«Математика космоса». Глава из книги

Глава 4. Космос как часовой механизм

«Начала» Ньютона заявили и утвердили ценность математики как пути к пониманию космоса. В результате в сознании ученых сложился притягательный образ механистичной Вселенной, где Солнце и планеты были созданы сразу в их нынешней конфигурации. Планеты раз за разом огибали Солнце по примерно круговым орбитам, аккуратно и красиво распределенным в пространстве так, чтобы они ни в коем случае не столкнулись друг с другом — и даже не сблизились. Хотя все в этой системе слегка пошатывалось — ведь тяготение каждой планеты действовало на все остальные, ничего в ней особенно не менялось. Такой взгляд на Вселенную наглядно воплотило в себе симпатичное устройство, получившее название оррери (планетарий), — настольная машинка, в которой крохотные планеты на спицах без остановки двигались вокруг центрального Солнца под действием часового механизма. Природа тоже представлялась такой гигантской механической моделью, движущей силой в которой служила гравитация.

Математически настроенные астрономы, конечно, понимали, что не все в природе так просто. Орбиты представляют собой не точные окружности и даже лежат не строго в одной плоскости, а некоторые из отклонений были весьма значительны. В частности, две крупнейшие планеты Солнечной системы — Юпитер и Сатурн — непрерывно заняты каким-то долгосрочным перетягиванием гравитационного каната; они стягивают друг друга то вперед с обычного места на орбите, то назад, снова и снова. Лаплас объяснил это явление около 1785 года. Орбиты двух гигантов близки к резонансу 5:2, то есть за то время, пока Сатурн дважды обойдет вокруг Солнца, Юпитер успевает обойти вокруг него пять раз. Если описывать положение планеты на орбите как угол¹, то разность

2 × угол для Юпитера − 5 × угол для Сатурна

близка к нулю, но, как объяснил Лаплас, все же не равна нулю в точности. Вместо этого она медленно меняется, проходя полный круг каждый 900 лет. Этот эффект получил название «великое неравенство».

Лаплас доказал, что это взаимодействие не приводит к значительным изменениям эксцентриситета или наклонения орбиты той или иной планеты. Вполне объяснимо, что после такого результата ощущение общей стабильности нынешней расстановки планет в системе только усилилось. Можно было полагать, что в будущем планеты будут еще очень долго двигаться приблизительно так же, как сейчас, и в прошлом всегда все было так же.

Но нет! Чем больше мы узнаем о Солнечной системе, тем меньше она походит на механические часы и все больше на какую-то невероятную структуру, которая по большей части ведет себя хорошо, но иногда как будто сходит с ума. Что интересно, эти резкие выверты не бросают ни тени сомнения на закон всемирного тяготения Ньютона; напротив, они являются его следствиями. Закон математически строг и точен — сама простота. А вот события, к которым он приводит, простыми назвать никак нельзя.

***

Чтобы разобраться в происхождении Солнечной системы, необходимо объяснить, откуда она взялась и как организованы ее разнокалиберные тела. На первый взгляд они образуют совершенно эклектический набор — каждый мир уникален, и различия всегда перевешивают черты сходства. Меркурий — это горячий камень, совершающий три оборота вокруг своей оси каждые два оборота вокруг светила; это резонанс 3:2 между вращением и обращением. Венера — кислотный ад, вся поверхность которого несколько сотен миллионов лет назад сформировалась заново. На Земле есть океаны, кислород и жизнь. Марс — замерзшая пустыня с кратерами и каньонами. Юпитер — гигантский шар разноцветных газов, образующих красивые декоративные полосы. Сатурн похож на Юпитер, но менее драматичен, зато в порядке компенсации обладает великолепными кольцами. Уран — смирный ледяной гигант, который вращается не в ту сторону. Нептун — еще один ледяной гигант с кольцевыми вихрями, скорость ветра в которых превышает 2000 километров в час.

Однако один соблазнительный намек на упорядоченность в этой системе все же имеется. Орбитальные расстояния шести классических планет, измеренные в астрономических единицах, составляют:

Представленные числа не кажутся регулярными, и поначалу трудно разглядеть в них закономерность, даже если она имеется. Но в 1766 году Иоганн Тициус заметил в этих числах кое-что интересное и описал это в своем переводе «Созерцания природы» Шарля Бонне.

«Раздели расстояние от Солнца до Сатурна на 100 частей; тогда Меркурий отделяют от Солнца четыре такие части, Венеру 4 + 3 = 7 таких частей, Землю 4 + 6 = 10 частей, Марс 4 + 12 = 16. Но заметьте, что от Марса к Юпитеру наблюдается отклонение от этой столь точной прогрессии. После Марса следует расстояние 4 + 24 = 28 частей, но до сих пор там не было замечено никакой планеты... После этого для нас пока не исследованного пространства возникает сфера влияния Юпитера на расстоянии 4 + 48 = 52 части и Сатурна на расстоянии 4 + 96 = 100 частей».

Иоганн Боде упоминал эту же численную закономерность в 1772 году в своей книге «Руководство к познанию звездного неба» (Anleitung zur Kenntniss des Gestirnten Himmels); в более поздних изданиях он ссылался при этом на Тициуса. Тем не менее эту закономерность часто называли законом Боде. Сейчас, правда, в обиход вошло более подходящее название — закон Тициуса — Боде.

Это чисто эмпирическое правило объединяет планетарные расстояния в (почти) геометрическую последовательность. В первоначальном своем виде она представляла собой последовательность 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, в которой каждое число, начиная с третьего, вдвое больше предшествующего; затем к каждому члену этой последовательности добавляли 4 и получали: 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100. Однако полезно привести эти числа к современным единицам измерения (а. е.), разделив их все на 10. Получим: 0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0. Эти числа на удивление хорошо соответствуют расстояниям до планет, за исключением пропуска на месте 2,8. Тициус считал, что знает, что должно находиться в этом месте. Та часть его ремарки, которую я заменил многоточием, выглядит так:

«Но должен ли был Господь-Архитектор оставить это место пустым? Вовсе нет. Давайте же считать, что это место, несомненно, принадлежит не открытым пока спутникам Марса; давайте также добавим, что Юпитер, возможно, еще имеет вокруг себя более мелкие спутники, не наблюдавшиеся пока ни в один телескоп».

Мы сегодня понимаем, что спутники Марса должны обнаруживаться поблизости от Марса, как спутники Юпитера — возле Юпитера, так что Тициус в некоторых отношениях угодил в молоко, но предположение о том, что в этом пробеле должно присутствовать какое-то тело, попало в самую точку. Однако до 1781 года, когда был открыт Уран, никто не принимал это предположение всерьез, а ведь Уран тоже вписался в последовательность. Предсказанное расстояние составляет 19,6 а. е.; реальное — 19,2.

Вдохновившись этим успехом, астрономы начали искать не замеченную прежде планету, которая обращалась бы вокруг Солнца на расстоянии, приблизительно равном 2,8 радиуса орбиты Земли. В 1801 году Джузеппе Пиацци нашел одну такую планету — по иронии судьбы, совсем незадолго до начала систематических поисков. Его планета получила название Церера, и ее историю мы продолжим в главе 5. Она была меньше Марса и намного меньше Юпитера, но она была, и была в нужном месте.

Как будто чтобы скомпенсировать скромный размер, Церера оказалась там не одинока. Вскоре на сходных дистанциях от Солнца было обнаружено еще три тела — Паллада, Юнона и Веста. Это были первые четыре астероида — они же малые планеты, — и за ними последовало еще много. Около 200 из них имеют размер более километра в поперечнике, известно также более 150 000 астероидов размером по крайней мере 100 метров в поперечнике²; считается, что число еще более мелких астероидов измеряется миллионами. Они образуют знаменитый пояс астероидов — плоскую кольцеобразную область между орбитами Марса и Юпитера.

Мелкие тела имеются и в других местах Солнечной системы, но первые несколько открытий добавили весомости мнению Боде о том, что планеты распределены в ней регулярно. Последовавшее открытие Нептуна было мотивировано возмущениями в орбите Урана, а не законом Тициуса — Боде. Но закон предсказывал расстояние 38,8 а. е., что более или менее соответствует реальному расстоянию — где-то между 29,8 и 30,3. Попадание, конечно, не слишком точное, но приемлемое. Затем настала очередь Плутона: теоретическое расстояние 77,2; реальное — от 29,7 до 48,9. Вот и все, закон Тициуса — Боде перестал действовать.

Другие типичные черты планетарных орбит тоже оказались неуниверсальными. Плутон, скажем, очень странная планета. Его орбита обладает высоким эксцентриситетом и наклонена на чудовищные 17° к эклиптике. Иногда Плутон даже заходит внутрь орбиты Нептуна. Все эти нестандартные черты недавно привели к тому, что Плутон был разжалован из настоящих планет в карликовые. В качестве частичной компенсации Церера тоже стала карликовой планетой, а не просто астероидом (или малой планетой)³.

Несмотря на все успехи и неудачи, закон Тициуса — Боде ставит перед нами важные вопросы: имеет ли распределение планет какое-то математическое обоснование? Или они могли в принципе расположиться вокруг Солнца любым желаемым образом, на любых расстояниях? Что представляет собой этот закон — совпадение, проявление какой-то неизвестной закономерности или то и другое одновременно?

***

В качестве первого шага переформулируем закон Тициуса — Боде в более общий и слегка модифицированный вид. В оригинальной форме этот закон имеет аномалию: в качестве первого члена последовательности в нем используется 0. В полноценной геометрической прогрессии на этом месте должно было бы стоять 1,5. Хотя при таком выборе расстояние до Меркурия становится 0,55 (что менее точно), вся наша игра с расстояниями имеет чисто эмпирический и приближенный характер, так что, пожалуй, разумнее будет сохранить математическую аккуратность и использовать 1,5. Теперь закон можно выразить простой формулой: расстояние от Солнца до n-й планеты в астрономических единицах равно

d = 0,075 × 2ⁿ + 0,4.

Теперь следует провести несколько вычислений. По большому счету 0,4 а. е. для отдаленных планет не играет особой роли, поэтому отбросим этот член и получим d = 0,075 × 2ⁿ. Это уже формула степенного закона, который в общем виде записывается как d = abⁿ, где a и b — константы.

Прологарифмируем уравнение:

log d = log a + n log b.

Если интерпретировать n и log d как координаты, получим уравнение прямой с наклоном log b, пересекающей вертикальную ось в точке log a. Таким образом, чтобы распознать степенную зависимость, нужно построить график зависимости log d от n в логарифмическом масштабе по обеим осям. Если результат окажется близок к прямой, все в порядке. Мало того, мы можем проделать то же самое не только для расстояния d, но и для других величин, таких как период обращения вокруг звезды или масса.

Если попытаться проделать это для расстояний от Солнца до планет, включая Цереру и Плутон, то получится график на рисунке слева. Он близок к прямой, как и следовало бы ожидать по закону Тициуса — Боде. А как насчет их масс (смотрим на рисунок справа)? На этот раз полулогарифмический график выглядит совершенно иначе. Ничего похожего на прямую или какую бы то ни было другую четкую зависимость.

Слева: график расстояний до планет в полулогарифмическом масштабе близок к прямой. Справа: график масс планет в полулогарифмическом масштабе не похож на прямую

А орбитальный период? Вновь чистая прямая (смотри следующий график слева). Однако это неудивительно, поскольку третий закон Кеплера соотносит период с расстоянием таким образом, что степенная зависимость сохраняется. Попробуем расширить поле исследования и проверим пять основных лун Урана; получим график справа. Вновь степенная зависимость.

Слева: полулогарифмический график планетарных периодов близок к прямой. Справа: полулогарифмический график расстояний от лун Урана до планеты близок к прямой

***

Совпадение или что-то более глубокое? Мнения астрономов разделились. В лучшем случае наблюдается тенденция к степенной зависимости в расстояниях. При этом зависимость не универсальна.

Здесь вполне возможно какое-то рациональное объяснение. Наиболее вероятное начинается с идеи о том, что в динамике случайной системы планет принципиально важную роль играют резонансы — случаи, когда орбитальные периоды двух планет дают в отношении простую дробь. К примеру, один из периодов может составлять 3/5 от другого, это резонанс 5:3⁴. Не обращая внимания на остальные тела, эти две планеты будут то и дело — через правильные интервалы — выстраиваться вдоль радиальной прямой, связывающей их со звездой, потому что пять оборотов одной планеты вокруг звезды в точности соответствуют трем оборотам другой планеты. За долгий период времени возникающие при этом небольшие возмущения орбит будут накапливаться, так что планеты будут склонны менять свои орбиты. В то же время для периодов, отношение которых не дает простой дроби, возмущения, как правило, компенсируются, поскольку в таких системах нет преимущественного направления, вдоль которого могла бы действовать связывающая две планеты сила тяготения.

И это не просто неопределенное предположение: оно подтверждается детальными расчетами и обширной математической теорией. В первом приближении орбита небесного тела представляет собой эллипс. На следующем уровне аппроксимации наблюдается прецессия эллипса: его большая ось медленно поворачивается в пространстве. Еще более точная аппроксимация показывает, что доминирующие члены в формулах движения небесных тел возникают от вековых (секулярных) резонансов — более общего типа резонансных отношений между периодами, с которыми прецессируют орбиты нескольких тел.

Как именно движутся тела, находящиеся в резонансе друг с другом, зависит от отношения периодов, а также от их координат и скоростей, но часто результатом бывает очищение подобных орбит. Компьютерное моделирование показывает, что случайным образом распределенные вокруг звезды планеты склонны занимать позиции, отношения между которыми примерно похожи на закон Тициуса — Боде, а промежуточные позиции вычищаются резонансами. Но все это достаточно неопределенно и расплывчато.

В Солнечной системе есть несколько «миниатюрных» подсистем, роль которых играют планеты-гиганты со своими лунами. Орбитальные периоды трех крупнейших спутников Юпитера — Ио, Европы и Ганимеда — относятся друг к другу как 1:2:4, то есть каждый последующий из них вдвое больше предыдущего (см. главу 7). Четвертый спутник этой группы — Каллисто — имеет период немного меньший, чем удвоенный период Ганимеда. Согласно третьему закону Кеплера, орбитальные радиусы тел связаны аналогичным отношением, только множитель 2 следует заменить той же двойкой в степени 2/3, что дает нам коэффициент 1,58. То есть орбитальный радиус каждого спутника должен быть примерно в 1,58 раза больше орбитального радиуса предыдущего спутника. Это тот случай, когда резонанс не расчищает, а стабилизирует орбиты, и отношение расстояний здесь 1,58 вместо 2 по закону Тициуса — Боде. Тем не менее расстояния тоже подчиняются степенному закону. Сказанное можно отнести также к лунам Сатурна и Урана, как указал Стенли Дермотт в 1960-е⁵. Такое распределение спутников называют законом Дермотта.

Расстояния, связанные степенным законом, представляют собой более общую закономерность, в которую входит и хорошая аппроксимация закона Тициуса — Боде. В 1994 году Беранжер Дюбрюль и Франсуа Гране, применив два общих принципа, вывели степенной закон распределения расстояний для типичных коллапсирующих солнечных туманностей. Оба принципа основаны на симметрии. Облако обладает осевой симметрией; кроме того, распределение вещества в нем примерно одинаково на всех масштабах измерения — это масштабная симметрия. Осевая симметрия динамически обоснована, потому что асимметричное облако непременно либо разорвется, либо станет со временем более симметричным. Масштабная симметрия типична для важных процессов, влияющих, по мнению ученых, на формирование планет, таких как турбулентные потоки внутри солнечной туманности.

Сегодня мы в состоянии выглянуть за пределы нашей Солнечной системы. А там такое начинается! Орбиты известных экзопланет — планет у других звезд — расположены на самых разных расстояниях, в большинстве своем совершенно непохожих на те, что мы наблюдаем у себя в Солнечной системе. С другой стороны, известные экзопланеты всего лишь непредставительная выборка из множества всех существующих планет; часто мы видим у звезды только одну планету, хотя там, вероятно, присутствуют и другие. К тому же методы, имеющиеся у нас на данный момент, обнаруживают прежде всего крупные планеты, обращающиеся близко к своему центральному телу.

До тех пор пока мы не получим полные планы планетных систем множества звезд, мы не сможем по-настоящему понять, что представляют собой экзопланетные системы. Однако в 2013 году Тимоти Бовэ и Чарльз Лайнуивер, рассмотрев 69 экзопланетных систем, в которых достоверно имеется не менее четырех планет, выяснили, что 66 из них подчиняются степенным законам. Исследователи попытались также при помощи полученных степенных зависимостей осторожно предсказать «недостающие» планеты, то есть повторить в экзосистемах историю с Церерой. Из 97 планет, предсказанных таким образом, пока удалось обнаружить лишь пять. Даже с учетом сложностей, связанных с обнаружением небольших планет, результат не оправдал надежд.

Все это достаточно неопределенно, поэтому внимание ученых переместилось на другие принципы, которые могли бы объяснить, как устроены планетные системы. Эти принципы опираются на тонкие особенности нелинейной динамики и не являются совсем уж эмпирическими. Однако числовой характер этих закономерностей менее очевиден. В частности, Майкл Делниц математически показал, что поле тяготения Юпитера, судя по всему, организовало все остальные планеты в единую взаимосвязанную систему, соединенную природными «трубками». Эти трубки, которые можно распознать только при помощи их математических характеристик, представляют собой естественные низкоэнергетические пути между разными мирами. Эту идею и связанные с ней вопросы мы обсудим в главе 10, куда они впишутся более естественно.

***

Был ли он совпадением или нет, но закон Тициуса — Боде вдохновил ученых на некоторые важные открытия.

Как известно, невооруженным глазом с Земли можно увидеть только пять классических планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Плюс Земля, если вы хотите проявить дотошность, но от нее в данный конкретный момент можно увидеть лишь маленький кусочек. С изобретением телескопа астрономы получили возможность наблюдать звезды, слишком слабые для невооруженного глаза, а также другие небесные объекты, такие как кометы, туманности и спутники. Астрономы работали на пределе тогдашних технических возможностей, и зачастую им проще было обнаружить на небе какой-то новый объект, чем понять, что он собой представляет.

Именно с этой проблемой столкнулся Уильям Гершель в 1781 году, когда направил телескоп, сооруженный в саду его дома в Бате, на созвездие Тельца и заметил слабую точку света возле звезды ζ Тельца; поначалу он подумал, что это либо «какая-то туманная звезда, либо, возможно, комета». Четырьмя ночами позже он записал в дневнике, что «выяснил, что это комета, ибо она изменила свое положение». Примерно пять недель спустя, докладывая о своем открытии Королевскому обществу, он все еще описывал это явление как комету. Если рассматривать звезду через линзы с разным увеличением, она остается точкой даже при самом большом увеличении, но этот новый объект при большем увеличении, казалось, увеличивался — «как это делают планеты», заметил астроном. Но это же можно сказать и о кометах, и Гершель был убежден, что открыл новую комету.

По мере поступления новой информации некоторые астрономы, в том числе Королевский астроном Невил Маскелайн, Андерс Лексель и Боде, начали сомневаться и попросили уточнить природу нового объекта. К 1783 году астрономы сошлись во мнении, что это планета, и решили, что ей необходимо название. Когда-то король Георг III назначил Гершелю содержание в 200 фунтов в год при условии, что тот переедет поближе к Виндзорскому замку, чтобы королевская семья имела возможность смотреть в его телескопы. Гершель, желавший отблагодарить монарха, хотел назвать новую планету Georgium Sidus — «Звезда Георга». Боде предложил название Uranus — латинский вариант записи имени греческого небесного бога Урана. И это название победило, несмотря на то что Уран — единственная планета, названная в честь греческого божества, а не римского.

Лаплас рассчитал орбиту Урана в 1783 году. Оказалось, что период обращения этой планеты составляет 84 года, а среднее расстояние от Солнца примерно равно 19 а. е., или 3 миллиарда километров. Орбита Урана, хотя и близка к круговой, обладает большим эксцентриситетом, чем орбита любой другой известной планеты, ее радиус варьируется от 18 до 20 а. е. Через несколько лет, с появлением более совершенных телескопов, появилась возможность измерить период вращения планеты вокруг оси, который составил 17 часов 14 минут, и выяснить, что вращается она не в том же направлении, что все остальные, а в противоположном. Ось вращения Урана наклонена больше чем на 90° и почти лежит в плоскости эклиптики Солнечной системы, вместо того чтобы быть к ней приблизительно перпендикулярной. В результате на Уране наблюдается крайняя форма полярного дня: на каждом из полюсов планеты 42 земных года длится день и 42 года — ночь, причем когда один полюс погружен во тьму, на другом светит солнце.

Очевидно, в Уране есть что-то странное. С другой стороны, его орбита точно укладывается в закон Тициуса — Боде.

Когда орбита новой планеты была установлена и появилась возможность связать с ней давние наблюдения, стало ясно, что этот далекий мир астрономам случалось наблюдать и раньше, но его всегда ошибочно принимали за звезду или комету. На самом деле Уран едва-едва виден человеку с хорошим зрением; вероятно, он числился в качестве «звезды» еще в каталоге Гиппарха в 128 году до нашей эры и позже в Птолемеевом «Альмагесте». Джон Флемстид шесть раз наблюдал Уран в 1690 году и считал звездой; он даже присвоил ей регулярное обозначение 34 Тельца. Пьер Лемонье наблюдал его 12 раз между 1750 и 1769 годами. Хотя Уран — планета, движется он так медленно, что изменение его положения на небе нелегко заметить.

***

До этого момента роль математики в исследовании Солнечной системы была в основном описательной; математика позволяла свести длинную серию наблюдений к простой эллиптической орбите. Единственным предсказанием, которое делалось на основе математики, тогда было предсказание положения планеты на небе в определенные моменты времени в будущем. Но время шло, данные о наблюдениях накапливались, и Уран все более и более оказывался не там, где надо. Ученик Лапласа Алексис Бувар провел множество высокоточных наблюдений Юпитера, Сатурна и Урана, а также открыл восемь комет. Его таблицы движения Юпитера и Сатурна оказались очень точными, а вот Уран стабильно уходил от предсказанных для него точек. Бувар предположил, что орбиту Урана, возможно, возмущает какая-то еще более отдаленная планета.

Под «возмущением» здесь подразумевается просто воздействие. Если бы было можно выразить это действие математически как зависимость от параметров орбиты предполагаемой новой планеты, то удалось бы обратным ходом определить и саму эту орбиту. Тогда астрономы знали бы, куда смотреть, и если бы предсказание оправдалось, то они смогли бы обнаружить ту самую новую планету. Главная загвоздка при таком подходе состоит в том, что на движение Урана существенно влияют Солнце, Юпитер и Сатурн. Остальными телами Солнечной системы, пожалуй, можно пренебречь, но и без того разбираться придется по крайней мере с пятью телами. Точные формулы неизвестны даже для системы из трех тел; с пятью все намного сложнее.

К счастью, математики того времени успели уже придумать хитроумный способ обойти эти сложности. Математически возмущение — это новый эффект, изменяющий решения уравнений этой системы. К примеру, движение маятника под действием гравитации в вакууме имеет элегантное решение: маятник совершает одни и те же колебательные движения раз за разом, до бесконечности. Однако, если в системе присутствует сопротивление воздуха, уравнение движения изменяется, чтобы включить в себя эту дополнительную силу сопротивления. Для модели маятника эта сила — возмущение, она разрушает периодические колебания. В воздухе, в отличие от вакуума, колебания затухают, и маятник со временем останавливается.

Возмущения приводят к более сложным уравнениям, решать которые, как правило, труднее. Но иногда можно использовать само возмущение, чтобы понять, как меняются решения. Для этого мы записываем уравнения для разности между невозмущенным и возмущенным решениями. Если возмущение невелико, мы можем вывести приближенные формулы для искомой разности, отбросив при этом те члены уравнений, которые намного меньше возмущения. Этот прием упрощает уравнения в достаточной мере, чтобы их можно было решить в явном виде. Полученное в результате решение не является точным, но зачастую достаточно хорошо для практических целей.

Если бы Уран был единственной планетой в системе, его орбита представляла бы собой идеальный эллипс. Однако на эту идеальную орбиту оказывают возмущающее действие Юпитер, Сатурн и все остальные известные нам тела Солнечной системы. Совместное действие их гравитационных полей изменяет орбиту Урана, и это изменение может быть описано как медленная вариация орбитальных элементов Уранова эллипса. С большой точностью можно сказать, что Уран всегда движется по какому-то эллипсу, но во всякий новый момент это немного другой эллипс. Возмущения медленно изменяют его форму и наклонение.

Таким способом можно было вычислить, как должен двигаться Уран с учетом действия всех существенных возмущающих тел. Но наблюдения показывали, что на самом деле Уран не придерживается предсказанной таким образом орбиты. Вместо этого он постепенно отклоняется от нее, и эти отклонения можно измерить. Поэтому мы добавляем гипотетическое возмущение со стороны неизвестной планеты X, рассчитываем новую возмущенную орбиту, требуем, чтобы она совпадала с наблюдаемой орбитой, и вычисляем орбитальные элементы планеты X.

В 1843 году Джон Адамс продемонстрировал высший вычислительный пилотаж и рассчитал орбитальные элементы гипотетического нового мира. К 1845-му Урбен Леверье независимо от него провел собственные аналогичные вычисления. Адамс направил свои предсказания Джорджу Эйри, тогдашнему королевскому астроному Британии, с просьбой поискать на небе предсказанную планету. Эйри встревожили некоторые аспекты расчетов Адамса — напрасно, как выяснилось позже, — но Адамс не смог рассеять его сомнений, так что ничего сделано не было. В 1846 году Леверье опубликовал собственное предсказание, тоже не вызвавшее особого интереса, — до тех пор, пока Эйри не заметил, что результаты обоих математиков очень похожи. Он поручил директору Кембриджской обсерватории Джеймсу Чаллису провести поиск новой планеты, но Чаллису не удалось ничего обнаружить.

Вскоре после этого, однако, Иоганн Галле разглядел слабую светящуюся точку примерно в градусе от предсказания Леверье и в 12° от предсказания Адамса. Позже Чаллис обнаружил, что и сам дважды наблюдал новую планету, но у него не оказалось под рукой новейшей звездной карты, да и вообще он отличался некоторой небрежностью и не заметил своего открытия. Точка Галле оказалась еще одной планетой, которую позже назвали Нептуном. Открытие этой планеты стало крупным успехом небесной механики. Теперь математика не только помогала фиксировать орбиты существующих планет, но и являла людям новые миры.

***

Теперь Солнечная система могла похвастать уже восемью планетами и стремительно растущим числом «малых планет», или астероидов (см. главу 5). Но еще до открытия Нептуна некоторые астрономы, среди них Бувар и Петер Ганзен, были убеждены, что одного-единственного нового тела недостаточно, чтобы объяснить аномалии в движении Урана. Вместо этого они были убеждены, что наблюдаемые неувязки говорят о присутствии двух новых планет. На протяжении следующих 90 лет эта идея то и дело мелькала в научных дискуссиях.

В 1894 году Персиваль Лоуэлл основал обсерваторию в городке Флагстафф в штате Аризона, а через 12 лет, решив раз и навсегда разобраться с аномалиями орбиты Урана, он начал реализацию проекта, названного им «Планета X». Здесь X — математическое неизвестное, а не римская цифра (тем более что порядковым номером очередной планеты был бы IX). Лоуэлл несколько подпортил собственную научную репутацию тем, что продвигал идею «каналов» на Марсе, и теперь хотел восстановить свое реноме: для этого идеально подошла бы новая планета. Он воспользовался математическими методами, чтобы предсказать, где должен находиться этот гипотетический мир, а затем провел систематический поиск, но безрезультатно. В 1914–1916 годах Лоуэлл повторил свою попытку, но снова ничего не обнаружил.

Тем временем директор обсерватории Гарвардского колледжа Эдвард Пикеринг опубликовал собственное предсказание на этот счет: он предположил существование планеты O на расстоянии 52 а. е. от Солнца. Но к тому моменту британский астроном Филип Коуэлл объявил все эти поиски пустой и сумасбродной идеей: он считал, что предполагаемые аномалии в движении Урана можно объяснить иными способами.

В 1916 году Лоуэлл умер. Юридический спор между его вдовой и обсерваторией прервал всякую работу по поиску планеты X до 1925 года, когда брат Лоуэлла Джордж оплатил сооружение нового телескопа. Клайду Томбо поручили фотографировать определенные области ночного неба дважды с интервалом в две недели. Некое оптическое устройство использовалось, чтобы сравнить два изображения, и все объекты, изменившие свое положение за это время, начинали мигать, привлекая внимание исследователя. Чтобы устранить всякие сомнения, он делал еще и третий снимок. В начале 1930 года, когда Томбо исследовал область в Близнецах, на снимке возникла мерцающая точка. Она отстояла от точки, указанной Лоуэллом, не более чем на 6°; похоже было, что его предсказание подтвердилось. Когда необычный объект был идентифицирован как новая планета, проверка архивов показала, что в 1915 году он уже попадал на фотографии, но не был распознан.

Этот новый мир назвали Плутоном, причем две первые буквы названия представляли собой инициалы Персиваля Лоуэлла.

Со временем стало понятно, что Плутон намного меньше, чем ожидалось; его масса в 10 раз меньше массы Земли. Из этого следует, что его присутствием на самом деле невозможно объяснить те аномалии, которые заставили Лоуэлла и других астрономов предсказать его существование. Когда в 1978 году данные о малой массе Плутона получили подтверждение, кое-кто из астрономов решил возобновить поиски планеты X; эти ученые предполагали, что Плутон всего лишь ложный след, а настоящая массивная планета, должно быть, по-прежнему скрывается «где-то там». Однако, когда Майлз Стэндиш, воспользовавшись данными пролета аппарата Voyager 2 мимо Нептуна в 1989 году, уточнил массу Нептуна, аномалии орбиты Урана попросту испарились. Предсказание Лоуэлла оказалось всего лишь удачным совпадением.

Плутон — очень необычный мир. Его орбита наклонена к эклиптике на 17° и настолько вытянута, что иногда Плутон подходит к Солнцу ближе, чем Нептун. Однако столкнуться эти два тела никак не могут по двум причинам. Одна из причин — угол между орбитальными плоскостями: их орбиты пересекаются только на прямой, которая является общей для обеих плоскостей, и оба мира должны оказаться в одной и той же точке этой прямой в один и тот же момент. Вот здесь-то и вступает в игру вторая причина. Плутон и Нептун находятся в резонансе 2:3 друг с другом. Это значит, что оба тела каждые два оборота Плутона и три — Нептуна (то есть каждые 495 лет) повторяют, по существу, одни и те же движения. Раз уж они не столкнулись в прошлом, не столкнутся и в будущем — по крайней мере до тех пор, пока какая-нибудь крупномасштабная реорганизация других тел Солнечной системы не потревожит их уютные и довольно близкие отношения.

***

Астрономы продолжали исследовать внешние области Солнечной системы в поисках новых тел. Они выяснили, что у Плутона имеется сравнительно большая луна — Харон, но больше за пределами орбиты Нептуна не удавалось ничего обнаружить до 1992 года, когда было зарегистрировано небольшое тело, обозначенное как (15760) 1992 QB₁⁶. Оно было настолько незначительным, что так и не получило с тех пор другого названия (высказывалось предложение назвать его «Смайли», но оно было отвергнуто, поскольку это название уже получил один из традиционных астероидов). Оказалось, однако, что это тело — первое из целой стаи занептунных объектов (TNO, Trans-Neptunian Objects), которых известно на сегодняшний день более 1500. Среди них имеется несколько более крупных тел, уступающих все же по размерам Плутону: самый крупный среди них объект — Эрида, затем идут Макемаке, Хаумея и 2007 OR₁₀.

Все эти объекты слишком легковесны и далеки, чтобы их можно было предсказать по гравитационному воздействию на другие тела, поэтому находят их при внимательном просмотре фотоизображений. Но есть кое-какие достойные внимания математические особенности того, как на них воздействуют другие тела. Между 30 и 55 а. е. лежит так называемый «пояс Койпера», объекты которого в большинстве своем располагаются на примерно круговых орбитах вблизи эклиптики. Орбиты некоторых из этих TNO находятся в резонансе с орбитой Нептуна. Те объекты, резонанс которых составляет 2:3, называют плутино, поскольку в их число входит и Плутон. Те, что состоят с Нептуном в резонансе 1:2, то есть период обращения которых вдвое больше периода Нептуна, называют тутино. Остальные — классические объекты пояса Койпера, или кьюбивано⁷; они также обращаются по приблизительно круговым орбитам, но не испытывают значительных возмущений со стороны Нептуна. Дальше, за поясом Койпера, располагается так называемый рассеянный диск. Здесь астероидоподобные тела движутся по вытянутым орбитам, часто наклоненным к эклиптике под большим углом. Именно к этой категории относятся Эрида и Седна.

По мере того как обнаруживались все новые и новые TNO, некоторые астрономы начали склоняться к мнению, что нелогично называть планетой Плутон, но не называть Эриду, которая, как они считали, даже чуть превосходит его размером. По иронии судьбы, поздние фотографии с аппарата New Horizons показали, что Эрида все-таки чуть меньше Плутона⁸. Но если дать статус планет остальным крупным занептунным объектам, то некоторые из них окажутся меньше, чем астероид (или малая планета) Церера. После долгих и горячих дебатов Международный астрономический союз низвел Плутон до статуса карликовой планеты и уравнял с ним в правах Цереру, Хаумею, Макемаке и Эриду. Новые определения терминов «планета» и «карликовая планета» были тщательно подогнаны под известные небесные тела, так чтобы все они попадали в нужные категории. Однако до сих пор до конца неясно, соответствуют ли на самом деле этому определению Хаумея, Макемаке и Эрида. Кроме того, есть подозрение, что в поясе Койпера имеется еще несколько сотен таких же карликовых планет, а в рассеянном диске их насчитывается до 10 000.

***

Когда какой-то новый научный прием срабатывает и приводит к успеху, разумно бывает попробовать его на других аналогичных задачах. Трюк с возмущением орбиты блестяще сработал в случае с Нептуном — существование и местоположение планеты были предсказаны точно. В случае с Плутоном он тоже, на первый взгляд, работал блестяще, но лишь до тех пор, пока астрономы не поняли, что Плутон слишком мал, чтобы вызвать те аномалии, при помощи которых его предсказали.

Этот прием потерпел удручающую неудачу в поисках планеты под названием Вулкан. Речь не выдуманной планете из «Звездного пути», родине мистера Спока, которая, если верить писателю-фантасту Джеймсу Блишу, обращается вокруг звезды 40 Эридана A. Нет, это выдуманная планета, обращающаяся вокруг неприметной и довольно обычной звезды, известной писателям-фантастам как Сол. Или, более привычно, Солнце. Вулкан преподает нам несколько полезных уроков о науке — не только сообщает очевидный факт о том, что ошибки случаются, но и учит, что осознание прошлых ошибок может уберечь нас от их повторения. Его предсказание связано с введением положений теории относительности в физику Ньютона с целью ее улучшения. Но, как говорится, об этом позже.

Нептун был открыт благодаря аномалиям в орбите Урана. Вулкан был призван объяснить аномалии в орбите Меркурия — и предложил его не кто иной, как Леверье, в работе, вышедшей еще до открытия Нептуна. В 1840 году директор Парижской обсерватории Франсуа Араго решил применить закон всемирного тяготения Ньютона к орбите Меркурия и попросил Леверье провести необходимые расчеты. Теоретические данные можно было проверить во время прохождения Меркурия по диску Солнца — так называемого транзита; можно было очень точно засечь моменты начала и окончания транзита Меркурия. Событие это должно было состояться в 1843 году, и незадолго до него Леверье завершил свои расчеты, дав возможность предсказать соответствующие моменты времени. К его изумлению, наблюдения разошлись с теорией. Леверье вернулся к чертежной доске и подготовил более точную модель движения планеты, основанную на многочисленных наблюдениях и 14 транзитах. В результате к 1859 году он выявил и опубликовал небольшой, но загадочный аспект движения Меркурия, объяснивший его первоначальную ошибку.

Точка, в которой орбитальный эллипс Меркурия подходит ближе всего к Солнцу, известна как перигелий (peri — ‘близкий’, helios — ‘Солнце’) и представляет собой четко определенную характеристику орбиты. Со временем перигелий Меркурия медленно вращается относительно далеких («неподвижных») звезд. В сущности, вся орбита целиком медленно поворачивается, оставляя Солнце в своем фокусе; для этого существует специальный термин — прецессия. Математическая закономерность, известная как теорема Ньютона о вращении орбиты⁹, предсказывает этот эффект как результат возмущений орбиты со стороны других планет. Однако, когда Леверье подставил в эту теорему результаты наблюдений, числа, получившиеся в результате, чуть-чуть не совпали с реальными. Теория Ньютона предсказывала, что перигелий Меркурия должен смещаться в результате прецессии на 532ʺ (угловые секунды) за каждые сто лет; однако по результатам наблюдений прецессия составила 575ʺ. Что-то вызывало дополнительные 43ʺ прецессии за столетие. Леверье предположил, что за это отвечает какая-то неизвестная планета, обращающаяся ближе к Солнцу, чем Меркурий; он назвал эту планету Вулканом — в честь древнеримского бога огня.

Понятно было, что сияние Солнца затмевает любой свет, отражаемый настолько близкой к светилу планетой, так что единственный реальный способ увидеть Вулкан — поймать его на транзите, во время которого он должен быть виден на диске Солнца как крохотная темная точка. Вскоре астроном-любитель Эдмон Лескарбо объявил, что действительно видел такую точку, причем это не могло быть солнечное пятно, потому что двигалось оно с неправильной скоростью. В 1860 году Леверье объявил об открытии Вулкана и был удостоен за это ордена Почетного легиона.

К несчастью для Леверье и Лескарбо, оказалось, что в тот же период времени Солнце наблюдал еще один астроном — Эммануэль Лиэ. Он пользовался более качественным оборудованием, чем Лескарбо, и работал по поручению бразильского правительства, но при этом не видел ничего подобного. На кону оказалась его репутация, он категорически отрицал, что транзит действительно имел место. Разгорелись жаркие и путаные споры. Леверье умер в 1877 году, по-прежнему веря, что открыл еще одну новую планету. Без поддержки Леверье теория Вулкана потеряла темп, и вскоре астрономы пришли к единому мнению: Лескарбо ошибся. Предсказание Леверье осталось неподтвержденным, и среди астрономов возобладал скепсис. Окончательно интерес к Вулкану пропал в 1915 году, когда Эйнштейн, воспользовавшись своей новой теорией — общей теорией относительности, рассчитал дополнительную прецессию перигелия Меркурия, равную 42,98ʺ, без привлечения каких бы то ни было новых планет. Теория относительности тем самым получила подтверждение, а Вулкан был сдан в архив.

Мы и сегодня не можем быть до конца уверены, что между Меркурием и Солнцем нет неизвестных нам тел, хотя, если такое тело существует, оно должно быть очень небольшим. Генри Куртен, заново проанализировав фотографии солнечного затмения 1970 года, заявил, что обнаружил на них по крайней мере семь таких тел. Их орбиты было невозможно определить, и заявления Куртена остались неподтвержденными. Но поиск вулканоидов, как называют такие тела, продолжается¹⁰.

¹ А конкретно — среднюю долготу. — Прим. ред.

² К концу 2017 года известно уже около 500 000 астероидов всех размеров с хорошо определенными орбитами. — Прим. ред.

³ При этом никто не обратил внимания на чисто языковую нестыковку: что в английском, что в русском языке карликовая планета (dwarf planet) интуитивно воспринимается как менее значимый объект, нежели малая планета (minor planet). — Прим. ред.

⁴ Из примечания к главе 2 можно узнать, почему мы не называем такой резонанс 3:5.

⁵ Закон Дермотта — эмпирическая формула для орбитального периода спутников в Солнечной системе — был сформулирован Стенли Дермоттом в 1960-е. Он имеет вид T(n) = T(0)Cⁿ, где n = 1, 2, 3, 4, ... Здесь T(n) — орбитальный период n-го спутника, T(0) — константа порядка нескольких суток, а C — константа той системы спутников, о которой идет речь. Приведем конкретные значения. Юпитер: T(0) = 0,444 суток, C = 2,0. Сатурн: T(0) = 0,462 суток, C = 1,59. Уран: T(0) = 0,488 суток, C = 2,24.

⁶ Здесь 1992 — год открытия, QB₁ — условное обозначение объекта в ряду найденных в указанном году, а 15760 — постоянный номер малой планеты, присвоенный объекту 1992 QB₁ после надежного определения его орбиты. — Прим. ред.

⁷ Название происходит от побуквенного прочтения символов QB₁ и дано в честь первого после Плутона занептунного объекта.

⁸ Измерить диаметр Плутона с Земли сложно даже при помощи космического телескопа имени Хаббла. Дело в том, что у Плутона имеется тонкий слой атмосферы, размывающий изображение. У Эриды атмосферы нет.

⁹ Утверждения 43–45 из первой книги «Математических начал натуральной философии».

¹⁰ В частности, с помощью камер на двух американских КА Stereo.