Детерминистический хаос

В природе существуют системы, в которых исход конкретной ситуации существенно зависит от измерения воздействия на входе и будущее поведение которых непредсказуемо для всех практических применений.

Принцип детерминизма — один из наиболее важных в современной науке. Он гласит: если мы знаем текущее состояние какой-либо системы в природе, мы можем применить наше знание законов природы для предсказания будущего поведения этой системы. Классическая ньютоновская «механическая» вселенная — в которой положение планет походило на движение стрелок многострелочных часов, а наше знание законов природы сводилось к пониманию устройства часового механизма — это наглядное представлением данной концепции.

В XX веке ученые пришли к пониманию того, что в природе имеются системы, полностью детерминистические в ньютоновском смысле, тем не менее их будущее с точки зрения практического применения не поддается расчетам. Появление быстродействующих электронных вычислительных машин в 1980-е годы привело к тому, что это явление, известное как детерминистический хаос, или теория хаоса, стало областью активных научных исследований. Лучшая аналогия детерминистического хаоса — так называемая «белая вода» горных потоков. Если вы бросите в эту воду горной реки два листика, один за другим, то ниже по течению они, вероятнее всего, окажутся далеко друг от друга. В системе, подобной этой, небольшое различие в начальных условиях (положение листиков) может привести к большому расхождению на выходе.

Большинство систем в природе не такие. Например, если вы уроните шар с высоты 5 метров и измерите его скорость при ударе о землю, а затем уроните этот же шар с высоты 5,0001 метра, то значения его скорости при ударе будут не очень отличаться. В системах, подобных этой, небольшие изменения начальных условий приводят к небольшим изменениям на выходе. Большинство известных нам систем в природе именно такого типа.

Но даже для таких простых систем, как классические ньютоновские бильярдные шары, иногда сложно делать предсказания об их состоянии в будущем. К примеру, стандартная задача для студентов-дипломников по физике — показать, что даже случай с бильярдным шаром, отскакивающим от бортов на совершенно ровном столе, в итоге растворяется в неопределенности вследствие неточностей в измерении угла, под которым шар приближается к борту в самом начале.

Однако система горного потока иная, и открытие детерминистического хаоса — хорошая иллюстрация того, каким образом работают подобные системы. По современным стандартам, первые электронные вычислительные машины были очень медленными и имели очень маленькую память. В 1960-е годы Эдвард Лоренц (Edward Lorenz, р. 1917) и его коллеги в Массачусетском технологическом институте испытывали компьютерные модели климата Земли. Их компьютеры часто приходили к некоторому промежуточному состоянию в вычислениях, выводили эти промежуточные результаты на бумажную ленту в течение всей ночи и заканчивали вычисления на следующий день. Они стали замечать, что вычисления, выполнявшиеся непрерывно от начала до конца, приводили к результатам, которые значительно отличались от результатов прерывавшихся вычислений. Они обнаружили, что это расхождение происходит из-за того, что компьютер округлял числа в промежуточных результатах. Например, для записи на ленту он выдал бы число 0,506, а если бы продолжал работать, то 0,506127. Это различие было достаточным для того, чтобы привести в итоге к совершенно различным прогнозам будущих состояний климата. Теперь мы знаем о существовании систем, которые гораздо чувствительнее к начальным условиям и в которых различие в восьмом знаке после запятой оказывает значительное влияние на конечный результат. (В технических терминах хаотическая система определяется как система, в которой выход экспоненциально зависит от изменений на входе.)

Дело в том, что когда мы говорим об «определении» начального состояния, мы фактически говорим об измерении. Каждое измерение в реальном мире содержит ошибку — некоторую неточность в фактической величине. Например, если вы измеряете длину стола линейкой, на которой наименьшее деление — миллиметр, то в вашем определении неизбежно будет присутствовать ошибка в долю миллиметра. Аналогично, если в приведенном выше примере вы хотите определить положение листика в горном потоке, вы можете измерить расстояние между листиком и точкой на берегу. Всегда будет присутствовать небольшая погрешность в этом измерении, зависящая от точности используемого измерительного устройства. Если система хаотическая, вы можете много раз класть тот же самый листик, как вам кажется, на то же самое место и получать при этом различные результаты, поскольку вы никогда не сможете точно положить его на одно и то же место дважды.

Таким образом, для хаотических систем теоретически возможно предсказать будущий исход, но только в тех случаях, когда начальное состояние можно определить с абсолютной точностью. Поскольку такой точности достичь невозможно, эти системы для всех практических применений непредсказуемы. При этом важно понимать, что существование детерминистического хаоса не нарушает принципа детерминизма. Оно просто говорит, что при определенных обстоятельствах вы не сможете осуществить те виды измерений, которые вам нужны для определения текущего состояния системы с достаточной точностью в целях предсказания ее будущих состояний.

Иными словами, в хаотических системах имеется некоторое расхождение между детерминизмом (нашим пониманием законов, управляющих системой) и предсказанием (нашей способностью утверждать, что система будет делать). Это не значит, что такого расхождения не существовало в ньютоновской физике — мы видели, что оно есть. Это значит только, что до недавнего времени люди не уделяли ему должного внимания: вероятно, они понимали, что решение проблемы предсказания — это вопрос времени. Теория хаоса научила нас, что расхождение не только реально — оно существует постоянно. Теперь мы понимаем, что система может быть детерминистической и предсказуемой теоретически, в то же время оставаясь непредсказуемой на практике.

Не так давно некоторые ученые попытались применить теорию хаоса в других областях, включая такие, как расчеты орбит планет Солнечной системы на очень долгие промежутки времени и фондовая биржа. Некоторое время назад группа физиков покинула свои лаборатории, чтобы воспользоваться теорией хаоса для продажи советов относительно ценных бумаг, однако я еще не видел ни одного из них на «Мерседесе». По всей видимости, много работы еще предстоит сделать, чтобы воплотить теорию в практику.


10
Показать комментарии (10)
Свернуть комментарии (10)

  • alnomy  | 10.03.2006 | 19:03 Ответить
    Хочется еще отметить, что в микромире, например (если стремиться к все более и более точным измерениям) уже начинает пропадать само понятие, как измерение - об абсолютной точности там говорить уже не приходится..
    Ответить
  • fly36  | 09.06.2006 | 18:41 Ответить
    Только в статье почему-то совсем не пишется про главное достижение математики в теории хаоса. А именно то, что в определенных условиях, хаотические системы могут переходить в стабильные состояния. Так же и обратно - стабильные системы могут переходить в сотояние хаоса, при некоторых изменениях их характеристик.
    Ответить
  • evgeniy yakubovskiy  | 20.02.2007 | 19:39 Ответить
    Хаос при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений связан с тем, что их решение имеет существенно особую точку. Т.е. при разложение решения в ряд Лорана имеется бесконечное количество отрицательных степеней членов ряда. При этом при приближении к особенности функции, получаются произвольные значения решения. Вот откуда в детерминированных дифференциальных уравнениях возникает хаос. Оказывается можно определить средние характеристики этого хаотического решения, но как я этого не скажу, это предмет моей статьи в журнал "Дифференциальные уравнения".
    Ответить
  • AleX  | 17.01.2008 | 12:40 Ответить
    "Если система хаотическая, вы можете много раз класть тот же самый листик, как вам кажется, на то же самое место и получать при этом различные результаты, поскольку вы никогда не сможете точно положить его на одно и то же место дважды." :) Если система хаотическая вы можете сколько угодно ложить листик на абсолютно то же самое место и при этом получите различные результаты!
    Ответить
  • Валерий Виленский  | 16.09.2008 | 01:57 Ответить
    О каком "хаосе" можно вести речь, когда в его понятие вводится логический детерминант? Это абсолутная чушь. Хаос никак не может быть констатирован... и если кто-то говорит что его контатировал как-то, то это отнюдь не хаос. Подробнее об этом, а также о нелинейном ряде натуральных целых чисел - качественных чисел читай здесь:Философия
    http://forum.rosbalt.ru/index.php?showtopic=5509933&st=0
    Ответить
  • evgeniy yakubovski  | 20.09.2008 | 14:39 Ответить
    Предлагается следующий механизм перехода к хаотическому решению. Допустим имеем устойчивое положение равновесия. Его можно достигнуть не одной кривой, а многими кривыми, исходящими из определенной области. Назовем эту область областью случайного решения. Теперь будем вести счет в обратном направлении. Если решение попадает в область случайного решения, то дальше оно из нее не выйдет, а будет колебаться в этой области (т.к. из области случайного решения получено положение равновесия). При решении вперед, неустойчивые положения равновесия (т.е. действительная часть собственных чисел положительна) тоже зарождают область случайного решения. Если положение равновесия по одному направлению устойчиво, а по другому
    нет, то решение будет исходить из неустойчивой части решения. Недаром у аттрактора Лоренца решение в виде блинов, соответствующих неустойчивой части решения. Причем у аттрактора Лоренца имеется два положения равновесия, и они обмениваются между собой, при попадании решения в общие области случайных решений.
    Ответить
  • start  | 16.08.2009 | 17:57 Ответить
    "Большинство систем в мире не такие..." Паазвольте... Хакену с Пригожиным надоть двойки поставить было, а не нобелевки вручать?

    Вот потому те физики не на "мерседесах", что считают именно так, а те кто считает по другому книжки пишут - "Торговый хаос" например ( правда не совсем ясно чем там можно заработать, но выпуском книжки - точно можно заработать на "мерседес":) )

    P.S. Сори - тем кто считает что хаоса не существует - прыгните в "белую воду", проверьте, раз двадцать...
    Ответить
    • a_b > start | 23.12.2009 | 20:35 Ответить
      Большинство электроустановок в мире не используют сверхпроводимости.
      Ответить
    • piven > start | 25.12.2013 | 15:28 Ответить
      Хаос – колебательное движение. Пивень Григорий.
      «Детерминистический хаос. В природе существуют системы, в которых исход конкретной ситуации существенно зависит от измерения воздействия на входе и будущее поведение которых непредсказуемо для всех практических применений».
      «20.09.2008 evgeniy yakubovski
      Предлагается следующий механизм перехода к хаотическому решению. Допустим, имеем устойчивое положение равновесия. Его можно достигнуть не одной кривой, а многими кривыми, исходящими из определенной области. Назовем эту область областью случайного решения. Теперь будем вести счет в обратном направлении. Если решение попадает в область случайного решения, то дальше оно из нее не выйдет, а будет колебаться в этой области (т.к. из области случайного решения получено положение равновесия). При решении вперед, неустойчивые положения равновесия (т.е. действительная часть собственных чисел положительна) тоже зарождают область случайного решения. Если положение равновесия по одному направлению устойчиво, а по - другому
      нет, то решение будет исходить из неустойчивой части решения».
      Всякое движение есть действие на препятствия своим сдвигам. Эти препятствия выступают как суммарная сила противодействия. Эти встречные силы отклоняют первоначальное движение, вектор которого становится продольным, а отклонения от него – поперечными сдвигами. Импульс в поле этих сил описывает синусоиды, которые принимают форму витков вокруг продольного вектора, что совершается колебательно, шагами. Продольный вектор инерции определяет линию равновесия между поперечными отклонениями. Фокусная точка, куда сходятся волны, преломляемые вращающимся полем вокруг продольного вектора – отрезка с полярностью север – юг, движется, как и Солнце, вдоль продольной, которая, искривляясь, принимает вид спирали.
      25.12.2013г. Пивень Григорий.
      Ответить
  • Лев Калмыков  | 08.06.2015 | 16:37 Ответить
    Математические модели сложных систем можно разделить на три типа: черные, серые и белые ящики [1,2].

    Если локальные события скрыты внутри черного ящика, то невозможно сказать, что именно происходит в такой модели на микро-уровне. Складывается впечатление, что отсутствие механистического понимания функционирования сложной системы просто "списывается" на детерминистический хаос.

    Логические детерминированные клеточные автоматы позволяют перейти к созданию моделей сложных систем типа "белый ящик", которые дают полное механистическое понимание.

    [1] Kalmykov, L. V. & Kalmykov, V. L. A white-box model of S-shaped and double S-shaped single-species population growth. PeerJ 3, e948, doi:10.7717/peerj.948 (2015).

    [2] Kalmykov, L. & Kalmykov, V. A Solution to the Biodiversity Paradox by Logical Deterministic Cellular Automata. Acta Biotheoretica 63, 203-221, doi:10.1007/s10441-015-9257-9 (2015).
    Ответить
Написать комментарий

1980-е
Детерминистический хаос
В пенящейся бурной воде царит детерминистический хаос

В пенящейся бурной воде царит детерминистический хаос

Элементы

© 2005-2017 «Элементы»