От холодного к горячему и обратно: теплоёмкость

Валерия Сирота
«Квантик» №3, 2023

Если вы читали статью в «Квантике» №2 за 2023 год (а хорошо бы!), то наверняка обратили внимание на похожее название. Речь пойдёт о похожих вещах, но здесь мы обсудим не «тот же процесс наоборот», а «в совсем другую сторону». В той статье у нас тепловая энергия распространялась в пространстве — из одного места в другое. Со временем при этом могло ничего и не меняться: вот батарея постоянно греет комнату, а через стену тепло постоянно «уходит» на улицу. На улице это тепло, конечно, что-то нагревает, но незаметно — уж очень улица большая. Так что мы наблюдаем только поток энергии, переносимой наружу, и при этом — неизменную, неподвижную картинку.

В этот раз будет по-другому: будем смотреть на изменения, происходящие со временем в одном и том же месте пространства. Точнее — на изменения, вызванные накоплением в этом месте тепловой энергии.

Вот простая аналогия: представьте себе людей, которые что-то передают друг другу по цепочке — например, кирпичи. Каждый получает кирпич — и тут же отдаёт дальше, получая следующий: «поток кирпичей» через это место есть, а количество кирпичей в нём не меняется. То ли дело, если кто-то станет складывать все передаваемые ему кирпичи возле себя. «Потока» дальше уже не будет, только «приток» к нему, зато количество кирпичей в этом отдельном месте будет расти.

Если в этой истории заменить слово «кирпичи» на слова «тепловая энергия», в первом случае получится теплопередача (и как раз теплопроводность)¹, а во втором... Нет, ещё не совсем теплоёмкость. Потому что теплоёмкость — это то, как счастливый владелец кучи кирпичей (то есть тепловой энергии) будет всё это использовать. Сложит он их все в штабель аккуратно или как попало? А может, он из них сразу по мере поступления кладку кладёт и раствором скрепляет?

Что такое теплоёмкость. Итак, у нас есть какое-то вещество, которому «перепало» снаружи некое количество тепловой энергии. Куда денется, на что потратится эта энергия? Конечно, на нагревание этого вещества! Ведь тепловая энергия — это и есть энергия движения молекул. Все молекулы станут двигаться быстрее, и у вещества увеличится температура.

Тут и возникает вопрос об «эффективности» работы «приёмщика кирпичей». Вот передали мы этому веществу столько-то энергии. И что? Насколько выросла температура? Это зависит, конечно, от того, сколько было вещества. Одно дело — нагревать на плите маленькую кастрюльку, а другое — большое ведро. Но даже если ставить на одинаковые плиты одинаковые кастрюльки, а внутрь класть разные вещества — нагреваться они будут с разной скоростью. Например, воздух нагреется намного быстрее воды, а алюминий — чуть медленнее такого же куска стекла.

Количество энергии, нужное, чтобы нагреть данное тело на 1°С, называется теплоёмкостью. Чем она больше, тем дольше ждать, когда тело нагреется.

Конечно, чтобы сравнивать разные вещества, надо брать стандартные одинаковые «куски». А что считать одинаковым? Можно договориться брать куски одинаковой массы (часто так и делают). Тепло, нужное на нагрев 1 кг вещества на 1°С, называется удельной теплоёмкостью. Но можно сравнивать и куски одинакового объёма (например, 1 м³) — тогда говорят про объёмную теплоёмкость. Это совсем не одно и то же, потому что 1 м³ разных веществ может весить очень по-разному — например, 1 м³ ваты и 1 м³ железа!

Посмотрите на таблицу на с. 20. Заметили? Удельные теплоёмкости разных веществ отличаются гораздо сильнее, чем объёмные. Похоже, есть (нестрогая) закономерность — чем вещество плотнее, то есть чем тяжелее его кубометр, тем легче нагревать каждый его килограмм. Объёмные теплоёмкости у всех разные, конечно, но, если не считать газов, различаются всего раза в 3 — 4. Сравните с разбросом теплопроводностей! И особые свойства металлов тут им никак не помогают: переносить тепло свободные электроны могут быстро, а нагревать всё равно придётся не только электроны, но и всю кристаллическую решётку.

Обратимость. Очень важное отличие теплоёмкости от теплопроводности заключается в том, что нагревание само по себе обратимо по времени, а поток тепла — нет. В природе то и дело какая-то вещь нагревается, а потом обратно остывает. Количество тепловой энергии, запасённой в данном веществе, может и расти, и уменьшаться, в зависимости от того, что вокруг. В пространстве же поток энергии всегда направлен от более горячего к более холодному². Вот представьте себе, что вы сняли кино, как нагревается вода в кастрюле, регулярно «на камеру» измеряя её температуру. Если вы прокрутите это кино назад, ничего странного на экране не будет: зритель просто подумает, что фильм снят после выключения плиты. А вот если вам покажут кино, где кружка с тёплым чаем стоит в миске с холодной водой, и чай понемногу нагревается, а вода остывает — тут вы сразу поймёте, что это кино «задом наперёд»!

Раз уж обратимость, то по-честному. При нагревании вещество забирает тепло, запасает тепловую энергию; при остывании оно отдаёт её обратно ровно в том же количестве. На этом основан, например, принцип действия грелки. По этой же причине возле моря — мягкий климат: летом оно медленно нагревается (из-за большой теплоёмкости воды), а зимой — медленно остывает, понемногу отдавая запасённую энергию и согревая воздух и берега.

«А теперь — вдвоём». В природе оба эффекта часто работают одновременно: тепло частично проводится через вещество, а частично «оседает» в нём, нагревая его. В примере с кирпичами это значило бы, что некоторые люди не все кирпичи передают дальше, а что-то оставляют себе. Та же кастрюля с водой на плите не только берёт тепло на нагрев, но и отдаёт его, нагревая комнату. И теплоёмкость воды работает (греется суп), и теплопроводность (греется комната). И даже, если плита слабенькая, а кастрюля большая, из-за теплопроводности может случиться, что вода никогда не закипит! Нагреется немножко и перестанет забирать себе тепло, всё будет отдавать дальше.

Рис. 1.

Как же устанавливается баланс между этими двумя процессами? Это зависит от окружающих (математики и физики говорят — граничных) условий. Например, пусть у нас есть плоская пластина (стенка). Справа от неё поддерживаем постоянную температуру — улица, комната, или вообще лёд приложили. А слева греем её горелкой — подводим постоянный поток тепла. Что будет происходить? Следим за температурой! Время от времени рисуем график (рис. 1): на какой глубине в стене какая температура.

В первый момент вся стенка — одной температуры. Поэтому теплопроводность ещё не включилась — ей ведь нужна разница температур. Так что всё приходящее тепло остаётся в ближней к горелке части стены — и чем меньше теплоёмкость, тем быстрее оно её греет.

Теперь включается теплопроводность. Поток проходящего через стенку тепла зависит от разницы температур в соседних точках, на картинке — от угла наклона графика T(x). Температура левой части растёт, в середине и справа она ещё мала — угол наклона увеличивается. Чем он больше, тем больше тепла проходит глубже в стенку, тем меньше остаётся на нагрев левой части. При некотором наклоне уже почти весь поток энергии проходит дальше, левая часть стенки почти перестаёт греться, нагревается в основном середина, но и в правую часть уже немного тепла проникает... В конце концов вся стенка нагрелась, но не до одинаковой температуры, а до «одинакового угла наклона Т(х)», график температуры стал прямой линией, теперь поток тепла везде одинаковый и максимальный. С этого момента всё тепло уходит сквозь стенку.

Рис. 2.

А чем отличаются эти картинки для стенок из разных материалов? Легко разобраться: при одинаковой толщине и одинаковом потоке тепла стенка с большей теплопроводностью нагреется до меньшей температуры, небольшой разницы температур слева и справа будет достаточно для протекания тепла (рис. 2). А если теплопроводности одинаковы, но разные теплоёмкости — конечное распределение температур будет одно и то же, но до нужной температуры быстрее нагреется менее теплоёмкая стенка (рис. 3).

Рис. 3.

Заметим, что в этом примере температура на левом краю стенки зависит от материала. Это потому, что мы «закрепили» приток тепла, потребовали, чтобы он всегда был одним и тем же. Можно сделать и иначе: например, регулировать поток тепла (крутить кран на батарее), но поддерживать постоянную температуру слева от стенки. Тогда при любой теплопроводности стенки конечное распределение температур будет одно и то же, просто при более теплопроводящей стенке понадобится больший поток тепла от батареи.

Теплота плавления. В начале этой статьи есть ошибка. (Интересно, кто заметил?) Там сказано, что энергия, приходящая к веществу, «конечно», потратится на его нагрев. Это не всегда так! Вот я возьму лёд при температуре 0°С и положу его на плиту — начну подводить к нему тепло. Думаете, он будет нагреваться? Ничуть не бывало! Он будет плавиться, и вся энергия, приходящая к нему, потратится на разрушение связей между молекулами в кристалле, их «освобождение». Даже если воды уже много, но в ней плавает лёд — вода вокруг льдинок не будет греться до тех пор, пока они все не растают. Это позволяет использовать тающий лёд (или любое другое вещество вблизи его температуры плавления) как терморегулятор: обложите продукты льдом, и, пока он весь не растает, продукты будут иметь температуру 0°С³! При этом на плавление льда потратится довольно много приходящей снаружи энергии. Энергия, которая нужна для того, чтобы расплавить данный предмет, называется теплота плавления. Как и теплоёмкость, она для каждого вещества может быть удельная (энергия на каждый 1 кг) или объёмная (на каждый кубометр). Всё то же самое верно и при переходе веществ из жидкого состояния в газообразное. Нужная на это энергия называется теплота парообразования. А ситуации, когда свойства вещества резко меняются без изменения его температуры, называются фазовыми переходами.

Художник Алексей Вайнер

¹ Конвекция в этой модели — это если люди не в цепочке стоят, а группами ходят туда-сюда, одни несут кирпичи в одну сторону, другие — какой-то лишний мусор в другую... А как в этой аналогии будет выглядеть передача энергии излучением? Придётся им кидаться кирпичами...

² Это закон природы — второе начало термодинамики. Но тут есть одна лазейка. Точная формулировка закона: невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является передача тепла от более холодного тела к более горячему. Просто так, само по себе, тепло «не в ту сторону» не передаётся. Но если с помощью хитрых приспособлений не только передать тепло, но и совершить при этом работу, то можно всё-таки сделать так, чтобы тепло передавалось от холодного к тёплому — из холодильника в комнату, например.

³ См. задачу 3 из статьи «Мороз и солнце» в «Квантике» №12, 2022.