Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»



ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке
на Youtube
в Instagram



«Квантик»


 
журнал для любознательных





Главная / Задачи версия для печати

Толстая монета

Евгений Епифанов 5.12.16

Какой толщины должна быть монета, чтобы она выпадала и на стороны, и на ребро с одинаковой вероятностью 1/3?

Написать комментарий
Вернуться

  11.12.2016 21:02  |   Олег Чечулин Ответить   
 

Проблема в том, что нам не известен ни радиус монеты, ни её диаметр ;-)
Поэтому правильный ответ на эту задачу в той формулировке, которая дана в условии, такой: толщина может быть любой положительной величиной. То есть, в Вашем решении нужно сделать ещё один шаг - перейти от формулы с диаметром к правильному ответу.
Но этого же ответа можно достичь исходя из непрерывности функции вероятности выпадания ребра от отношения толщины к радиусу. При нулевом отношении толщины к радиусу (классическая вероятностная монета, эталон которой хранится в Парижской палате мер и весов :-) ) эта вероятность равна нулю, а при бесконечном (игла) - единице. Ясно, что вероятность 1/3 находится где-то посередине между этими крайностями, при некотором конечном отношении ширины к радиусу. Ну а поскольку радиус монеты может быть любым положительным, то и толщина монеты, следовательно, тоже может быть любой положительной ;-)
Умение решать именно ту задачу, что задана в условии, а не ту, условие которой домыслилось при прочтении условия на основе жизненного опыта, очень важно. Очень многие олимпиадные задачи (например, по программированию) содержат подобные ловушки. Да и задачники по математической логике такими задачами не брезгуют.
Не усложняйте себе жизнь :-)


  12.12.2016 01:09  |   pale Ответить   
 

Для поставленной задачи - с учётом ПРИМЕЧАНИЯ - верно как раз второе решение, а не первое, т.е. толщина монеты равна D/3^0.5.
Ещё раз обратимся к Примечанию: "... падает без подскоков, как бы замирая на мгновение сразу после касания, после чего спокойно опускается... в зависимости от своего положения при касании с поверхностью." При такой постановке нас интересует исключительно взаимное расположение точки касания и центра масс монеты, а обе эти точки всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ребру (не забываем, что наша монета "прямой круговой цилиндр с равномерно распределённой массой"). И в этой плоскости ищутся не длины дуг (при чём здесь дуги?!) а углы: очевидно, угол между линиями, проведёнными через центр от одного угла прямоугольника (в сечении монеты) до другого, должен быть равен углу между одной из этих линий и осью монеты. И описанная сфера к решению задачи в такой постановке не имеет никакого отношения.


  12.12.2016 14:21  |   CMOS Ответить   
   

Фокус в том, что до момента касания монета вращается случайным образом, и мы обязательно должны учитывать все возможности такого случайного вращения. Необходимо помнить, что эта задача - математическая, и мы не учитываем гироскопического эффекта, который с большой вероятностью заставил бы монету вращаться вокруг только одной оси. Как правило, реальная подброшенная "классическим способом" монета вращается вокруг оси, параллельной плоскости стола, и для такого вращения справедливо решение "толщина монеты равна D/3^0.5".

В общем же "математическом" случае, ось вращения монеты в момент касания будет находиться под случайным углом к плоскости стола. В некоторых из этих случайных случаев ребру может повезти настолько, что у других сторон совсем не будет шанса выпасть (имеем в виду те случаи, когда угол наклона оси вращения монеты близок к 90 градусам).

Таким образом, вероятности будут смещены в сторону выпадения ребра, и для уравнивания шансов сторон нам портебуется более тонкая монета, толщина которой равна D/8^0.5.


  13.12.2016 10:03  |   drfent Ответить   
 

Прочитал послесловие и расстроился.
> Мне кажется, что в данном случае поведение монетки лучше описывается именно моделью из решения. Некоторым подкреплением здесь служит байка о том, что Джон фон Нейман...
Проблема в том, что это решение нефизично, т.е. не учитывает закон сохранения момента импульса, приданного монетке в момент броска. Закон сохранения меняет равномерное распределение вероятности падения монетки на точки сферы. В результате этого единственным вариантом, при котором вероятность выпадения ребра и каждой из сторон будет одинаковой, является придание момента импульса, перпендикулярного нормали из стороны монетки, что, соответственно, приводит нас к решению с 1/(3^(1/2)).
Отсылаю к этой замечательной статье, где теоретическое рассмотрение вопроса также было подкреплено экспериментом:
https://www.seas.harvard.edu/softmat/downloads/2011-13.pdf
Слова про то, что подкреплением решения служит некая байка, несколько неуместны на данном сайте.

 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия