Многогранный Делоне

Николай Петрович Долбилин
«Квант» №1, 2, 2010

15 марта 2010 года исполняется 120 лет со дня рождения Бориса Николаевича Делоне. К этой дате приурочена наша статья, которая является существенно переработанным и дополненным вариантом статьи «Пик Делоне», опубликованной в «Кванте», №3 за 1986 год.

Вместо предисловия

Красивая горная вершина, примыкающая к Белухе, высочайшей вершине Алтая, названа пиком Делоне в честь Бориса Николаевича Делоне — выдающегося математика и удивительного человека.

Борис Николаевич Делоне был крупным математиком, и математическое творчество является безусловно самой яркой гранью этого замечательного ученого. Но показать лишь эту грань многосторонне одаренной личности — всё равно что из сложного полифонического произведения выделить его основную тему в отрыве от других тем. В этом смысле жизнь Б. Н. Делоне, а прожил он 90 лет, можно сравнить с цельным произведением искусства. Эта жизнь была чрезвычайно насыщена. Если бы мы попытались перечислить яркие моменты и факты из его биографии, то хронологически одним из первых шел бы 1897 год — семилетний мальчик читает в подлиннике «Фауста» Гете, знает наизусть отдельные главы поэмы, пишет маслом первые пейзажи. Где-то в конце списка был бы отмечен 1975 год — 6 июля Борис Николаевич на 86-м году жизни проводит ночь на Тянь-Шане при 25-градусном морозе на высоте 4200 метров на леднике под семитысячником Хан-Тенгри. Утром на вертолете он спускается к озеру Иссык-Куль, откуда тут же перелетает во Фрунзе, ныне Бишкек, где стоит 40-градусная жара. Проведя несколько часов в очереди в аэропорту у касс, Борис Николаевич не без помощи академического удостоверения добывает билет на самолет и поздно вечером того же дня оказывается в подмосковном аэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи, расположенной в окрестностях подмосковного Абрамцева. Прибыв на ближайшую станцию последней электричкой глубокой ночью, Борис Николаевич с тяжелым рюкзаком идет к даче через лес, сбивается с пути. Проплутав в ночном лесу, он сбрасывает в укромном месте рюкзак и налегке к рассвету находит свой дом. Эти биографические детали показывают, что, с одной стороны, разностороннее дарование у Б. Н. Делоне проявилось в очень раннем возрасте. С другой стороны, до преклонных лет он сохранил юношеский темперамент, а незаурядное физическое здоровье позволяло ему заниматься с полной отдачей не только научной работой, но и серьезным туризмом. Геометрия чисел, математическая кристаллография, дискретная геометрия — в этих областях Борисом Николаевичем были написаны работы, когда ему было уже за восемьдесят. Алтай и Кавказ, Карпаты и Тянь-Шань — такова география путешествий, совершенных им в преклонном возрасте.

Чудо-ребенок

Б. Н. Делоне собирается в лыжный поход (начало 1970-х годов). Изображение: «Квант»

Борис Николаевич Делоне родился 15 марта 1890 года в Санкт-Петербурге в семье известного профессора математики и механики, автора очень хороших университетских учебников Николая Борисовича Делоне. Род Делоне происходил из Франции. Прадед Б. Н. Делоне, Пьер Делоне (Pierre Delaunay), был доктором в наполеоновской армии, пленен во время войны 1812 года. После освобождения вернулся во Францию, но, влюбленный в прекрасную девушку из знатного российского рода, вернулся в Россию, женился и остался здесь навсегда...¹

Борис был многосторонне одаренным ребенком и получил, как говорили тогда, прекрасное воспитание. Его занятия музыкой были весьма основательны: он играл многие пьесы Баха и Моцарта, все сонаты Бетховена, много сочинял сам. Учитель музыки видел в нем музыкальную одаренность и рекомендовал непременно поступать в консерваторию по классу композиции. Но не меньше оснований было и у преподавателя рисования, когда он настаивал на том, чтобы Борис поступал в художественную академию. Его занятия рисованием, живописью были пронизаны талантом и серьезным отношением, портреты близких, выполненные в карандаше, поражают сходством.

Пока учителя и родители размышляют о будущем Бориса, мальчик не теряет времени. Он путешествует в горы и пишет пейзажи, занимается музыкой и играет в футбол, воспроизводит в карандаше «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи и лазает по деревьям (с младшей сестрой на плечах для нагрузки), наблюдает за звездным небом и ставит физические опыты. Свою комнату он превратил в физическую лабораторию, в которой немало устройств было сделано им самим. Много лет спустя Делоне часто с чувством гордости вспоминал о маленьких хитростях, которые позволили ему получить с помощью лейденской банки «в-о-о-о-т такую искру» (это «в-о-о-о-т» сопровождалось красноречивым жестом). Увлекаясь астрономией, он построил телескоп, зеркало для которого шлифовал сам. Рассказывая об этом, Борис Николаевич никогда не забывал добавлять: «шлифовать зеркало из бронзы было глупо — и трудоемко, и быстро тускнело».

Нельзя не упомянуть еще об одном увлечении Б. Н. Делоне в школьные годы. Его отец Николай Борисович был дружен со знаменитым ученым Николаем Егоровичем Жуковским, «отцом русской авиации». Под его влиянием Николай Борисович Делоне в 1907 году (он тогда работал профессором в Киевском политехническом институте) организовал в Киеве первый в России планерный кружок. Семнадцатилетний Борис стал одним из членов кружка и в течение следующих двух лет построил один за другим пять планеров, постоянно совершенствуя их. Последний, пятый, планер был наиболее удачным. Однажды кинематографисты, приехавшие снять материал о кружке, уговорили Бориса, несмотря на сильный ветер, показать полет. Порыв ветра опрокидывает планер, и авиатор падает примерно с 15-метровой высоты, к счастью, на глубоко вспаханное поле. С точки зрения современных представлений об авиации, достижения кружка кажутся наивными: полеты на несколько десятков метров, запуски летом при помощи лошади, жгута, велосипеда, а зимой — при помощи санок. Но, заметим, это было время зарождения авиации, и деятельность кружка носила пионерский характер. Работа кружка оказала влияние на развитие отечественного авиастроения. Одним из кружковцев был Игорь Сикорский, который впоследствии, получив необходимые средства, построил огромный по тем временам 4-моторный самолет, знаменитый в истории российского самолетостроения под названием «Илья Муромец». После октябрьской революции И. Сикорский эмигрировал в США, где со временем стал знаменитым конструктором вертолетов. Один из вертолетов Сикорского совершил трансатлантический перелет. Отметим также еще один любопытный эпизод, связанный с кружком. Крупнейший наш авиаконструктор Андрей Николаевич Туполев, рассказывая в своих мемуарах об огромном значении, которое имело для него знакомство с Жуковским, отмечал, что познакомил его, тогда еще студента, с Жуковским именно Б. Н. Делоне.

Прежде чем обсудить место, которое занимала математика в жизни Бориса Делоне в его детские годы, следует отметить еще одно увлечение, которое продолжалось всю жизнь. Это увлечение — альпинизм -впервые проявилось у Бориса Николаевича в возрасте 12–15 лет в Швейцарских Альпах, куда в начале 1900-х годов семья Делоне выезжала на летние каникулы. Позже Делоне рассказывал о своих восхождениях и походах в окрестностях вершин Монте-Роза и Маттерхорн над Церматом в Валлийских Альпах.

Крайний слева — Б. Н. Делоне, крайняя справа — его жена М. Г. Делоне, в центре — известный математик академик Я. В. Успенский, его жена и сестра (1924 год). Изображение: «Квант»

Математическое дарование Делоне проявилось весьма рано. В 12 лет он был знаком с основами математического анализа, чуть позднее приступил к изучению алгебры, теории чисел. Обстановка в семье способствовала развитию математического таланта. Отец, к примеру, в 1904 году взял сына на Международный конгресс математиков в Гейдельберг, где 14-летний Борис видел Гильберта и Минковского, присутствовал на их лекциях. Для будущей научной работы Бориса Николаевича оказалось важным, что в начале 1900-х годов его отец работал профессором Варшавского университета² одновременно с выдающимся математиком Георгием Феодосьевичем Вороным. Г. Ф. Вороной (1868–1908) был одним из самых блестящих представителей знаменитой Петербургской школы теории чисел. Николай Борисович подружился с выдающимся математиком, и Вороной стал частым гостем в доме Делоне. Борис Николаевич вспоминал, что когда беседы между отцом и Вороным затягивались допоздна, то он, мальчик, уже «находясь в кровати в своей комнате, прислушивался к их разговору через полуприкрытую дверь, ведущую в залу». Кстати, Г. Ф. Вороной тоже участвовал в работе конгресса в Гейдельберге, много общался с Минковским. Результатом общения двух создателей нового направления в математике — геометрии чисел — стала грандиозная программа, которую наметил себе на последующие годы Вороной. И хотя, к огромному сожалению, судьба отпустила ему только четыре года, Георгий Феодосьевич успел написать несколько фундаментальных работ по геометрии положительных квадратичных форм и теории параллелоэдров, в которых были решены принципиальные задачи из теории покрытий, упаковок и разбиений. Эти работы определили направление исследований на столетие вперед.

Киевский университет, семинар Граве

Хотя впоследствии работы Вороного оказали серьезное влияние на исследования Делоне, прямых научных контактов у Бориса-гимназиста с маститым ученым не было. Вороной умер неожиданно в возрасте 40 лет в том самом 1908 году, когда Борис Делоне поступил на физико-математический факультет Киевского университета.

Кавказ, Домбай (1948 год). Изображение: «Квант»

На этот факультет примерно в одно время поступили учиться несколько исключительно талантливых и амбициозных молодых людей, среди них Отто Шмидт и Николай Чеботарев. Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947) стал выдающимся алгебраистом мирового уровня, член-корреспондентом АН СССР. Академик Отто Юльевич Шмидт (1891–1956) — многогранно талантливый человек невероятной энергии. В истории российской математики Шмидт известен не только как крупный алгебраист, автор хорошо известной книги «Абстрактная теория групп», но и как основатель знаменитой московской алгебраической школы. В 1934 году имя Героя Советского Союза Шмидта стало легендарным: он был начальником знаменитой полярной экспедиции на ледоколе «Челюскин», а после гибели ледокола организовал зимовку на льдине и в течение нескольких месяцев полярной ночи, вплоть до благополучной эвакуации экспедиции, как руководитель сделал всё, чтобы все люди остались живы.

Борис Делоне, Отто Шмидт, Николай Чеботарев, Александр Островский, Абрам Безикович составили ядро семинара, возглавляемого известным математиком профессором Дмитрием Граве. Этот семинар, существовавший в Киевском университете на рубеже 1910-х годов и вошедший в историю отечественной математики как воспитавший плеяду математиков экстракласса, предопределил направление исследований Делоне на многие годы. Студенческая работа Бориса Делоне «Связь между теорией идеалов и теорией Галуа» была удостоена Большой золотой медали университета, и Борис был оставлен «для подготовки к профессорскому званию», или, говоря по-нынешнему, в аспирантуру. Первая опубликованная работа Делоне «Об определении алгебраической области посредством конгруэнтности» была посвящена новому доказательству знаменитой теоремы Кронекера об абсолютно абелевых полях.

Диофантовы уравнения третьей степени

В это же время Б. Н. Делоне начал исследования по теории диофантовых уравнений третьей степени с двумя неизвестными. Цикл работ по теории кубических диофантовых уравнений оказался, по собственному признанию Бориса Николаевича, лучшим достижением во всей его математической карьере.

Диофантово уравнение — это уравнение вида

p (x₁, ..., x_n) = 0,             (1)

где p (x₁, ..., x_n) — многочлен с целыми коэффициентами, для которого нужно найти целые, иногда рациональные, решения.

Так, известное уравнение х² + у² = z², в котором нужно найти все целые решения, есть пример уравнения 2-й степени с тремя неизвестными. Оно имеет бесконечно много целых решений, хорошо известных под названием пифагоровы тройки, потому что они соответствуют прямоугольным треугольникам с целыми сторонами: (3, 4, 5), (5, 12, 13) и т. д.³

В одной из 23 знаменитых проблем, а именно в 10-й проблеме, Гильберт поставил вопрос: существует ли алгоритм, позволяющий определить по коэффициентам уравнения (1), существует или нет решение этого уравнения? Сейчас, после работы Ю. В. Матиясевича, решившего 10-ю проблему Гильберта (1970), точно известно, что такого алгоритма не существует. Надо сказать, что специалисты по диофантовым уравнениям, которые прекрасно знали, с каким трудом давался каждый шаг в этой области, всегда сомневались в существовании такого алгоритма.

Простейший вид диофантова уравнения — это линейное уравнение с двумя неизвестными:

ах + by = 1,

где а и b  — целые. Впервые это уравнение было исследовано индийским математиком Ариабхатой еще в V–VI веках.

Диофантовы уравнения 2-й степени оказались гораздо труднее. Они были полностью изучены великими математиками Леонардом Эйлером (полная теория квадратных уравнений Пелля ах² + у² = 1, где а не равен квадрату целого числа), а также Ж. Лагранжем, К. Гауссом.

Что касается диофантовых уравнений степени 3 и выше, глубокий и неожиданный результат был получен норвежским математиком Акселем Туэ в 1908 году. Туэ доказал, что диофантово уравнение вида

f (x, y) = c,

где f (x, y) — однородный многочлен степени 3 или выше, может иметь лишь конечное число целых решений. Здесь предполагается, что многочлен f (x, y) не раскладывается в произведение многочленов степени 2 и ниже. В этом случае решение уравнения высокой степени можно свести к решению квадратного диофантового уравнения. А квадратные уравнения, например квадратное уравнение Пелля, имеют бесконечное число решений. Напомним, что многочлен называется однородным (или формой), если все входящие в него одночлены имеют одну и ту же степень.

Однако нужно заметить, что теорема Туэ не давала никаких средств для нахождения решений. Из нее нельзя было получить никакой верхней оценки для значений решений, что давало бы возможность найти целые решения хотя бы путем грубого перебора.

Журнала с работой Туэ в Киеве в то время никто не видел. Борис Николаевич решил исследовать давно стоявшую проблему решения неопределенных кубических уравнений. Как оказалось в дальнейшем, работы Делоне обозначили едва ли не первый после Эйлера и Лагранжа серьезный прогресс в направлении конкретного исследования диофантовых уравнений более высокого порядка, а именно, уравнений вида

где слева — форма 3-й степени с целыми коэффициентами и с отрицательным дискриминантом. «Отрицательность дискриминанта» означает, что кубическое уравнение at³ + bt² + ct + d = 0 имеет единственный вещественный корень. Сначала Б. Н. Делоне приступил к важному частному случаю кубических уравнений с отрицательным дискриминантом — кубическому аналогу уравнения Пелля:

x³q + y³ = 1,             (3)

где q — целое, но не куб целого. (Если q является кубом целого, то форма была бы разложимой:

и проблема свелась бы к решению диофантовых уравнений степеней 1 и 2.)

Уравнение (3) в целых числах всегда имеет тривиальное решение (0; 1). Задача — найти остальные решения, если такие, конечно, имеются. Делоне ввел в рассмотрение кольцо σ алгебраических чисел

По существу — это множество чисел вида (4), где числа z, х, у целые. Легко проверить, что как сумму и разность, так и произведение двух чисел вида (4) можно представить в таком же виде. Другими словами, множество чисел вида (4) замкнуто относительно арифметических операций сложения и вычитания, а также и умножения. В алгебре такие множества называют кольцом. В числовом кольце наряду с каждым числом существует ему противоположное, но, вообще говоря, нет ему обратного. Нетрудно убедиться, что если пара целых чисел (х, y) есть решение уравнения (3), то вместе с числом кольцу σ принадлежит и обратное ему число ε^–1. Другими словами, число ε^–1 также можно представить в виде (4). Числа из кольца σ, для которых обратные также принадлежат кольцу, называют единицами. Например, при q = 2 число является единицей, так как обратное ему число представимо в виде и, следовательно, принадлежит σ.

Итак, любое решение уравнения (3) соответствует единице из σ , более того, эта единица должна быть двучленной в том смысле, что один из трех членов в числе вида (4), а именно , равен 0. Из одной теоремы Дирихле следует, что в σ существует так называемая основная единица ε₀, а все остальные единицы есть степени основной. Более того, было известно, что если двучленная единица ε  σ такая, что 0 < ε < 1, то степень т в равенстве ε = ε₀^m положительна.

В дальнейшем Делоне доказал, что если основная единица ε₀ двучленная, то никакая положительная степень т единицы ε₀ , за исключением т = 1, не равна двучленной единице. Затем был исследован случай ε = ε₀^m, когда ε₀ — трехчленная основная единица. При помощи остроумнейших соображений Борис Николаевич доказал, что единица вида ε₀^m может быть двучленной лишь тогда, когда сама основная единица ε₀ двучленна.

Тем самым, Б. Н. Делоне получил окончательный результат: кубический аналог уравнений Пелля (3), помимо тривиального решения (0; 1), имеет еще не более одного нетривиального решения. Для того чтобы получить это решение, нужно найти основную единицу. Если эта единица двучленна: , то (х,–y) есть единственное нетривиальное решение уравнения (3). Если это не так, то нетривиальных решений нет вовсе.

Здесь нужно сказать, что приблизительно двадцатью годами ранее Вороной построил алгоритм вычисления основной единицы в кольце σ . Например, для уравнения 4х³ + у³ = 1 кольцо имеет трехчленную основную единицу, и данное уравнение имеет лишь тривиальное решение (0; 1). А для уравнения 37х³ + у³ = 1 основная единица двучленна: . Поэтому кроме тривиального решения имеется в точности еще одно: (–3; 10).

После столь крупного успеха Б. Н. Делоне приступил к общему уравнению (2), напомним, с отрицательным дискриминантом. И в общем случае он свел проблему к исследованию двучленных единиц вида х + yρ в кольце σ алгебраических чисел х + уρ + zρ², где ρ - единственный вещественный корень уравнения at³ + bt² + ct + d = 0. Посредством созданного им «алгоритма повышения» Борис Николаевич доказал следующую фундаментальную теорему:

В общем случае уравнение (2) имеет не более 3 целых решений; в двух конкретных случаях уравнение имеет в точности 4 решения; одно конкретное уравнение имеет ровно 5 решений. Никакое уравнение вида (2) не имеет более 5 целых решений.

Так, уравнение х³ – хy² + у³ = 1 имеет пять решений: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (–1; 1), (4; –3). А тот факт, что других нет, следует из упомянутой теоремы Делоне.

Правда, у «алгоритма повышения» был серьезный недостаток, который Делоне не смог устранить. Трудность состояла в том, что тогда не было известно верхней оценки для значений решений данного уравнения, выраженной через коэффициенты уравнения. Метод, предложенный Борисом Николаевичем, не содержал указания относительно момента, наступление которого гарантировало бы нахождение всех решений данного уравнения.

Несмотря на то, что в каждом рассмотренном уравнении этот «алгоритм» срабатывал, уверенность в том, что получены все решения, возникала лишь тогда, когда у уравнения уже найдено 3 решения. Верхняя же оценка для решений уравнения через коэффициенты формы при условии, что степень не меньше 3, была получена лишь в 1960-е годы А. Бейкером. За свою работу Бейкер был удостоен Филдсовской медали.

После классических результатов Эйлера, Лагранжа, Гаусса по диофантовым уравнениям второй степени работы Делоне представляли серьезный прорыв в теории кубических уравнений и оставались непревзойденными вплоть до 1960 годов (А. Бейкер). Как писал член-корреспондент АН  СССР Д. К. Фаддеев, «по конкретности анализа, простоте и ясности цикл работ Б. Н. Делоне, посвященных неопределенным уравнениям, является исключительным в математике XX века с ее часто громоздким аппаратом и абстрактными построениями. По своему стилю этот цикл близок к лучшим образцам классических работ Гаусса и Чебышева».

Жизнь в Киеве, переезд в Санкт-Петербург (Ленинград)

Успех явился результатом, как говорил Делоне, нескольких тысяч часов интенсивной работы. Борис Николаевич любил добавлять, что решение трудной математической проблемы отличается от решения олимпиадной задачи тем, что «олимпиадная задача требует 5 часов, а проблема — 5 тысяч часов». Следует отметить, что ему удалось добиться крупного успеха в теории диофантовых уравнений, несмотря на чрезвычайно тяжелые политические и жизненные условия, существовавшие в Киеве в то время.

В годы первой мировой войны Киев был оккупирован немецкими войсками, и вместе со многими другими университетскими профессорами семья Делоне в 1915–1916 годах выезжала в Саратов. Туда же приехал из Киева и Николай Чеботарев, который был на четыре года младше. Именно в Саратове его общение с Б. Н. Делоне оказалось для Чеботарева определяющим.

Когда Делоне вернулись в Киев, наступила революция и кровопролитная гражданская война. Киев оказался в центре этих жестоких событий. Одна власть сменяла другую непрерывно. Немецкие войска были выбиты из Киева Красной Армией. Красные, в свою очередь, уступали город белым, белые вытеснялись опять красными, красные — жовтоблакитными, те — зелеными, белополяками и т. д. Политическая карусель в Киеве, сопровождавшаяся террором, продолжалась несколько лет. Делоне часто рассказывал не без юмора об одном эпизоде из его жизни в те годы. Его младший брат Александр — в семье его называли Алик — был офицером в деникинской армии. Однажды, когда белые скоропалительно сдали город красным, Алик, переодевшись в гражданское платье, вынужден был бежать из Киева. Форма белого офицера осталась в доме отца, где жил также и Борис. Ночью в квартиру пришел для проверки краснофлотский патруль. Во время обыска командир патруля подошел к двухстворчатому гардеробу, где за левой дверью висел мундир Алика, и резко отворил... правую. Неожиданно с верхней полки упала на пол огромная кукла и начала плакать. Привезенная из Парижа плачущая кукла, а в то время это казалось настоящим чудом, настолько поразила матросов, что они забыли открыть другую дверь шкафа... А ведь время было жестоким и беспощадным, расстрел, что называется, на месте был делом обычным.

В тот период Борис Николаевич работал учителем математики в гимназии и доцентом в Киевском политехническом институте. В 1920 году он написал большую работу по кубическим диофантовым уравнениям и прекрасно оформленную рукопись отослал в качестве докторской диссертации в Санкт-Петербургский, тогда Петроградский университет. Комиссия под руководством А. А. Маркова⁴ высоко оценила диссертацию, и в 1922 году Б. Н. Делоне был приглашен в Петроградский университет в качестве профессора. Это было действительно очень почетно, так как университет был «домом» знаменитой Санкт-Петербургской школы теории чисел, семена которой были посеяны еще Эйлером, и которая расцвела во второй половине XIX века под руководством П. Л. Чебышева. Во времена Чебышева ядро этой школы составляли А. А. Марков, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Ляпунов.

В то время, в соответствии с традициями знаменитой теоретико-числовой школы, ее выдающийся представитель Георгий Вороной «одел» свою исключительно геометрическую по идее работу о параллелоэдрах в «аналитические одежды». В противоположность этой традиции, Делоне, обладая несомненным геометрическим даром, в течение многих лет занимался геометризацией нескольких важных алгебраических работ, включая алгоритм Вороного для вычисления основной единицы в кольце, соответствующей кубической форме отрицательного дискриминанта. В этой и других работах он интерпретировал кольцо кубических иррациональностей как целочисленную решетку с естественным правилом умножения.

Здесь мы завершаем обзор исследований алгебраических вопросов геометрическими методами, чтобы рассказать об одной простой, но важной теории, которую Борис Николаевич начал еще в начале 1920-х годов, — о так называемом методе пустого шара и связанном с ним разбиении пространства на специальные многогранники. Где-то в 1980-е годы, уже после смерти Б. Н. Делоне, эти разбиения получили название «триангуляции Делоне».

Метод пустой сферы и триангуляции Делоне

Борис Николаевич Делоне был замечательным популяризатором науки. При этом он придерживался принципа: каждая популярная статья о математике должна содержать доказательство хотя бы одного утверждения. Мы последуем этому принципу и приведем с доказательствами основные идеи очень полезной геометрической теории — теории разбиений Делоне. Эта теория была изложена им в начале 20-х годов в работе «О пустой сфере». В ряде специальных случаев идея такого разбиения уже встречалась, например, в работах Вороного. Заслуга Бориса Николаевича состояла в том, что он с присущей ему ясностью и прозрачностью описал эту простую геометрическую конструкцию для весьма общего класса множеств. Мы сейчас объясним основные идеи этой науки — для простоты лишь на плоскости, хотя эта теория легко переносится на пространство любой размерности.

Рассмотрим на плоскости некоторое множество X точек. Точки множества X, чтобы отличать их от других точек плоскости, не принадлежащих X, будем именовать узлами. Предполагается, что множество X узлов удовлетворяет следующим двум условиям. Существуют два положительных числа r и R, такие что

(1) любой круг радиуса r содержит внутри себя не более одного узла из X;
(2) любой круг радиуса R содержит внутри себя или на границе не менее одного узла из X.

Делоне назвал такое множество X (r, R)-системой. Сейчас это, кстати не очень удачное, название сменилось на множество Делоне (с параметрами r и R).

Рис. 1

Понятно, что условия (1) и (2) эквивалентны условиям

(1') расстояние между узлами не менее 2r и
(2') расстояние от любой точки плоскости до ближайшего к ней узла из X не превосходит R.

Довольно часто оказывается полезным еще одно эквивалентное определение множества Делоне. Будем рассматривать круги с центрами только в узлах из X. Тогда условия (1) и (2) можно переформулировать:

(1'') круги радиуса r с центрами в узлах из X попарно не перекрываются, т. е. образуют упаковку (рис. 1);
(2'') круги радиуса R с центрами в узлах из X покрывают всю плоскость, т. е. образуют покрытие. Другими словами, любая точка плоскости принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Легко видеть, что в силу условия (2) число всех узлов во множестве Делоне бесконечно.

Заметим, что параметры r и R задаются неоднозначно: из условий (1) и (2) очевидно вытекает, что множество X удовлетворяет тем же условиям (1) и (2) при любых значениях r' и R', если 0 < r' ≤ r и R' ≥ R.

Теперь вслед за Борисом Николаевичем приступим к построению некоторого особого разбиения плоскости на многоугольники, однозначно связанного с множеством X.

Рис. 2

Разбиение плоскости — термин несколько новый, хотя смысл этого термина тот же, что и у известного с детства события: разбивания стекла. Целое стекло разбивается на осколки, из которых можно составить целое, при этом отдельные осколки не налегают друг на друга.⁵

Разбиением плоскости на многоугольники называется множество многоугольников М₁, M₂ и т. д., так расположенных на плоскости, что

(а) никакие два многоугольника не налегают друг на друга (условие упаковки), а
(б) многоугольники, взятые вместе, покрывают всю плоскость (условие покрытия).

Паркет на полу, кафельная плитка на стене, мозаика Пенроуза (рис. 2) — всё это ограниченные фрагменты разбиения (бесконечной) плоскости.

Изложим теперь идею «пустой сферы», принадлежащую Борису Николаевичу Делоне.

0-й шаг. Возьмем на плоскости, где расположено множество X, маленький кружок, скажем радиуса меньше r, который ни внутри, ни на границе не содержит узлов из X. Такой кружок существует, потому что расстояние между узлами не меньше 2r.

1-й шаг. Оставляя центр O₁ круга неподвижным, увеличиваем его радиус, оставляя его пустым от узлов внутри, до тех пор, пока граница раздуваемого круга не наткнется на какой-нибудь узел х из X. Такой момент обязательно наступит, так как по условию (2) радиус пустого круга не превышает R (рис. 3).

Рис. 3

2-й шаг. Теперь, не снимая круг с узла х, отодвигаем от узла х по прямой хО₁ центр расширяющегося круга до тех пор, пока он не наткнется еще на один узел у (рис. 4). Такой момент обязательно наступит вследствие опять же условия (2). Обозначим центр этого круга через O₂.

Рис. 4

3-й шаг. Не снимая круг с узлов х и у, будем удалять его центр от узлов х и у по срединному перпендикуляру к отрезку хy, пока расширяющийся круг не наткнется еще на один узел z (рис. 5).

Рис. 5

На этом процесс расширения круга завершен. Обозначим окончательно полученный круг через K, а его центр — через О.

Заметим, что после третьего шага на граничной окружности круга расположено некоторое число k узлов, k ≥ 3 . Построим k-угольник с вершинами в данных k узлах (рис. 6). Ясно, что этот многоугольник вписан в круг, который других узлов из X ни внутри, ни на границе не содержит.⁶

Рис. 6

Многоугольник М назовем многоугольником Делоне для заданного множества X узлов, если его вершины — это узлы из X и он вписан в некоторый круг K, который ни внутри, ни на границе никаких других узлов, кроме вершин, не содержит.

Полученный в результате описанной выше «четырехходовки» k-угольник является многоугольником Делоне. Таким образом, множество многоугольников Делоне не пусто. Более того, нетрудно видеть, что, применяя «четырехходовку» к маленьким кружкам, взятым в разных частях плоскости, можно получить бесконечно много многоугольников Делоне. Заметим, что любой узел из X является вершиной по крайней мере одного из многоугольников Делоне. Такой многоугольник можно построить посредством четырехходовки, примененной к маленькому кругу, достаточно близко расположенному к данному узлу. Борис Николаевич доказал не очень сложную, но важную теорему:

Теорема. Множество всех многоугольников Делоне для данного множества X узлов образует разбиение плоскости.

Доказательство. Напомним, что множество узлов X удовлетворяет условиям (1) и (2). Докажем сначала, что никакие два многоугольника Делоне M₁ и М₂ не перекрываются, т. е. не имеют общих внутренних точек. Возьмем «пустые» круги K₁ и K₂, описанные вокруг M₁ и М₂ соответственно. Никакой из этих кругов не содержится в другом, так как каждый из них внутри пуст от узлов из X и каждый из них содержит некоторое число узлов на границе.

Если круги K₁ и K₂ не перекрываются, то многоугольники M₁ и М₂, в них содержащиеся, тем более не перекрываются. Пусть круги перекрываются по некоторой «линзе» (рис. 7), составленной из дуги а₁ первой окружности, входящей внутрь второго круга K₂, и, соответственно, из дуги а₂ второй окружности, лежащей внутри круга K₁. Так как оба круга свободны от узлов внутри, то вершины многоугольников M₁ и М₂ лежат по разные стороны от хорды АВ. На концах хорды либо нет узлов (см. рис. 7а), либо может быть один (см. рис. 7б) или два узла (см. рис. 7в). В первом случае многоугольники вовсе не пересекаются, во втором имеют общую вершину, а в третьем — общую сторону.

Рис. 7

Докажем теперь, что многоугольники Делоне образуют покрытие. Докажем сначала, что к любому многоугольнику Делоне по каждой его стороне прилегает некоторый другой многоугольник Делоне. Возьмем сторону ху многоугольника М. «Снимем» круг K с узла z и, удаляя его центр от узла z, будем «протаскивать» его через узлы х и у (рис. 8). Подчеркнем, что в процессе перемещения круг остается внутри пустым от узлов, а на его границе находятся лишь два узла х и у. Обязательно наступит такой момент (из-за условия (2)), когда круг K' с центром, перемещающимся по срединному перпендикуляру к хорде ху, наткнется на узел z'. Этот новый узел вместе, может быть, с другими узлами, оказавшимися на границе круга K', лежит по другую сторону от хорды ху (в силу того, что другая дуга круга K' лежит внутри пустого круга K). Узлы, лежащие на границе круга К' с центром О', образуют многоугольник Делоне М', который имеет с М общую сторону ху.

Рис. 8

Здесь может показаться очевидным, что если попарно не перекрывающиеся многоугольники прилегают друг к другу по каждой своей стороне, то они покрывают плоскость. На самом деле это не всегда так. Однако это верно, когда многоугольники расположены на плоскости так, что любой круг на плоскости пересекается лишь с конечным числом этих многоугольников. Множество многоугольников Делоне, построенных для множества X, именно таково (докажите это самостоятельно, опираясь на оба условия (1) и (2) множества X Делоне и на то, что многоугольник Делоне вписан в круг радиуса, не превосходящего R).

Предположим, что некоторая точка Р плоскости остается непокрытой ни одним многоугольником Делоне. Заметим, что, по вышесказанному, точка Р не является узлом. Возьмем внутри какого-нибудь многоугольника Делоне M₁ точку Q и проведем отрезок PQ. При необходимости сдвинем немного точку Q так, чтобы она оставалась внутри M₁, но PQ не содержал ни одного узла из X. Это можно сделать, так как расстояние между узлами не меньше 2r. Заметим также, что многоугольников Делоне, которые пересекаются с PQ, конечное число.

Двигаясь по отрезку PQ от точки Q к Р, мы выходим из M₁ через внутреннюю точку некоторой его стороны в прилегающий многоугольник Делоне М₂ . Из многоугольника М₂ переходим через внутреннюю точку некоторой его стороны в прилегающий М₃ и т. д. В силу конечности числа многоугольников, пересекающихся с PQ, перед тем, как попасть в непокрытую точку Р, мы должны были бы выйти из некоторого многоугольника через внутреннюю точку его стороны в непокрытую часть. Но это невозможно из-за доказанного выше прилегания к каждому многоугольнику Делоне по каждой его стороне другого многоугольника.

Итак, многоугольники Делоне не только не перекрывают друг друга, но и покрывают всю плоскость, т. е. образуют разбиение. Такие разбиения Борис Николаевич назвал L-разбиениями. Значение L-разбиений состоит прежде всего в том, что они тесно связаны с другим важным классом разбиений, задаваемых тем же множеством X узлов — разбиениями Вороного.⁷

Разбиения Вороного

Итак, пусть дано множество узлов X, которое удовлетворяет условиям (1) и (2). Для узла х определим его «область влияния» V_x, которая, по определению, состоит из тех точек Р плоскости, которые отстоят от узла х не далее, чем от других узлов:

V_x := {Р||Рх| ≤ |Рх'| для всех х'  X, х' ≠ х}.          (3)

Рис. 9

Область V_x называется областью Вороного узла х относительно множества X. Очевидно, что область Вороного можно получить так. Соединим узел х с остальными узлами отрезками, к каждому отрезку хх' проведем срединный перпендикуляр и выделим ту из двух разделяемых им полуплоскостей, которая содержит узел х (рис. 9). Ясно, что выделенная полуплоскость — это геометрическое место точек Р с условием |Рх| ≤ |Рх'|. Пересечение всех выделенных полуплоскостей, или, другими словами, множество всех точек, которые одновременно принадлежат всем выделенным полуплоскостям, — это геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (3), т. е. это — область Вороного для узла х.

Сразу скажем, что в силу условия (2) для построения области Вороного для узла х вовсе не нужно брать все узлы х'  X (их, кстати, бесконечно много), а только те, что отстоят от х не далее чем на 2R (их, в силу условия (1), конечное число). Действительно, по условию (2) расстояние от узла х до наиболее удаленной точки Р в V_x не превышает R.

Срединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам хх', где |хх'| ≤ 2R, вырезают выпуклый многоугольник, который и есть область Вороного V_x. Никакие другие срединные перпендикуляры не пересекаются с V_x вовсе.

Действительно, для любой точки Р на границе V_x найдется узел х', такой что |хР| = |х'Р| ≤ R. По неравенству треугольника, |хх'| ≤ |хР| + |Рх'| ≤ 2R. Поэтому срединные перпендикуляры к отрезкам хх', если |хх'| > 2R, не задевают область Вороного вовсе.

Итак, для каждого узла х его область Вороного V_x есть выпуклый многоугольник. Заметим, что для точек Р внутри области Вороного выполняются лишь строгие неравенства: |хР| < |х'Р| для всех х'  X, х' ≠ х. В то же время на границе некоторые неравенства обращаются в равенства.

Теорема. Множество всех областей Вороного V_x, х  X, образует разбиение плоскости.

Эта теорема почти очевидная, и читатель без труда сам может проверить, что множество областей Вороного покрывает всю плоскость и эти области попарно не имеют общих внутренних точек.

Разбиение Вороного как разбиение плоскости или пространства на «области влияния», играет огромную роль в практических задачах. Важность разбиения Делоне состоит в том, что оно дуально разбиению Вороного.

Дуальность этих разбиений означает следующую связь между ними. Любая вершина v в разбиении Вороного принадлежит нескольким областям Вороного, скажем, V_x1, V_x2, ..., V_xk и т. д. и, в силу определения области Вороного, вершина v равноудалена от их центров-узлов x₁,x₂, ..., x_k, и других более близких к этой вершине узлов нет. Это означает, что узлы x₁, x₂, ..., x_k составляют вершины некоторого многоугольника Делоне.

Возьмем теперь ребро в разбиении Вороного, соединяющее две смежные вершины v₁ и v₂. Оно разделяет две области Вороного, пусть это будут V_x1 и V_x2. Каждой из вершин, как мы видели, соответствуют многоугольники Делоне D₁ и D₂. Каждый из этих многоугольников имеет в качестве вершин узлы x₁ и х₂.

Поэтому отрезок x₁x₂ будет ребром в разбиении Делоне, соответствующим ребру v₁v₂ в разбиении Вороного. Более того, ребро v₁v₂ лежит на срединном перпендикуляре к отрезку x₁x₂.

И, наконец, область Вороного V_x соответствует очевидным образом вершине разбиения Делоне — узлу х.

Подведем итог. Между множествами вершин, ребер и многоугольников в разбиении Вороного и множествами (взятыми в обратном порядке) многоугольников, ребер и вершин в разбиении Делоне существуют взаимно однозначные соответствия, как говорят, с сохранением инцидентностей. Например, если вершина v принадлежит ребру е в одном разбиении, то соответствующий вершине v многоугольник М' в другом разбиении содержит в качестве стороны ребро е', соответствующее ребру е. Причем соответствующие друг другу ребра е и е' должны быть перпендикулярны друг другу, но, заметим, не обязаны пересекать друг друга.

В заключение отметим, что разбиения Делоне и Вороного обладают многими замечательными свойствами и оба имеют очень широкое применение.

История названия «разбиение Делоне»

Ниже — любопытная история о том, почему эти разбиения, которые Борис Николаевич, а вслед за ним и его студенты, называли L-разбиениями, теперь получили (к сожалению, после его смерти) название «разбиения Делоне».

Однажды в конце 1950-х годов Борису Николаевичу попала в руки статья одного из крупнейших геометров XX века, канадского математика Гарольда Кокстера. В этой статье Кокстер ввел и использовал L-разбиения без упоминания соответствующей работы Делоне. Борис Николаевич написал Кокстеру письмо, в котором, по словам самого Делоне, он сообщил о том, что эти разбиения им были изучены еще в 1920-е годы. В 1924 году Делоне попросил академика В. А. Стеклова⁸, который направлялся на международный конгресс математиков в Торонто, доложить его, Делоне, работу. Позднее, в 1928 году, эта работа была опубликована в трудах конгресса. При этом в письме Борис Николаевич не преминул упомянуть, что конгресс проходил в родном городе Кокстера, в Торонто. Ответ Кокстера был очень корректен. Он нашел в материалах математического конгресса 1924 года упоминание о работе Делоне. Кокстер в письме просил Делоне извинить его, тем более что в 1924 году он, Кокстер, был столь юн, что еще, опять же со слов Бориса Николаевича, «ходил под стол в коротких штанишках». Тогда же Кокстер написал в Кембридж профессору К. А. Роджерсу, который заканчивал свою ставшую своего рода математическим бестселлером книгу «Укладки и покрытия». Роджерс вставил в книгу упоминание о разбиении Делоне. Скорее всего, термин — разбиение Делоне (в вычислительной геометрии — триангуляции Делоне) — впервые появился именно в этой книге. В 1980-е годы он стал распространенным на Западе, откуда в конце прошлого века пришел в Россию.

Б. Делоне (второй справа) и Г. Кокстер (четвертый справа). Крайний справа — С. С. Рышков. Международный конгресс математиков, Москва, МГУ, август 1966 года. Изображение: «Квант»

В 1990-е мне довелось встречаться с профессором Кокстером и выступать у него на семинаре в Торонтском университете. Я попросил мэтра рассказать об этой истории. Кокстер в целом подтвердил историю, рассказанную Борисом Николаевичем, за исключением «ходьбы под стол в коротких штанишках». В 1924 году Кокстеру (1907–2003) было уже 17 лет. А фраза о «ходьбе под стол» была характерным для Бориса Николаевича проявлением экспрессии и юмора — качеств, которыми Делоне обладал сполна.

Ленинградский период (1922–1934)

Работа о разбиениях пространства обозначила сдвиг исследований в сторону геометрии. Он был постепенным и естественным. Определенную роль здесь сыграло соприкосновение при исследовании неопределенных уравнений с работами Вороного. Но основная причина геометризации исследований Бориса Николаевича заключалась в нем самом, в его исключительно образном, художественном восприятии мира.

Характерно, что Борис Николаевич не жалел сил и времени на то, чтобы довести понимание уже законченного математического результата до уровня, на котором результат оформлялся бы в геометрический образ. «Что это означает попросту?» — любимый вопрос, который он задавал и себе и коллегам всякий раз, когда обсуждалась очередная работа.

Б. Н. Делоне читает лекцию. Изображение: «Квант»

Признание научных заслуг не заставило себя долго ждать: в 1929 году Б. Н. Делоне выбирают в члены-корреспонденты Академии наук. К этому моменту он уже 7 лет профессорствует в Ленинградском университете. Его предельно ясные и продуманные лекции вызывают большой интерес у студентов. Популярность его была столь велика, что на первых лекциях его специальных (факультативных) курсов собиралось несколько сотен студентов, желавших увидеть легендарного лектора.

Надо сказать, что Делоне никогда не упускал возможности рассказать студентам о трудной нерешенной проблеме. Борис Николаевич руководствовался известным принципом, принадлежащим, кажется, Плутарху: «Ученик — не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь». А зажечь может тот, кто сам горит. Высокий научный авторитет, преданное и вместе с тем эстетическое отношение к науке, личное обаяние — всё это притягивало к нему молодых людей. Неудивительно, что у него было много учеников, среди которых несколько выдающихся математиков: академики Александр Данилович Александров (1912–1999) и Игорь Ростиславович Шафаревич (1923 г.р.), член-корреспондент Академии наук Дмитрий Константинович Фаддеев (1907–1989).

Весной 1934 года в Ленинграде Борис Николаевич организовал первую школьную олимпиаду по математике, с которой начались математические олимпиады в нашей стране. Участники первой ленинградской олимпиады еще долго потом вспоминали, какое ошеломляющее впечатление произвели на них встречи с Б. Н. Делоне (см., например, «Квант» №9 за 1984 г., с. 52).

Московский период (1934–1980)

В 1934 году в Ленинграде был образован Математический институт им. В. А. Стеклова, в котором Борис Николаевич работал с момента основания. До 1960 года он заведовал отделом алгебры, а затем до конца жизни отделом геометрии. Вскоре после создания Математический институт (точнее большая его часть) переводится вместе с другими ведущими научными учреждениями Академии наук в Москву. С 1935 года Делоне работает профессором в Московском университете, в течение многих лет руководит кафедрой геометрии, теперь это — кафедра высшей геометрии и топологии на мехмате. В МГУ он создает весьма оригинальный курс аналитической геометрии, выделявшийся исключительным богатством геометрических идей. В этом нетрудно убедиться, открыв двухтомник по аналитической геометрии, написанный им в соавторстве с Д. Е. Райковым. Студенты, имевшие счастье слушать его лекции, вряд ли подозревали, что за их великолепием скрывалась тщательнейшая подготовка. На подготовку двухчасовой лекции у него уходило два полных дня, в дальнейшем — день. Он отшлифовывал каждую идею, каждый рисунок. И, как следствие, во время лекции на доске легко и быстро появлялись четкие додекаэдры и икосаэдры, элегантные параболоиды и гиперболоиды, симпатичные «аффинные коты», которых он ввел в свой курс аналитической геометрии для иллюстрации того, что происходит с фигурой при аффинном преобразовании.

Б. Н. Делоне и И. Р. Шафаревич (конец 1940-х годов). Изображение: «Квант»

У студентов мехмата МГУ одно время была в моде серия весьма остроумных анекдотов о своих профессорах на тему: «Кто (из профессоров) в чем варит суп?» По студенческой версии, не лишенной иронии, Борис Николаевич варил суп в n-мерной решетке⁹: суп, правда, вытекал, зато оставалась геометрическая наглядность.

Борис Николаевич был начисто лишен какого-либо резонерства, занудства. Приведу эпизод, о котором мне рассказал Н. Я. Виленкин, учившийся у Делоне. Однажды Борис Николаевич появился на лекции с каким-то злым выражением лица и начал строить неприятные гримасы и даже рычать. Студенты, привыкшие видеть Делоне всегда слегка хитро улыбающимся, были ошеломлены: что случилось с Борисом Николаевичем? Это продолжалось секунд десять-пятнадцать, а затем гримаса исчезла, все увидели знакомую улыбку и услышали объяснение случившемуся: «По дороге к вам встретил вашего куратора. Она мне очень жаловалась на вас, пропускаете занятия, многие не сдали коллоквиумы и т. д., и очень просила вас попугать...»

Относительно научной работы в московский период назову лишь некоторые основные направления, в которых Борис Николаевич упорно работал и получил важные результаты. Это — прежде всего геометрия положительных квадратичных форм и ее приложения к теории так называемых решетчатых покрытий и упаковок пространства. Были получены принципиально новые результаты в теории правильных и кристаллографических разбиений многомерного пространства, а также в геометрии чисел. Ряд результатов 1960–70 годов был получен совместно с коллегами и учениками.

Б. Н. Делоне был выдающимся популяризатором математики и вообще науки. Его популярные лекции, рассчитанные на широкую аудиторию, собирали сотни слушателей. У него были заранее заготовленные «экспромты» — приемы, при помощи которых он делал лекцию живой, увлекательной и незабываемой. Например, в 1940-е годы он несколько раз читал лекцию на тему «Теорема Н. Е. Жуковского о поддерживающей силе крыла самолета». Свою лекцию в знаменитой Большой аудитории Политехнического музея в Москве перед несколькими сотнями собравшихся Борис Николаевич начинал так.

А. Д. Александров. Изображение: «Квант»

Б. Н.: «Вы, наверное, знаете знаменитого математика академика Павла Сергеевича Александрова¹⁰?»

Отдельные голоса: «Да, конечно».

Б. Н.: «А знаете ли вы, что знаменитый математик академик Александров никогда не летает самолетом?»

Легкий гул, аудитория недоумевает.

Б. Н.: «А знает ли вы, почему академик Александров боится летать самолетами?»

Гул нарастает.

Б. Н. (с хитрой улыбкой) завершает: «Академик Александров никогда не летает самолетами, потому что не знает теоремы Жуковского. А я вот знаю и летаю много. Сегодня я познакомлю вас с этой теоремой, и вы никогда не будете бояться полетов».

К этому моменту аудитория «разогрета» и готова слушать рассказ о такой важной теореме.

Не только наука

Среди многочисленных нематематических увлечений Бориса Николаевича особое место занимал альпинизм. Это, бесспорно, самое сильное увлечение прошло через всю жизнь. Зародилось оно, как уже говорилось, в детские годы во время летних выездов семьи в Швейцарию. В альпинизме его особенно влекла красота далеко открывающихся панорам, геометрически выразительных силуэтов хребтов и пиков. И, конечно, азарт победить высоту во что бы то ни стало. Занимался альпинизмом он вполне профессионально. В Альпах он еще в 1910 году поднялся на вторую по высоте после Монблана, но технически несложную вершину Монте-Роза.

Затем был Кавказ с многочисленными сложными восхождениями, в том числе и первовосхождениями. Но особенно Борис Николаевич любил Алтай. В 1926 году бывал и на горе, теперь носящей его имя. Пик Делоне находится на плече, ведущем на высшую вершину Алтая — Белуху. Путешествуя по Алтаю вместе И. Е. Таммом¹¹, они открыли изумительное по красоте место: озеро Шавло, в чистейшей воде которого отражались две покрытые снегами великолепные вершины. Одну из них Делоне назвал Красавицей, другую Тамм назвал Сказкой. По мнению Делоне, красота этого места превосходит все знаменитые места в Альпах. В наше время маршрут к Красавице и Сказке — один из самых привлекательных на Алтае.

Вершина Белуха и пик Делоне. Изображение: «Квант»

В 30-е—40-е годы прошлого века Борис Николаевич активно занимался организацией массового альпинизма в нашей стране. Летом 1931 года он организовал на Кавказе первый в стране альпинистский лагерь для рабочих ленинградского путиловского завода и проводил в нем занятия по технике альпинизма, вместе с инструкторами анализировал восхождения. В 1934 году ему было присвоено звание мастера альпинизма. В это время альпинизм становился массовым видом спорта, и стало необходимым создать систему классификации спортивных достижений. Делоне разработал принципы классификации горных восхождений (пять ступеней) и в соответствии с ними расклассифицировал более 200 маршрутов на вершины Кавказа, Средней Азии и Алтая. В 1938 году написал первый путеводитель для альпинистов «Вершины Западного Кавказа» (часть Кавказского хребта, расположенная к западу от Эльбруса). В нем описаны несколько десятков основных вершин этого района и пути восхождений на них. Описание сопровождалось рисунком каждой вершины вместе с кроками восхождения на нее. В книге на вклейке была помещена панорама всего западно-кавказского хребта, которую сделал Борис Николаевич, перемещаясь с вершины на вершину на параллельном хребте.

Нижнее Шавлинское озеро и белоснежные вершины Сказка и Красавица. Изображение: «Квант»

С возрастом на смену альпинистским восхождениям пришли туристские походы. Не прогулки на 5–10 километров, а именно настоящие 30–40-километровые походы, иногда очень трудные, проходившие неизменно по самым красивым местам Подмосковья. Борис Николаевич был физически исключительно закаленным человеком. И всё равно было не по себе наблюдать в конце зимы быстро идущего с рюкзаком обнаженного по пояс пожилого человека. Падающий снег таял и, стекая по седой голове, застывал в виде крупных сосулек.

Борис Николаевич очень любил природу и восторгался ее красотой всегда молча, словно стараясь впитать в себя всё и вся. Его восхищение невольно передавалось спутникам. Общение с природой походило на таинство, и ему было неприятно, хотя он и не подавал виду, когда это таинство нечаянно нарушалось чьими-то разговорами. Зато у костра или в электричке его спутники становились слушателями многочисленных историй, одна другой интересней. Рассказчиком Б. Н. Делоне был замечательным... «Вы, конечно, не знаете, что моя сестра святая (пауза, лукавый взгляд рассказчика, недоумение слушателей). Да-да, совершенно серьезно, святая...»

... Дальше начинался интереснейший рассказ о двоюродной сестре и подруге детства Елизавете Пиленко (в замужестве Кузьмина-Караваева), поэтессе (ее стихи высоко ценил Александр Блок). После революции 1917 года она эмигрировала во Францию, стала монахиней (мать Мария — таково было монашеское имя, так же назывался у нас художественный фильм, посвященный ей). Во время оккупации Франции фашистами мать Мария вступила в ряды Сопротивления, была арестована и погибла в немецком концлагере. После войны была официально канонизирована католической церковью.

«Вечер жизни»

В приветственном адресе по случаю 80-летия Германская академия естествоиспытателей «Леопольдина» пожелала члену этой академии Б. Н. Делоне «спокойного вечера жизни». «Вечер жизни» продолжался десять лет. В эти годы он вместе со своими учениками получил важные результаты по теории оптимальных покрытий пространства шарами, по локальной теории так называемых правильных структур, являющихся своего рода математическими моделями кристаллов.

Борис Николаевич был главой и опорой большой семьи. Он очень любил своих внуков, которые обожали своего деда. Борис Николаевич заботился о них, но особенно он беспокоился за судьбу старшего внука — Вадика. Вадим Делоне, талантливый поэт, красавец, обладал нежным сердцем и отзывчивой душой. В 18 лет стал диссидентом, правозащитником. В 19 лет был осужден за организацию политической демонстрации в Москве. Через год после освобождения, 25-го августа 1968 года, вышел в составе знаменитой «семерки» на Красную площадь в знак протеста против введения советских войск в Чехословакию. За лозунг «За вашу и нашу свободу», который он держал в течение нескольких секунд, Вадим получил 3 года «несвободы». Борис Николаевич делал все, чтобы облегчить судьбу внука. Собирал подписи известных людей в защиту Вадима, с этими письмами посещал «высочайшие» кабинеты на Лубянке. Уже после суда ездил к нему, как только получал разрешение, на свидание в лагерь на севере Тюменской области.

Другим объектом особой заботы была жена, которая долго болела и нуждалась в уходе. После отъезда Вадима за границу и смерти жены он, уже 86-летний, «бросился во все тяжкие»: работа, лекции, поездки, два похода в неделю по 20–40 км каждый. В один из наиболее активных дней его постиг удар: инсульт, почти полная потеря речи, памяти, ограниченная подвижность. Принимая во внимание возраст, врачи были предельно скупы в оценке перспектив. Однако Борис Николаевич начинает бороться за полноценную жизнь и одерживает последнюю, но, может быть, самую важную победу в жизни (не без помощи своих близких, учеников и коллег). У него восстанавливаются утерянные функции, и он возвращается к настоящей жизни. Разумеется, длинные походы сменились прогулками «всего» на какие-то 10–15 километров, и не по глухим лесам, а по местам с «индустриальным пейзажем», и не дважды, а только раз в неделю. Конечно, работоспособность не была столь высокой, но это была полноценная яркая жизнь.

Однако «вечер жизни» подошел к своей естественной границе. Никогда не забуду, как однажды серым мартовским днем (это было месяца за четыре до конца) Борис Николаевич достал из книжного шкафа книгу и прочитал одно замечательное место у Пуанкаре.

Дыхание от волнения прерывалось, голос дрожал: «... жизнь есть лишь беглый эпизод между двумя вечностями смерти и... в этом эпизоде прошедшая и будущая длительность сознательной мысли — не более чем мгновение. Мысль — только вспышка света посреди долгой ночи. Но эта вспышка — всё».

¹ То, что Б. Н. Делоне якобы был праправнуком коменданта Бастилии маркиза Делоне (Delaunay) — первой жертвы французской революции 1789 года, впоследствии не подтвердилось: согласно исследованиям, проведенным А. С. Шаровым, известным астрономом и зятем Б. Н. Делоне, предки Бориса Николаевича происходили из другого рода Делоне.

² В то время Польша была частью Российской Империи.

³ Подробнее см., например, «Квант» № 1 за 1986 год, с. 11.

⁴ «Академик Андрей Андреевич Марков (1856–1922) — выдающийся русский математик, внес крупный вклад в теорию чисел и особенно в теорию вероятностей («марковские цепи и процессы»).

⁵ Эта аналогия, как и любая аналогия вообще, далека от совершенства.

⁶ Внимательный читатель мог заметить, что уже на первом шаге расширяющийся круг мог наткнуться не на один, а на два, а то и большее количество узлов. Заметим, что в этом случае мы могли бы перейти с 1-го шага сразу к 3-му, а то и вообще могли бы получить окончательный круг K.

⁷ В то время эти разбиения назывались разбиениями Дирихле в честь немецкого математика Дирихле (1806–1859). Йохан Петер Густав Лёжен Дирихле (таково его было полное имя) использовал эти разбиения на плоскости и в пространстве в своих исследованиях по теории квадратичных форм. Позже, когда глубокие работы Георгия Феодосьевича Вороного (1868–1908) по теории таких разбиений нашли признание на Западе, их стали называть в честь Вороного.

⁸ Владимир Андреевич Стеклов (1864–1926) — знаменитый российский математик, академик. В 1920-е годы организовал Физико-математический институт Академии наук и был первым его директором. Позднее, в 1934 году, этот институт разделился на два академических института: Математический институт им. В. А. Стеклова и Физический институт им. П. Н. Лебедева.

⁹ Решетка здесь означает множество точек с целыми координатами.

¹⁰ П. С. Александров (1896–1982) — выдающийся математик, один из создателей отечественной топологической школы, академик, профессор мех-мата МГУ.

¹¹ Игорь Евгеньевич Тамм (1895–1971) — выдающийся физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии (1958).