Окружности Вилларсо и пластинчатый тор
По материалам проекта «Математические этюды»
«Квантик»№8, 2023
Возьмём окружность и прямую (ось), которые лежат в одной плоскости, но не пересекаются. Если вращать плоскость вокруг оси, окружность заметёт фигуру, похожую на поверхность бублика. Эта фигура называется тор.
Если проследить за траекторией одной точки окружности, которую мы вращаем, мы увидим окружность на торе — «параллель». А ещё на нашем торе есть «меридианы» — положения исходной окружности в разные моменты времени.
Оказывается, кроме параллелей и меридианов на таком торе есть и другие окружности!
В плоскости, которую мы вращали, лежат два меридиана нашего тора. Проведём через центр тора общую касательную к этим меридианам. Посмотрим на плоскость, проходящую через эту касательную перпендикулярно исходной плоскости.
Оказывается, такая плоскость высекает на торе две пересекающиеся окружности. Это обнаружил в середине XIX века Антуан Ивон-Вилларсо (Antoine-Joseph Yvon Villarceau), астроном Парижской обсерватории.
В 2011 году была опубликована идея, как сделать модель тора из плоских пластинок одинаковой формы. Лишь направление прорезей делит их на два типа. И границы этих пластинок — не что иное, как части окружностей Вилларсо.
По ссылке доступен чертёж для вырезания пластинок, рассчитанный на 24 дольки (по 12 каждого типа). В интернете по этой ссылке можно посмотреть, как собрать тор из таких пластинок.
Детали лучше делать из плотной бумаги (плотности ~200 г/м²) или не очень толстого картона. Парные разноцветные пластинки вставляются соответствующими друг другу разрезами (разрезами с одним номером, если считать от края). На начальных этапах это несложно, а потом понадобятся сообразительность, трудолюбие и аккуратность (возможно, пригодится и прозрачный скотч). Зато в результате можно получить красивую модель (на фото — модель, собранная в редакции «Квантика»).
На этой модели хорошо видно, что окружности Вилларсо образуют два семейства — проходящие по внешней стороне рыжих (см. рис. на с. 11) пластинок и проходящие по внешней стороне фиолетовых пластинок — и что любые две окружности Вилларсо разных семейств пересекаются. А присмотревшись внимательнее, можно заметить, что все окружности из одного семейства не пересекаются, но при этом зацеплены друг с другом.
Больше про окружности Вилларсо можно прочитать по ссылке (сайт «Математические этюды») и в статье А. Акопяна «Окружности Вилларсо и расслоение Хопфа» по ссылке (журнал «Квант», №5–6 за 2013 год).
Художник Алексей Вайнер
Фото: Г. Мерзон