Проблема Гольдбаха

Любое четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать. Так, Великая теорема Ферма была окончательно доказана лишь в конце XX века — через несколько сот лет после того, как была сформулирована. Существует еще одно утверждение, чем-то похожее на теорему Ферма, которое математики не смогли доказать до сих пор. Его называют проблемой Гольдбаха, и формулировка этого утверждения предельно проста. В нем всего лишь говорится, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. (Поясним: простое число — это число, которое делится только на 1 и на себя само. Так, 2, 3, 5, 7 — простые числа, а 4 (2 х 2), 6 (3 х 2), 9 (3 х 3) — нет.) Впервые это утверждение выдвинул Христиан Гольдбах в 1742 году. Из него следует, что 10 (возьмем пример попроще), как четное число, можно записать в виде суммы 7 + 3, где 7 и 3 — простые числа. Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9, можно представить в виде суммы трех простых чисел (например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3).

С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипотезу, математики не сомневались, что она, как и Великая теорема Ферма, верна. Тем не менее, в отличие от теоремы Ферма, никто никогда не претендовал на то, что сумел ее доказать. К решению этой проблемы существует подход «в лоб» — надолго запустить компьютерную программу, которая бы последовательно проверяла это утверждение на всё больших и больших четных числах. Таким способом можно было бы опровергнуть теорему, будь она неверна. Но так нельзя доказать теорему — по той простой причине, что никогда нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила. В действительности мы знаем, что проблема Гольдбаха верна по крайней мере для всех четных чисел, не превышающих 100 000.

В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что существует такое конечное n, что любое четное число может быть представлено в виде суммы не более чем n простых слагаемых, а также что гипотеза Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено.

Почему математики тратят столько времени на решение таких задач, как Великая теорема Ферма или проблема Гольдбаха? Ведь в этом нет практического смысла, из их решения нельзя извлечь никакой выгоды. На мой взгляд, это очень древний и очень свойственный человеческой природе вид деятельности — поиск самоочевидной, бесспорной истины. Философы тысячелетиями ищут истину. Математики надеются обнаружить такие истины, работая с системами, построенными на чистой логике. И то, что эти доказательства столь трудно достижимы, наверное, объясняется скорее самой природой логики, невозможностью найти истину в этом ненадежном, изменчивом мире, а не свойством математики как таковой.

Христиан ГОЛЬДБАХ
Christian Goldbach, 1690–1764

Немецкий математик. Родился в Кёнигсберге в Пруссии (ныне Калининград, Россия). В 1725 году стал профессором математики в Санкт-Петербурге, тремя годами позже приехал в Москву в качестве домашнего учителя для будущего царя Петра II. Во время путешествий по Европе Гольдбах познакомился со многими ведущими математиками своего времени, включая Готфрида Лейбница, Абрахама де Муавра и семью Бернулли. Многие его работы выросли из переписки с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (Leonhard Euler, 1707–83). Утверждение, которую мы теперь называем проблемой Гольдбаха, впервые было выдвинуто в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру.


27
Показать комментарии (27)
Свернуть комментарии (27)

  • igrek  | 01.04.2006 | 01:48 Ответить
    По состоянию на конец 2005 года, гипотеза Гольбаха подтверждена для чисел до 3*10^17. Для 100000 она была подтверждена еще в 1938 году.
    Ответить
    • piven > igrek | 28.06.2014 | 23:13 Ответить
      Что отражают числа, длину, площадь или объём?
      28.6.2014г. Пивень Григорий.
      Ответить
  • def  | 22.05.2006 | 20:28 Ответить
    "В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что количество простых чисел, которые при сложении образуют четное число, конечно..".
    но любые 2 простых числа (кроме двойки) при сложении образуют четное число (т.к. сами нечетны). таким образом т.к. множество простых чисел бесконечно, то множество их сумм также бесконечно.. %))
    Ответить
    • SergO > def | 08.06.2006 | 16:17 Ответить
      Да, конечно простые числа нечетные и их много, но "плотность" их падает, если не ошибаюсь, как 1/n^2, т.е. на первую сотню приходится около 30 простых чисел, на 2-ю (101-199) - уже в 2 разаменьше и т.д.
      А проблема Гольдбаха, как мне видится, в том, что именно 2 (или 3) простых числа образуют Любое четное число... Это не так очевидно...
      Конечно 10^17 это впечатляет, но есть ведь и 10^40 и 10^1 000 000 000 степени...
      Если "плотность" простых чисел падает так стремительно, то не факт что для числа 2*N, где N>10^1млрд. найдутся такие простые числа S1, S2, что 2*N = S1 + S2.
      Откуда эта фраза "3 простых числа"? может быть именно из-за неуверенности...
      Вот в том, что любое четное можно представить как РЯД простых чисел - я не сомневаюсь, и доказать это просто. А вот то, что достаточно только 2 чисел, так это уже похоже на теорему Ферма...
      Ответить
    • Антон Ч > def | 22.07.2006 | 18:07 Ответить
      Это не доказательство :)
      Ответить
  • vsmi  | 05.07.2006 | 19:33 Ответить
    V etom kontexte interesno upomjanut teoremu Shnirelmana: kazhdoe celoe chislo predstavimo v vide summi C prostih chisel, gde C - constanta iz N. Esli ja ne oshibajus sejchas dokazano chto C <= 20
    Ответить
  • ruslav  | 10.08.2006 | 04:01 Ответить
    5 лет назад я попросил Диму Маркина (тогда - семиклассника, осваивавшего Бейсик) составить программу для этой задачи : "каким числом способов чётное число разлагается на сумму двух простых".
    Разглядывая выкатившийся график, мы, сами того не зная, воспроизвели формулу Харди (с некоторыми уточнениями, особенно существенными для чисел менее миллиона)- и остановились там же, где стоит математика вот уже 80 лет. Формулу мы почти доказали - так же, как и Харди.
    Всё упирается в гипотезу Риманна о нетривиальных корнях дзета-функции, в проблему Гильберта, завещанную им веку 20-му, которая оказалась ему не по зубам : ни веку, ни Гильберту.
    Ответить
  • merojev_ikrom  | 17.01.2007 | 06:45 Ответить
    решена проблема гольдбаха, кому обрашаться надо, для того, чтобы получить гонорар миллион долларов, если это серъёзно?
    Ответить
    • OlegCh > merojev_ikrom | 29.09.2008 | 09:47 Ответить
      Хорошая, видать, трава... вставляет. :)
      Ответить
  • rwsh  | 06.10.2007 | 23:01 Ответить
    Существует отличный художетсвенный роман:
    Апостолос Доксиадис "Дядя Петрос и проблема Гольдбаха".
    Приятно, что автор явно имеет математическое образование и в тексте нет глупостей, а наоборот встречаются такие герои как Харди, Тьюринг, Гедель и др.
    Ответить
  • fuxx  | 28.11.2007 | 11:04 Ответить
    Последний абзац поразителен! Глупо говорить о том, что какая-то область науки бесполезна. История уже много раз опровергала подобные заявления. Простые числа, в частности, имеют приложение в криптографии.

    Про проблемы Гильберта, и в частности Проблему Гольдбаха в журнале "Квант": http://kvant.mccme.ru/1977/11/problemy_gilberta_i_sovetskaya.htm (стр. 34). Там, кстати, написано, что для нечетных чисел проблема была решена в 1937 году.
    Ответить
  • Bukaz  | 01.12.2007 | 08:36 Ответить
    При сложении двух нечетных чисел обязательно будет число четное. Все простые числа кроме двойки - нечетные. Попробуем любое четное число а представить в виде суммы любого простого числа и простого однозначного числа (3, 5, 7). Для того чтобы понять, что слагаемое может быть одним из простых однозначных чисел, приведем таблицу:

    Простые Четные Нечетные
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16...

    Если продолжать эту таблицу и дальше, то мы увидим, что четное число НИКОГДА не удаляется от простого дальше, чем на семь строк таблицы (вспомните простое число 7).
    Значит, что для того что бы в сумме получить нужное число, надо выбрать ближнее к нему простое и подобрать 3, 5, 7. Сумма будет равна нужному четному числу. Если нужно число меньше трех, то 2 слагаемое берем поменьше.
    Ответить
  • Bukaz  | 01.12.2007 | 08:37 Ответить
    Табуляция не сработала, но я думаю вы поймете, что это за таблица...
    Ответить
    • liuid > Bukaz | 31.12.2007 | 00:21 Ответить
      Это очень глубокое рассуждение.
      Ответить
  • rfedorov  | 04.12.2007 | 20:16 Ответить
    Все-таки утверждение:

    "В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что количество простых чисел, которые при сложении образуют четное число, конечно..".

    нужно уточнить. Я, сказать честно, не вижу в нем никакого смысла. Точнее, все мои попытки придать ему смысл приводят либо к неверному, либо к очевидному утверждению.
    Ответить
    • liuid > rfedorov | 31.12.2007 | 00:19 Ответить
      Вероятно, имеется в виду, что существует N, такое что любое чётное число можно разложить в сумму не более чем N простых чисел.
      Ответить
      • djanubis > liuid | 28.09.2009 | 13:39 Ответить
        Абсолютное бесполезное и абсолютно в духе времён коммунизма утверждение.
        Ответить
  • qwark  | 28.02.2010 | 20:54 Ответить
    Поразительно, но решение, возможно, простое. При том, что из этого предположительного решения выходит необходимость замены в ряду простых чисел - числа 2 на число 1, т.е. проблема Г. формулируется в виде закона, без исключений - любое чётное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Вкратце это представить затруднительно - потребуется 3-4 страницы текста и выкладок. Попробую хотя бы начало догадки дать: представим искомое число в виде 2а=а+а и для числа 2а и для а находим кол-во простых и составных нечётных чисел, понятно , что здесь невозможно изъять единицу и использовать простым двойку. Для этого берутся значения от 3 до корня квадратного из 2а и, соответственно, от 3 до корня кв. из а. Алгоритм, похоже, формулируется. Меня сын гонит от компьютера, короче - при изменении от а до 2а и, соответственно, на те же шаги от а до 0, в каждой паре значений, сумма которых равна искомому числу 2а будут встречаться 2 составных числа или простое+составное или оба простых - если оба составных, то кол-во составных у левого и правого чисел уменьшается на не менее, чем 3, если простое и составное, опять же кол-во составных умень-ся не менее, чем на 3, а простых только на 1. Таким образом при увеличении одного плеча и умень-и другого, кол-во сост. чисел будет умень-ся со скор. большей в разы нежели простых. Так что у обоих плеч составные числа исчерпаются прежде, чем простые. Всё, извините за сумбурное изложение, надеюсь кто-нибудь сам допрёт лучше меня. Через неделю-другую м.б. изложу подробно свои соображения.
    Ответить
    • qwark > qwark | 01.03.2010 | 21:22 Ответить
      Прошу извинить за сумбурное изложение и, как следствие, за ошибку. Но смысл предположения не меняется - ошибка не принципиальная, имеется ввиду "кол-во составных чисел уменьшается на не менее 3".
      Ответить
  • Ура  | 04.06.2011 | 14:09 Ответить
    Нет, всё-таки лучше не быть ни мне, ни другим людям "ферматистами", потому как никакого результата у любителя, не знакомого с теорией чисел, анализом, прочими разделами математики, всё равно не выйдет. Думается, вот (я сам был таким), открытие уже на носу сидит, куда все математики двести лет глядели, я вот нашёл решение!.. а тем временем серьёзный, профессиональный математик, читая это "новейшее решение", улыбнётся про себя, или наоборот, подумает, что жаль, что люди теряют на это время, не имея достаточной подготовки к исследованию таких математических проблем и задач. Так что если есть желание изучать математику, то нужно знать всю её теорию. Это так :-)
    Ответить
  • aVague  | 23.04.2013 | 09:33 Ответить
    доказал, см здесь :http://vk.com/id98137076
    Ответить
    • Max Brown > aVague | 07.05.2013 | 16:29 Ответить
      Интересно, когда уже на Элементах введут премодерацию говноссылок или хотя бы удаление спама через заминусовывание?
      Ответить
      • aVague > Max Brown | 07.05.2013 | 16:31 Ответить
        вообще-то это не спам. там кое-что есть...
        Ответить
  • Yogurt  | 22.05.2013 | 17:58 Ответить
    Рассмотрим частный случай, когда оба простых числа = p = 2. Тогда их сумма = 4 и также равна произведению: p x 2 = 4. Отсюда: Пусть сумма неизвестна и равна S. S/2=p є ZП є Z
    По определению четности S – четное число (делится без остатка на 2).

    Теперь докажем для S>4 (т.е. S ≥ 6 )

    Пусть есть 2 любых простых числа p1 и p2 є ZП

    По условию теоремы p1 + p2 = S є ZЧ

    Если S чётно, то оно представимо в виде S = 2k, а если нечётно, то в виде S = 2k+1, где k є Z

    По законам арифметики:
    Чётное ± Чётное = Чётное
    Чётное ± Нечётное = Нечётное
    Нечётное ± Нечётное = Чётное
    В ряду простых чисел есть лишь одно четное число – 2. Его мы рассмотрели в частном случае решения выше. В остальных случаях решения теоремы p1 и p2 є ZП, p1 ≠ 2 и p2 ≠ 2, т.к. S по условию є ZЧ.

    Для начала докажем, что в принятых условиях S = p1 + p2 всегда будет є ZЧ

    p1 + p2 = S є {2k, 2k+1} , где k є Z, p1 и p2 є ZП є Z, p1 ≠ 2 и p2 ≠ 2, k≥2

    Предположим, что S – нечетное и S = 2k+1

    p1 + p2 = 2k+1
    p1 + p2 – 1 = 2k

    (p2 – 1) є ZЧ т.к. при условии, что p2≠ 2, p2 є ZНП

    Пусть (p2 – 1) = a, тогда выражение можно переписать так:

    p1 + a = 2k, где p1 є ZНП, a є ZЧ, k є Z, , k≥2

    2k по определению четное число, а следовательно, опираясь на законы арифметики, равенство не может быть истинным

    S ≠ 2k+1 ∀ k є Z и k≥2

    В случае если S = 2k, то по определению S – четное число для любых k є Z, т.е. S принимает все значения из ZЧ >4.

    Пусть есть сумма простых чисел p1 + p2 = S1 и сумма p3 + p4 = S2.

    Доказать, что всегда есть такие p1 , p2 , p3 , p4 (где хотя бы одно число отличается по значению от 3-х остальных, и S2 > S1), при которых S2 – S1 =2

    Поскольку выше доказано, что p1 + p2 є 2k, то составим систему:

    p1 + p2 = 2k1
    p3 + p4 = 2k2
    (p3 + p4) – (p1 + p2)=2

    (p3 + p4) = 2 + (p1 + p2)

    p1 + p2 = 2k1
    2 + (p1 + p2) =2k2

    2+2k1 = 2k2

    k1 = (2k2 – 2)/2 = k2-1

    Т.к. k принадлежит множеству целых чисел, то всегда есть некоторые k1 и k2, при которых

    k2-k1 = 1
    Ответить
  • Fandorin  | 25.05.2013 | 16:33 Ответить
    По моему мнению, проблему Гольдбаха (ПГ) человечество не решило до сих пор потому, по меньшей мере, что в ней мы имеем дело с особым уровнем неопределённости информации, работать с которым пока не умеем. Грубо говоря, ПГ - это проблема восстановления потерянной информации. Потребуется разработать инструменты для работы с соответствующими множествами, прежде чем приблизиться к решению проблемы.
    Ответить
    • AndAll > Fandorin | 27.04.2015 | 11:40 Ответить
      На самом деле, человечество никогда не узнает решения проблемы Гольдбаха. Всякий, уважающий СЕБЯ, математик (а других и быть не может) считает, что если бы решение этой проблемы существовало, то он сам его давно бы нашел. Но так как он его не нашел, то решения не существует. Поэтому, читать предложенное кем-то другим решение для него смысла не имеет. Надо просто написать, что "в вашем решении ДОЛЖНА БЫТЬ ошибка, но из-за нехватки времени (лени, просто нежелания читать, не верю, что человек мне незнакомый может решить, и т. д.), я не буду ее указывать". Так что, если решение в природе и существует, то человечество никогда о нем не узнает. Уловка-22 - если ты заявляешь, что решил эту проблему, то ты "ферматист" и с тобой разговаривать не о чем. А рецензенты в мат. журналах тоже сплошь математики и у них разговор короткий (правда, иногда растягивается до трех лет) - "статью не читал (только может быть abstract), рецензию писать не буду, предлагаю отклонить".
      Таким образом, ПГ - это не проблема восстановления потерянной информации, а проблема восстановления потерянного профессионализма и проблема высокомерия математиков. Под профессионализмом здесь я подразумеваю обязанность, ПОЧЕТНУЮ ОБЯЗАННОСТЬ, писать рецензии, коль скоро редактор издания, с котором ты сотрудничаешь, ДОВЕРЯЕТ и ПОРУЧАЕТ
      тебе это сделать.
      Ответить
  • deg.viach  | 10.09.2013 | 17:07 Ответить
    Человек - единица, много-миллиардной природы. Говорить.., а вы знаете
    хоть как буквы слагать, и из уст излагать. Вот-то. Не приписывайте всё в математике иль ещё каких (физика , химия и ...).Если вы будете только
    исчислять, а чем вы плоть кормить будете. История познаётся, чтоб не
    совершать ошибок предыдущих человечеств, но увы "Сколько не корми, он
    всё равно в лес ..." Так лучше оберегайте кормилицу, а вы её губите.
    Атмосфера - плева, а вы изранили её. Родились на ЗЕМЛЕ, на родной Земле
    цивилизаций миллионы миллионов, а вы всё губите исследуя, испытывая и т.д. и т.п.
    Ответить
Написать комментарий

1742
Проблема Гольдбаха
Элементы

© 2005-2017 «Элементы»