Прямолинейный механизм

Задача

Плоский шарнирный механизм — это система, составленная из твердых звеньев, соединенных между собой подвижными шарнирами, которые позволяют звеньям поворачиваться друг относительно друга в одной плоскости. Разнообразные шарнирные механизмы повсеместно используются в технике.

Обычно их цель — преобразовать движение одних звеньев в требуемое движение других звеньев. В простейшем и, пожалуй, самом важном случае нужно преобразовать вращательное движение в возвратно-поступательное, а лучше — в прямолинейное. С такой задачей столкнулся Джеймс Ватт, работая над усовершенствованием своей паровой машины. Ему совсем прямолинейное движение не требовалось, и он нашел подходящее для себя решение. Но вопрос о том, как получить из вращательного движения строго прямолинейное, остался, и на поиск ответа ушло еще около ста лет. Вам же предлагается решить эту задачу за несколько дней.

Итак, нужно придумать шарнирный механизм из нескольких звеньев — такой, что если двигать конец какого-то одного звена по окружности, то конец другого звена будет двигаться по прямой. Ограничивать свободу движения звеньев любым другим способом, кроме шарнирных соединений, нельзя (например, нельзя использовать направляющие).


Подсказка

Неожиданным образом эта механическая задача оказывается тесно связанной с геометрией. Дело в том, что инверсия относительно данной окружности Ω с центром О переводит любую окружность, которая проходит через точку О, в прямую (разные окружности переходят в разные прямые).

Напомним, что инверсия относительно данной окружности Ω с центром О — это преобразование плоскости, при котором точке А, отличной от О, ставится в соответствие такая точка А' на луче ОА, что выполнено равенство ОА·ОА' = R2, где R — радиус окружности Ω. Из этого определения сразу видно, например, что инверсия оставляет точки окружности Ω на месте. Упомянутое выше свойство менее очевидно, но при решении задачи им можно пользоваться.

Осталось создать систему из нескольких звеньев с шарнирными соединениями, в которой бы конец одного звена был инверсным образом конца другого звена. Тогда ровно по этому свойству получим, что круговое движение одной точки перейдет в прямолинейное движение другой точки.


Решение

Рассмотрим систему, показанную на рисунке 1. Она состоит из шести звеньев, два из которых имеют одну длину (ОА и ОС), а четыре — другую (на рисунке звенья одной длины покрашены одним цветом). В такой системе точки В и D являются инверсными образами друг друга относительно некоторой окружности с центром в точке О. Покажем это.

Рис. 1.

Рис. 1.

Для начала заметим, что точки О, В и D лежат на одной прямой. В самом деле, из рисунка видно, что треугольники ОАС, ВАС и DAC — равнобедренные с общим основанием АС. Поэтому их вершины О, В и D лежат на одной и той же прямой — срединном перпендикуляре к АС.

Теперь покажем, что значение произведения ОВ·OD не зависит от положения точек в системе, а зависит только от длин звеньев. А поскольку эти длины не меняются, то это означает, что и произведение не меняется, — ровно то, что нам нужно по определению инверсии (см. подсказку).

В ромбе ABCD проведем диагонали (рис. 2). Пусть Р — точка их пересечения. Как известно, диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, — это нам сейчас пригодится. Обозначим x = BP = PD. Тогда

ОВ·OD = (ОР − ВР)·(ОР + PD) = (ОР − x)·(ОР + x) = OP2 − x2.

По теореме Пифагора для треугольника ОРА: ОР2 = ОА2 − АР2, а для треугольника ВАР: АР2 + х2 = АР2 + ВР2 = АВ2.

Рис. 2.

Рис. 2.

Используя последние два равенства, получаем, что

ОВ·OD = OP2 − x2 = ОА2 − АР2 − x2 = ОА2 − (АР2 + x2) = ОА2 − АВ2.

То есть действительно произведение ОВ·OD выражается только через постоянные в данной конструкции величины, а значит, и само это произведение не меняется. Как нетрудно догадаться, радиус окружности, относительно которой делается инверсия, равен квадратному корню из выражения в правой части последней цепочки равенств.

Осталось добавить в рассмотренную систему еще одно звено, которое бы обеспечивало движение точки В по окружности, проходящей через О, и тогда точка D будет двигаться по прямой, как видно из видео, на котором этот механизм показан в движении:


Послесловие

Механизм Саррюса

Механизм Саррюса. Анимация с сайта en.wikipedia.org

В решении обсуждался механизм Липкина — Посселье, изобретенный в 1864 году французским инженером Шарлем Посселье и переоткрытый в 1868 году российским математиком Липманом Липкиным. Это был первый плоский (то есть такой, что движение всех звеньев происходит в параллельных плоскостях) шарнирный механизм, который переводил вращательное движение в прямолинейное. Его изобретение дало серьезный толчок развитию механизмов того времени.

Нужно отметить, что несколько раньше — в 1853 году — появился пространственный механизм, решавший ту же задачу. Механизм Саррюса состоит из шести соединенных шарнирами прямоугольных пластин, две из которых параллельны, но могут двигаться друг к другу. В этой конструкции круговое движение ограничено четвертью окружности, что не всегда удобно. Из-за этого — или, возможно, по какой-то другой причине — этот механизм не нашел широкого применения в то время.

Если разрешить синхронное круговое движение двух точек в механизме, то прямолинейное движение можно получить совсем просто. Достаточно сделать симметричный механизм из четырех звеньев, как показано на рисунке 3. Ясно, что правая вершина в силу симметрии сможет двигаться только по пунктирной прямой. Но для практического применения сложность здесь как раз в том, чтобы добиться синхронного движения двух вершин в середине.

Рис. 3. Механизм "воздушный змей".

Рис. 3. Механизм «воздушный змей». Синхронное круговое движение средних вершин (друг к другу или наоборот) заставляет правую вершину двигаться по прямой. Рисунок из книги A. B. Kempe “How to Draw a Straight Line”

Важное место в истории развития шарнирных механизмов занимают механизмы, дающие движение, близкое к прямолинейному. Например, именно такой механизм придумал Джеймс Ватт в процессе усовершенствования своей паровой машины. В его механизме всего три звена: два длинных, имеющих одинаковую длину, и одно короткое, оно соединяет концы длинных звеньев. Здесь можно увидеть, как эта система устроена и как она движется. Интересно, что и сейчас, спустя больше 200 лет после изобретения, этот механизм продолжает использоваться. В частности, его применяют на задней оси в некоторых автомобильных подвесках. Это позволяет предотвратить поперечное смещение заднего моста относительно кузова, оставляя свободу в вертикальном движении. Вот как это работает:

Механизм Ватта в автомобильной подвеске

Нельзя не упомянуть и механизмы П. Л. Чебышёва — одного из величайших математиков XIX века, который занимался и вопросами механики. Он изобрел ряд примечательных шарнирных механизмов: например, лямбда-механизм (см. Chebyshev's Lambda Mechanism) преобразует круговое движение в приближенно прямолинейное, причем «прямой» отрезок проходится с почти постоянной скоростью. Благодаря такой особенности из четырех «лямбд» можно соорудить шагающий механизм — так называемую стопоходящую машину Чебышёва. Посмотреть на нее в работе можно на прекрасном сайте, посвященном механизмам Чебышёва. Оттуда же взята и фотография, которая иллюстрировала условие задачи.

В заключение рекомендую почитать статью Ю. Соловьева «Инверсоры» («Квант», №4 за 1990 год) и книжку Альфреда Кемпе “How to Draw a Straight Line”, которая представляет собой записки лекции 1876 года. Ее английская версия с интерактивными иллюстрациями доступна здесь.


0
Написать комментарий


    Другие задачи


    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»