Круги на столе

Задача

Если посмотреть под светом лампы на какую-нибудь глянцевую поцарапанную поверхность — например, старый лакированный стол или кусок оргстекла (см. фото), — то можно увидеть концентрические окружности. Объясните, откуда они берутся.

Круги перед глазами

Подсказка 1

Можно заметить, что окружности расположены вокруг отражения лампы.


Подсказка 2

Каждая царапина на такой поверхности работает как маленькое зеркальце. Царапины ориентированы в разных направлениях, но ярко выделяются только те, которые отражают свет лампы в глаз.


Решение

Понятно, что царапины на столе или оргстекле из ниоткуда не появляются — просто часть из них видна, а часть — нет. Причем видны будут только те царапины, которые отражают свет лампы прямо в глаз. Давайте посмотрим, как они расположены.

Проведя реальный опыт с оргстеклом, можно заметить, что если смотреть на лампу сквозь оргстекло, а не на ее отражение, то круги тоже появляются. Рассмотрим для начала этот случай (так немного проще разобраться с геометрией происходящего). Будем считать глаз и лампу точками, а царапины — прямоугольными зеркалами (такое упрощение допустимо, потому что свет отражается от стенки царапины так же, как от любой другой отражающей поверхности).

Соединим глаз и лампу прямой — она и будет осью системы окружностей, как мы сейчас покажем. Рассмотрим одну из царапин, которая стала видна (то есть луч света из лампы, отразившись от нее, попал в глаз): по закону отражения три линии — падающий на зеркало-царапину луч, нормаль к плоскости зеркала и отраженный луч, идущий в глаз, — лежат в одной плоскости. В этой же плоскости будет лежать прямая «глаз — лампа» (ось). Поскольку нормаль к зеркалу эту прямую пересекает, то выходит, что видимая царапина будет касательной к какой-то окружности с центром на оси.

Отражение света от царапин

Видя только такие царапины, мозг сам достраивает их до окружностей (проявление этой особенности мозга можно наблюдать в замечательном математическом этюде, иллюстрирующем теорему Шаля о движениях плоскости: там при движении пленки появляются маленькие отрезочки, ориентированные по направлению смещения, а так как по теореме Шаля движение почти всегда будет поворотом вокруг какого-то центра, то и получаются окружности).

В случае, когда лампа освещает стол, ситуация немного отличается: свет сначала отражается от нижней поверхности лака, образуя изображение лампы, а потом отражается от царапин, образуя картину, как в уже рассмотренном случае. Отражение лампы можно считать новым источником света и, значит, ось картины должна соединять глаз с этим отражением — что и наблюдается.


Послесловие

В этой задаче мы рассмотрели модель хаотично расположенных зеркал, отражающих свет в различных направлениях. Подобная модель используется для описания рассеивающих поверхностей вроде пластмассы или гипса.

Основной характеристикой того, как поверхность рассеивает свет, является зависимость яркости от направления отражения. Возьмем самый простой пример: идеальное зеркало. Если посветить на маленькое зеркало под определенным углом, то отражение лампы будет видно только под соответствующим симметричным углом (поймается зайчик — правда, не солнечный, а «ламповый»), а если смотреть под другим углом, то лампочку не будет видно. Иными словами под одним определенным углом яркость отлична от нуля, а при остальных углах — ноль.

В случае с рассеивающей поверхностью наблюдается другая картина. Оказывается, для многих типов рассеивающих поверхностей яркость не зависит от угла, под которым наблюдатель смотрит на поверхность (особенно точно это выполняется как раз для матовой пластмассы или гипса).

Рассеяние света на шероховатой поверхности

Рассеяние света на шероховатой поверхности. Рисунок с сайта slides.com

Этому свойству можно дать элементарное обоснование. Представим шершавую поверхность как совокупность маленьких, хаотично ориентированных зеркал — эта модель отличается от поцарапанного стекла тем, что здесь зеркала покрывают всю поверхность, а каждое отдельное зеркальце слишком мало, чтобы быть различимым. Будем считать, что для любого направления одинаковая часть зеркал расположена примерно перпендикулярно ему. Значит, под каким бы углом мы ни светили и под каким бы углом ни смотрели, примерно одинаковая часть зеркал будет отражать свет лампы в глаз. Получается, что если смотреть на какой-то фиксированный кусочек поверхности, то он под любым углом будет одинаково ярким. Интересно, что, хотя мы рассмотрели здесь шероховатую поверхность, некоторые полированные поверхности (мрамор или та же самая пластмасса), которые из подобных геометрических соображений должны бы вести себя как зеркало, все равно рассеивают свет. Оказывается, они содержат хаотически расположенные вкрапления, от которых отражается проходящий через прозрачную поверхность свет. Иными словами, хотя удается отполировать поверхность, остаются «шероховатости» внутри.


1
Показать комментарии (1)
Свернуть комментарии (1)

  • izh  | 12.02.2017 | 17:40 Ответить
    А ещё есть такая вещь как scratch holograms: циркулем делается набор царапин, по одной дуге на точку будущей "голограммы".
    https://www.youtube.com/watch?v=XUy8lELWhJg
    https://www.youtube.com/watch?v=Yi430EcdRKI
    Ответить
Написать комментарий

Другие задачи


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»