Распределенное движение

Движение физического тела в одном измерении не зависит от его движения в двух других измерениях.

Задумываясь, какое именно событие все-таки знаменовало зарождение современной науки, я нередко останавливаю свой выбор на одном малоизвестном событии, имевшем место в 1537 году. Миланский герцог тогда закупил новейшие пушки — последнее слово военной техники того времени — и озадачился рядом вопросов по поводу того, как лучше всего использовать эти новые игрушки. На помощь он, естественно, призвал своего придворного главного инженера — математика по имени Никколо Тарталья (Niccolò Tartaglia, ок. 1500–57) и задал ему простой, казалось бы, вопрос: под каким углом к горизонту стрелять, чтобы ядра улетали как можно дальше?

И тут произошло то, что знаменовало собой типичную победу охватывавшего Европу нового духа естествоиспытаний. Тарталья не отправился в библиотеку ознакомляться с советами античных философов и не стал запираться в своем кабинете с намерением тщательно обдумать поставленный вопрос. Вместо этого он выкатил пушку в чистое поле под Миланом и стал из нее стрелять под различными углами, пока не получил нужный результат: дальше всего ядра улетают при выстреле под углом в 45° к горизонту. При этом до открытия законов механики Ньютона, из которых это можно вывести теоретически, оставалось полтора столетия, и Тарталья просто воспользовался методом проб и ошибок, золотым правилом эмпирической инженерии.

А ведь фактически проблема траектории полета пущенного снаряда веками интересовала мыслителей за многие столетия до Тартальи. Ее с древности принято было называть «задачей метательного снаряда» и формулировалась она следующим образом: как ведет себя тело, брошенное в воздух под углом к горизонту? Аристотель и другие древнегреческие философы учили, что движение бывает двух видов: «свободное» или «естественное» (то есть, то движение, которое предмет совершает, если его предоставить самому себе) и «вынужденное» или «насильственное» (то есть, движение в результате воздействия на тело извне). Размышляя относительно траектории полета копья (никак в этой области от военной тематики не уйти), Аристотель посчитал, что первую половину пути копье совершает вынужденное движение, поскольку его метнули. Затем, в верхней точке траектории запас силы броска иссякает, и вынужденное движение сменяется свободным. Поскольку, по Аристотелю, любое тело естественным образом стремится к центру Земли (а для него центр Земли был синонимом центра Вселенной), как только естественное движении возобладает над вынужденным, предмет незамедлительно начинает падать на Землю, причем отвесно.

По Аристотелю, следовательно, траектория полета брошенного под углом к горизонту предмета представляла собой прямоугольный треугольник: сначала тело по прямой набирает высоту на стадии принудительного движения, а затем отвесно падает на стадии естественного. (Не забывайте, как абсурдно это ни прозвучит сегодня, что выйти на улицу и просто понаблюдать за траекторией полета метательного снаряда абсолютно противоречило самому духу древнегреческой натурфилософии.) Фактически, основные споры во времена античности велись вокруг того, в какой именно момент принудительное движение сменяется естественным, могут ли эти два типа движения сочетаться и т. п. Такого рода умозрительный анализ способствовал, конечно, оттачиванию ментальных философских категорий, но с точки зрения практика, такого как Тарталья, был, по большому счету, бесполезен. Вот он и отправился в чистое поле под Миланом!

Как и по многим другим вопросам движения материальных тел, решением проблемы метательного снаряда мы обязаны Галилею. Именно он открыл уравнения равноускоренного движения и, в частности, уравнение свободного падения. Его опыты показали, что за время t тело, отпущенное из состояния покоя, проходит по направлению к поверхности земли расстояние d, равное:

    d = gt2/2

где g — ускорение свободного падения, равняющееся около 9,8 метров или 32 футов в секунду за секунду.

Таким образом, свободно падающее тело преодолеет около 4,9 м за первую секунду, 19,6 м за две секунды, 44,1 м за три секунды и т. д. Эта простая формула лежит в основе традиционного способа оценки высоты, например, обрыва: достаточно просто сбросить вниз камень, засечь его время в полете, а затем рассчитать высоту по указанной формуле. Еще на эту тему есть старый студенческий анекдот: Профессор попросил студентов измерить высоту физического факультета при помощи барометра. Все студенты (кроме одного), как и ожидал профессор, стали измерять атмосферное давление на крыше факультета и на уровне его фундамента, а последний студент просто сбросил барометр с крыши и засек время его падения. Дальше в анекдоте имеется несколько версий относительно того, какую оценку поставил профессор студенту за столь дорогостоящий (хотя и совершенно законный) подход к лабораторной работе.

Решив проблему свободного падения, Галилей перешел к решению следующего элемента головоломки, а именно, к проблеме пущенного снаряда. Здесь у него и возникла идея распределенного движения. По сути, он осознал, что движение снаряда можно разделить на два независимых компонента. По вертикали снаряд летит сначала вверх, а затем вниз, как если бы его просто подбросили строго вверх. По горизонтали же снаряд просто движется с постоянной скоростью, которая ему была придана в начале траектории, поскольку в этом направлении никакие силы на него не воздействуют (за исключением силы сопротивления воздуха, конечно, которой на начальном этапе можно пренебречь). Проще говоря, движение свободно летящего тела по вертикали и по горизонтали никак не связаны одно с другим. Тем самым сложная задача расчета траектории полета снаряда сводится к двум простым (и не зависящим друг от друга) задачам, каждая из которых по отдельности легко решается.

Давайте возьмем, в качестве иллюстрации, простой пример. Для полной простоты представим, что ядро из пушки, стоящей над обрывом, вылетело строго горизонтально. Через секунду ядро будет ниже жерла пушки на 4,9 м, через две секунды — на 19,6 м и т. д. При этом, пока ядро не достигнет поверхности земли, по горизонтали оно будет двигаться с той же скоростью, с какой вылетело из ствола. Если, например, начальная скорость ядра по горизонтали равнялась 100 м/с, то через секунду ядро окажется на удалении 100 м от пушки по горизонтали и на 4,9 м ниже жерла ее ствола.

Немногим сложнее и техника расчета траектории полета снаряда, пущенного с горизонтальной поверхности под углом к горизонту. По вертикали ядро будет двигаться так, будто его подбросили строго вверх. Оно будет набирать высоту, но всё медленнее из-за земного притяжения, пока не достигнет верхней точки траектории, где на какое-то мгновение его вертикальная скорость станет равной нулю. Затем снаряд устремится к земле в точности так же, как если бы его просто отпустили с достигнутой им максимальной высоты. И вот, при помощи такого анализа, Галилей пришел к выводу, что пущенное под углом к земле тело движется по кривой, которая называется парабола, — вот вам и Аристотель со своим треугольником!

Одно из следствий распределенного характера движения может показаться несколько парадоксальным и противоречащим нашим интуитивным представлениям, поэтому остановимся на нем особо. Если в нашем примере одновременно выстрелить из пушки над обрывом по горизонтали и бросить второе ядро из состояния покоя отвесно вниз, согласно принципу распределения движения оба ядра упадут на поверхность земли одновременно, поскольку характер их движения по вертикали не отличается, и это несмотря на то, что одно ядро пролетит за это время гораздо большее расстояние, чем другое. (Тут самое время вспомнить, что ядро, выпущенное из пушки по горизонтали, летит не только дальше, но и быстрее.)

Итак, задачу пущенного снаряда Галилей решил успешно, однако ведь он так и не дал ответа на вопрос античных времен относительно соотношения между «вынужденным» и «естественным» движением. Пусть мы теперь можем доподлинно описать траекторию полета снаряда, но мы так и не получили даже намека на ответ на вопрос, до каких пор он летит под внешним воздействием и с какого момента — «сам по себе». А всё дело в том, что и вопроса такого не стоит, поскольку сами категории «естественно» и «принудительно» — всего-навсего ложные понятия применительно к миру физики, поскольку апеллируют они к человеческому рассудку и не имеют никакого отношения к физической реальности. Что касается средневековых дискуссий на этот счет, то они всего лишь иллюстрируют, какие кульбиты мысли возможны, если изначально неправильно сформулировать задачу.

См. также:
Эффект Кориолиса

0
Написать комментарий


    1537
    Распределенное движение
    1604, 1609
    1687
    1687
    1905, 1916
    Траектория полета ядра представляет собой совокупность двух независимых траекторий движения: равномерного движения по горизонтали со скоростью, приданной ядру пушкой, и равноускоренного движения по вертикали под воздействием земного притяжения

    Траектория полета ядра представляет собой совокупность двух независимых траекторий движения: равномерного движения по горизонтали со скоростью, приданной ядру пушкой, и равноускоренного движения по вертикали под воздействием земного притяжения

    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»