии). Естественно, все они не упустили случая пообщаться со Шрёдингером. Соединенный Штаты представлял профессор физики Висконсинского университета в Мэдисоне Чарлз Элвуд Мендехолл, по приглашению которого Шрёдингер дал там несколько лекций в начале 1927 года. Во время этого визита он также читал лекции в Чикагском университете, университете Айовы, Миннесотском университете и Калтехе.

Нобелевские лауреаты и их родные. Энни Гейзенберг, Энни Шрёдингер, Флоренс Дирак, Пол Дирак, Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер на ж/д вокзале Стокгольма, декабрь 1933 года

Цюрихская конференция стала первой ласточкой грядущей славы Эрвина Шрёдингера. Вскоре он получил несколько приглашений прочесть лекции в Германии, которыми и воспользовался. Он встретился с коллегами в Штутгарте, Берлине (там он выступил на заседании Германского физического общества), Йене и Мюнхене, где Арнольд Зоммерфельд устроил для него специальный коллоквиум, на котором присутствовал Вернер Гейзенберг. Осенью он приехал в Копенгаген, где имел много бесед с Нильсом Бором и 4 октября прочел в его институте подробный доклад. В том же месяце 1927 года он стал профессором теоретической физики Берлинского университета, унаследовав кафедру, которую занимал вышедший по возрасту в отставку Макс Планк. В 1929 году Шрёдингера избрали членом Прусской академии наук.

В конце мая 1933 года Шрёдингер из-за нежелания сотрудничать с нацистским режимом покинул университет и уехал в Англию. Его жизнь и работа после Берлина — это совсем другая история. Однако нельзя не отметить, что в том же самом году он стал Нобелевским лауреатом, разделив эту награду с Полем Дираком. Вернер Гейзенберг был удостоен Нобелевской премии по физике за 1932 год, однако ее вручение было по техническим причинам отложено на год. Так что в декабре 1933 года в Стокгольме для получения премии собрались все трое великих основателей квантовой механики — Гейзенберг, Шрёдингер и Дирак. Стоит отметить, что Гейзенберг и Шрёдингер в общей сложности получили по двадцать пять номинаций на эту награду. И совсем уж курьезом выглядит тот факт, что первым Шрёдингера в октябре 1927 года выдвинул почетный канцлер Стэнфордского университета, крупный американский ихтиолог Дэвид Старр Джордан. Одновременно он рекомендовал Артура Комптона и Питера Дебая, которые тоже стали нобелиатами — Комптон сразу, а Дебай в 1936 году, только не по физике, а по химии. Ничего не скажешь — угадал!

Бюст Эрвина Шрёдингера у главного здания Венского университета. Фото Daderot / commons.wikimedia.org

В Советском Союзе Шрёдингер быстро обрел известность. В начале 1927 года заведующий отделом акустики Ленинградской физико-технической лаборатории и будущий действительный член АН СССР Николай Николаевич Андреев опубликовал статью «Элементы волновой механики»¹³, где подробно рассказал о его уравнении. В третьем номере УФН появился перевод статьи Шрёдингера в Physical Review, которую я уже цитировал. А потом, как говаривал Михаил Сергеевич Горбачёв, процесс пошел. Иначе и быть не могло. В СССР вскоре появилась блестящая плеяда физиков, для которых уравнение Шрёдингера стало рабочим инструментом. Таковым оно и остается.

¹ Левин. А. Эрвин Шрёдингер и его уравнение. «ТрВ» №21 (440), 21.10.2025.

² Английская версия этой работы есть в русском переводе:
де Бройль Л. Попытка построения теории световых квантов // УФН, Т. 122, вып. 8, с. 562–571 (1977).

³ Замечательный семестр (лат.).

⁴ Pais A. Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical Word, Oxford University Press, New York, 1986, p. 252.

⁵ Schrödinger E. Zur Einsteinschen Gastheorie // Physikalische Zeitschrift 27, 95–101 (1926).

⁶ Есть в русском переводе: Шрёдингер Э. Волновая теория атомов и молекул // УФН. Т. VII, вып. 3, с. 176–201 (1927).

⁷ von Neumann J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik. KöniglicheGesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. Nachrichten: 245–272 (1927).

⁸ О них можно прочесть хотя бы в «Википедии» или отважиться заглянуть в монографию фон Неймана «Математические основы квантовой механики» (М.: Наука, 1964). Впрочем, могу утверждать по собственному опыту, что это нелегкое чтение.

⁹ Есть в русском переводе: УФН, вып. 8, с. 621–632 (1977).

¹⁰ С. 629 перевода в УФН.

¹¹ Schrodinger E. Uber das Verhaltnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen // Annalen der Physik, 79, 734–756 (1926).

¹² Eckart C. The Solution of the Problem of the Simple Oscillator by a Combination of the Schroedinger and the Lanczos Theories // Proceeding of the National Academy of Sciences. 12 (7), 473–76 (1926);
Eckart C. Operator Calculus and the Solution of the Equations of Quantum Dynamics // Physical Review, 28 (4), 711–726 (1926).

¹³ УФН, вып. 1 с. 25–46 (1927).