Парадокс Симпсона

Амелия Алаева
«Квантик» №4, 2021

В классной комнате на переменах всегда стоял шум и гам. Поэтому Лена, пропустив несколько дней по болезни, почувствовала себя не в своей тарелке, когда перед уроком истории в классе воцарилась мёртвая тишина. Все её одноклассники, словно сговорившись, не отрывали глаз от учебника, хотя никакой контрольной не намечалось. Вдруг её кто-то слегка толкнул: «Лена, ты хорошо помнишь то правило? Может, повторишь ещё раз?» Соседка по парте Маша протягивала ей свой учебник.

— Да, я дома учила, — твёрдо заявила девочка. — А чего это все сегодня такие странные?

— Как? Ты не знаешь? — удивилась Маша. — Пока тебя не было, директор решил в честь 800-летия со дня рождения Александра Невского устроить конкурс и вручить призы лучшим классам в каждой параллели!

— А что делать-то, собственно, нужно?

— Ничего сложного: просто получать четвёрки и пятёрки по истории и математике. Завуч найдёт долю хороших оценок по этим предметам, и у кого она выше — тот и победил.

Целую неделю все ребята усердно трудились — учителя не переставали удивляться, какие замечательные дети у них учатся. И вот настало время подвести итоги. Почти в каждом классе есть такой всезнайка, который всё уже сам раньше всех подсчитал и решил. Знакомьтесь — Витя из 7-го «Б», одноклассник Маши, уверенно заявил, что их класс победил. Но таблица результатов, которую составил завуч, показывала другое:

— Стойте! — подал голос мальчик. — В моей таблице столько же хороших и плохих оценок, но я объединил результаты двух предметов вместе, и доли получились другие:

Это что же выходит: и «А», и «Б» победили одновременно? Ведь данные, по которым составлены таблицы, одни и те же, а результаты разные. Поскольку в правилах конкурса не было явно указано, считаются доли хороших оценок отдельно по предметам или все вместе, завуч решил отложить награждение и посоветоваться с директором.

Маша, уверенная в правоте своего класса, времени даром терять не хотела. Она этим же вечером зашла в гости к своему старому другу — профессору Ивану Петровичу. Пусть он с научной точки зрения объяснит, кто здесь прав.

— Интереснейший случай! — воскликнул профессор. — Кто бы знал, что ты обратишь внимание на возникший здесь парадокс Симпсона!

— Кого-кого? Симпсона? Это из мультика, что ли?

— Да нет, парадокс носит имя вполне реального учёного Эдварда Симпсона. Говоря в общих словах, это когда в каждой группе выполняется одно соотношение между данными, а в объединении групп — противоположное. Давай посмотрим, как это произошло на твоём примере.

Мы сравниваем долю хороших оценок (результаты в подгруппах) для классов 7«А» и 7«Б» отдельно по математике и истории (подгруппы данных). Они явно указывают на лидерство 7«А». Но когда мы объединили результаты обоих предметов вместе, то увидели, что на самом деле общая доля хороших оценок больше у твоего класса. Любопытно заметить, как работает наша интуиция. Мы думаем, что «победа» в каждой группе всегда означает и «победу» в целом, но увы, это не так.

По Машиному выражению лица было видно, что за всё это время она только успела запутаться в словах, но к разгадке этой тайны так и не приблизилась.

— Давай приведу ещё один пример. Представь себе, что на упаковке лекарства, которое лечит от болезни Y, написано: «Рекомендовано для мужчин при заболевании Y, рекомендовано для женщин при заболевании Y. Противопоказание: не рекомендовано для людей при заболевании Y».

— Да не может такого быть! — засмеялась Маша. — Вы, наверное, шутите. Ведь мужчины и женщины — это и есть люди!

— Я и не утверждаю, что такое было в реальности написано. Но могло быть написано и было бы сущей правдой. Правда не всегда серьёзна. Иногда она курьёзна и... парадоксальна, — хитро прищурился профессор. — Всё дело в результатах исследований. Испытуемых мужчин разделили на две группы. Одним давали плацебо (пустышку), а другим лекарство. То же самое провели с группой женщин, и оказалось, что доля выздоровевших от Y больше среди тех, кто принимал лекарство. Однако если не делить людей на группы, то окажется, что среди тех, кто принимал плацебо, доля излечившихся людей больше. Вот тебе и парадокс! И думай теперь, работает ли лекарство...

— А наоборот может быть? Ну, скажем, лекарство от Z показано всем людям, но не рекомендовано для мужчин и женщин.

— Да, такое тоже возможно. При проведении исследований очень важно замечать такие «перевёртыши». Дело в том, что у 7«А» больше оценок по математике (33), чем по истории (27), и итоговая доля хороших оценок складывается из долей по предметам с большим весом математики (11/20 против 9/20):

А у 7«Б» наоборот, оценок по истории (42) вдвое больше, чем по математике, поэтому в итоговой доле хороших оценок будет с большим весом участвовать история (2/3 против 1/3):

В такой ситуации говорят, что выборки оценок для 7«А» и 7«Б» не репрезентативны.

В скобках указано суммарное количество хороших и плохих оценок этого класса

— Вот чудеса! А как вы думаете, кто всё-таки победил? — подозрительно посмотрела на профессора Маша.

— Чтобы устранить парадокс, сделаем веса предметов одинаковыми для каждого класса. Например, можем взять веса предметов для 7«Б» такими же, как для 7«А», тогда общая доля хороших оценок для 7«Б» станет \( \text{0,43} · \frac{11}{20} + \text{0,64} · \frac{9}{20} ≈ \text{0,52} \), и 7«А» победит. На самом деле, 7«А» победит и для любого другого соотношения предметов — ведь на графике линия для 7«А» всюду выше, чем для 7«Б».

— Эх, получается, призы достанутся 7«А»...

На следующий день Маша рассказала о парадоксе сначала завучу, а потом и самому директору, который похвалил её за честность (она упомянула и про победу их соперников). Но самым приятным оказалось то, что школа закупила призов «с запасом», поэтому было принято единогласное решение наградить и 7«А», и 7«Б» класс. Домой Маша вернулась с действительно хорошим подарком: увлекательной книгой.

Художник Мария Усеинова