Математика без звериной серьезности

Переехал один математик из Америки в Англию. И всё ему там более-менее понравилось, кроме формата писчей бумаги. Хорошо знакомая нам бумага A4 вызвала у него глубокий культурный шок: в Штатах он привык писать на бумаге местного стандарта, которая примерно на 30% шире.

Дальше дотошный математик измерил листок и неожиданно обнаружил, что отношение его длины и ширины почему-то очень близко к корню квадратному из 2 (который, как известно, является иррациональным числом). Тут он вообще рассвирепел. Он решил, что это изощренное издевательство над американскими математиками, переехавшими в Англию, и проклял европейцев за их иррациональность.

Несколько дней математик кипятился и сыпал проклятиями по адресу листов A4 и европейской культуры в целом. А потом осознал, что ошибался. Европейский стандарт размеров бумаги основан вот на чем: если взять лист A1 и разделить его надвое, получится два листа A2, если на 4 части, получатся 4 листа A3, если на 8 частей — 8 листов A4, а если на 16 частей, то 16 листов A5. И все они по формату точно укладываются друг в друга. В этом случае никакого отношения длины и ширины листа, кроме \( \sqrt{2} \), и быть не может.

Доказав это, математик пришел в гармоничное состояние духа и решил, что европейский стандарт всем хорош. И теперь уже американская более широкая бумага, размер которой выбран произвольно, его раздражает.

А эту историю математик включил в свою книгу, которая называется «Математика с дурацкими рисунками». Вот о ней и поговорим.

Не все любят математику. Картинка с сайта Бена Орлина mathwithbaddrawings.com

Книгу молодого математика Бена Орлина «Математика с дурацкими рисунками», пожалуй, можно было бы еще назвать «Математика для двоечников». Она рассчитана на нулевой начальный уровень — на человека, который, как многие из нас, не любил и не понимал математику в школе, но при этом все-таки не утратил способности воспринимать новое и любоваться красотой отвлеченных построений. Как пишет автор на одной из первых страниц: «На уроках математики красивое, образное, логическое искусство измельчили в конфетти и велели школьникам собрать оригинал обратно. Невозможная, парализующая задача. Неудивительно, что школьники стонали. Неудивительно, что они терпели поражения».

Что же делает Орлин? Начнем с того, чего он точно не делает. Его книга менее всего похожа на учебный курс, пусть и изложенный в популярной форме. И упаковать под обложку книги какой-то единый «теоретический минимум» он не пробует. Его задача — дать почувствовать вкус математики, хотя бы на примере отдельных, но живых фрагментов, ни в коем случае не отпугивая читателя сухостью и сложностью. Его книга — не систематический обзор, а затравка. Принцип «ученик — не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь» доведен здесь до предела.

В полном соответствии с названием, в книге много места занимают рисунки автора — простые, но изящные и забавные. Орлин стремится к максимальной наглядности, поэтому сопровождает картинками почти каждый логический шаг. Более дружественное к читателю изложение основ математики трудно представить. Судя по рассказу автора, сначала он рисовал свои картинки просто на доске, потом — в блоге, а потом уж собрал получившийся материал в книгу.

Что такое факторизация и почему она так прекрасна? В чем реальный смысл числа π? Чем ферма лучше двутавровой балки? Почему платоновыми телами удобно играть в кости? Как получить биномиальное распределение, подбрасывая монету? Что будет, если увеличить кошку до размеров слона? Чем хороший математик отличается от великого? Это примеры вопросов, на которые получает ответы читатель книги Орлина. Их не слишком много, хотя не так уж и мало — книга объемная. Автор, однако, очень четко следует принципу «лучше меньше, да лучше». Многие сложные проблемы он предпочитает оставить за кадром, вместо того чтобы говорить о них вскользь, рискуя кого-нибудь насмерть запутать. Например, о производных и вообще о матанализе читатель «Математики с дурацкими рисунками» не узнает ровным счетом ничего. Несомненно, это сознательное решение автора: о матанализе он написал отдельную книгу, которую тоже можно почитать.

Вот как Орлин говорит всего-навсего о том, чем отличаются выражения x² и 2^x (цитируется с небольшими сокращениями):

Поменяйте местами два символа. Что произойдет?

Ну, с точки зрения новичка, ничего. Вы поменяли две закорючки, две буквы тарабарского языка. Какая разница? Но, с точки зрения математика, это все равно что поменять местами море и небо, горы и облака, птицу и рыбу (к величайшему ужасу обеих). Поменять местами два символа означает поменять всё на свете.

Например, возьмем два выражения и представим, что x равен 10.

А 10² — большое число. Это 10×10, то есть 100 — приемлемое количество школьников, которым я смогу преподавать в этом году, или расстояние (в милях) до парка с аттракционами, или стоимость (в долларах) для оплаты телевидения. (...)

Но 2¹⁰ гораздо больше. 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 1024. Стольких школьников можно выучить за десять лет, столько ехать до самого грандиозного парка с аттракционами на свете, столько долларов можно заплатить за самое навороченное телевидение. (...)

Чем больше мы увеличиваем x, тем больше разрыв между значениями двух функций. На самом деле слово «больше» слишком скромное, это как назвать Большой каньон «трещинкой». Когда x возрастает, разрыв между x² и 2^x приобретает катастрофический характер.

100² — довольно много. 100×100 = 10 000.

Но 2¹⁰⁰ — это невообразимо много. (...) 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376, примерно миллиард миллиардов триллионов.

Допустим, мы ведем измерения в фунтах. 10 000 фунтов — это масса грузовика, груженного кирпичами. По правде говоря, это тяжело, но второе число принадлежит к другому классу величин.

Такова масса сотни тысяч планет Земля.

Функции x² и 2^x не слишком отличаются друг от друга для нетренированного глаза. Но, чем дольше вы изучаете математику и чем более бегло вы говорите на этом языке закорючек, тем более драматичной становится разница. Вскоре она становится нутряной, тактильной; она начинает задевать ваши чувства, и это последний жизненно важный пункт нашей стратегии. Мы должны читать строки математического текста, испытывая весь спектр эмоций — от радости и приязни до страха и трепета.

Рано или поздно неумение отличить функции x² и 2^x становится таким же абсурдным, как образ грузовика, который тащит за собой сто тысяч планет.

Математик здесь, наверное, только улыбнется. Автор учебника обошелся бы одной строчкой там, где Орлин потратил две страницы. Но дилетанту, особенно такому, который математики всю жизнь побаивался, подобная манера изложения может очень и очень помочь.

Значительный кусок книги Орлина посвящен рассказу о статистике — тема, для современного читателя очень важная и полезная. Смысл основных понятий статистики разъясняется прямо-таки на пальцах, так, что проще некуда. Хороший выбор. Орлин сам приводит высказывание Герберта Джорджа Уэллса: настанет день, когда «умение вычислять, видеть максимумы, минимумы и средние величины будет настолько же необходимо, насколько сейчас — умение читать и писать». Уэллс, как известно, был не только великим писателем, но и неплохим биологом, а еще — очень проницательным человеком. В данном случае он, видимо, оказался прав. Пример: книга о медицине, которая получила в позапрошлом году премию «Просветитель», называется «0,05». Если это название кажется вам странным, то вам стоит почитать Орлина. Не волнуйтесь: Орлин воистину гуманен по отношению к читателям, в его главе о статистике, страшно сказать, нет ни одной формулы. Но хотя бы понимать, о чем тут речь, полезно всем современным людям без исключения.

Орлин вообще уделяет много внимания практическим вопросам. Например, он подробно, насколько это возможно сделать без формул, рассказывает о приложениях математики к некоторым экономическим проблемам и к выборам президента США. Есть глава и о хаотических системах. Почему бы нет? Всё это довольно увлекательно.

Наконец, в книге есть обстоятельные примечания. Они написаны привычным автору легким слогом, но в них можно найти и точные ссылки, и формулы — для тех, кто захочет поглубже вникнуть в ту или иную тему.

Отличная математическая шутка с сайта mathwithbaddrawings.com. В книгу «Математика с дурацкими рисунками» она не вошла, но читатель этой книги ее скорее всего поймет. На всякий случай сообщим, что длина и радиус окружности связаны соотношением L = 2πR, где L — длина, R — радиус, а π — иррациональное число, приближенно равное 3,14. Что касается площади круга, то она равна πR²

Особенность книги Орлина, которая, возможно, понравится не всем — разухабистый стиль, наводящий на мысли о массовиках-затейниках. Делая любое утверждение, он считает необходимым попутно пошутить. Это довольно быстро начинает утомлять, хотя тут, конечно, дело вкуса. И уж точно это гораздо лучше, чем обратная крайность. Книгу для дилетантов, написанную с могильной серьезностью, просто никто не будет читать, какие бы гениальные мысли туда ни вложил автор. А книгу Орлина — прочтут и получат много удовольствия.

Кроме того, такой подход к изложению материала может быть для нас кое в чем поучителен. Николай Владимирович Тимофеев-Ресовский говаривал, что науку надо делать «без звериной серьезности». Действительно, традиция чрезмерной серьезности (унаследованная, надо думать, от немецкой академической среды, с которой были связаны почти все наши крупные ученые в конце XIX и начале XX веков) иногда мешает как науке, так и популяризации. Не так давно один наш очень крупный биолог жаловался, что ему не удалось опубликовать в солидном научно-популярном журнале эволюционное древо, где символом типа хордовых был силуэт прекрасной дамы: ему сказали, что это несерьезно, и заставили заменить прекрасную даму на рыбу латимерию. Ничего страшного тут, конечно, нет, но противоядие против такого подхода не помешает. Нашим популяризаторам вряд ли стоит прямолинейно подражать Орлину: местами он пересаливает, да и манера его для нас была бы не слишком органична. Но в любом случае очень полезно знать разнообразие подходов, чтобы найти среди них свой. Ибо свобода, остроумие, внесение в разговор о науке элемента благородной игры — вещи безусловно хорошие.

Автор этих строк должен признаться, что после работы над этой рецензией у него возникло прямо-таки жгучее желание поскорее прочитать вторую книгу Орлина, посвященную матанализу. Она может оказаться еще забавнее — и еще интереснее.