Толстая монета

Задача

Подбрасывая монетку, мы ожидаем, что выпадет или орел, или решка. Впрочем, иногда случается, что монетка падает и на ребро. Это, например, произошло, когда судья определял право розыгрыша мяча перед началом футбольного матча между сборными Колумбии и Парагвая на Кубке Америки 2016 года. Но там, очевидно, монетка застряла в траве.

В задачах по теории вероятности такие случаи не рассматривают, считая, что у математической монетки есть только две стороны, на которые она падает с равной вероятностью.

Давайте исправим эту несправедливость и дадим ребру монеты равные «права» с орлом и решкой: какой толщины должна быть монета, чтобы она выпадала и на стороны, и на ребро с одинаковой вероятностью 1/3?

Примечание. Для определенности считайте, что монета — это прямой круговой цилиндр с равномерно распределенной массой и что она падает на ровную поверхность без подскоков, как бы замирая на мгновение сразу после касания, после чего спокойно опускается на одну из двух сторон или на ребро в зависимости от своего положения при касании с поверхностью.


Подсказка

Рассмотрим монету в то мгновение, на которое она замирает, впервые коснувшись стола. Ребро мы тоже будем дальше называть стороной, то есть монетку считаем трехсторонней. В момент касания дальнейшая судьба монетки определяется только тем, как она расположена относительно вертикально направленной силы тяжести: она упадет на ту сторону, которую первой пересечет вектор силы тяжести (или его продолжение), идущий из центра масс монетки.

Поскольку подброс случайный, то и положение монетки в момент касания случайно. Значит, если взглянуть на эту ситуацию с точки зрения монетки (то есть считать, что она не двигается, а это весь мир вертится вокруг нее), то в момент касания направление вектора силы тяжести может быть любым и все направления равновероятны. То есть на сфере, которую образуют все возможные положения этого вектора, возникают три области, соответствующие сторонам монетки. А вероятности выпадения пропорциональны площадям этих областей. Осталось только понять, как они устроены, и посчитать площади.


Решение

Будем считать, что сфера из подсказки описана вокруг монетки (которую мы считаем цилиндром), — это чуть-чуть упростит дальнейшие рассуждения (такое допущение ни на что не влияет, потому что мы рассматриваем подобные сферы и все рассуждения про соотношения площадей и размеров от этого не страдают). Тогда на сфере возникают три области: две «шапки», соответствующие сторонам монетки, и полоса между ними, соответствующая ребру (рис. 1, слева). Чтобы у ребра была такая же вероятность выпадения, как у двух других сторон, нужно, чтобы площади всех трех областей были равны.

Рис. 1.

Рис. 1. Вид на монетку и описанную вокруг нее сферу сбоку. Если вектор силы тяжести попадает в верхнюю или нижнюю шапки, то монетка упадет на сторону. Если этот вектор попадает в пояс посередине, то монетка встанет на ребро

То есть задача свелась к вычислению площади сферической полосы, «зажатой» между двух плоскостей. Ее можно считать по-разному, но мы сейчас используем замечательное свойство сферы: оказывается, площадь такой полосы зависит только от расстояния между плоскостями (то есть не зависит от их положения относительно сферы). Из этого сразу следует, что толщина монетки должна быть равной трети диаметра сферы.

Осталось связать толщину с диаметром самой монетки. Здесь хватит обычной геометрии — достаточно посмотреть на ситуацию сбоку (рис. 1, справа). Если D — диаметр сферы, d — диаметр монетки, а h — ее толщина, то h = D/3, и по теореме Пифагора получаем D2 = d2 + h2, откуда (d/h)2 = 8, то есть толщина должна быть в корень из 8 раз меньше диаметра монетки (примерно в 2,8 раза меньше.).


Послесловие

Возможно, у вас при решении получался ответ, в котором толщина монетки была в корень из 3 раз меньше ее диаметра. Скорее всего, вы считали вероятности, исходя из длин дуг окружности, описанной вокруг прямоугольника (сечения монетки плоскостью, проходящей через ее центр перпендикулярно боковой стороне монетки). Если так, то вы совершенно правильно посчитали.

Рис. 2.

Рис. 2. «Плоская» модель вращения монетки

Ваш ответ отличается от полученного выше, но это не значит, что он неправильный. Дело здесь не в подсчете, а в выборе модели того, как ведет себя монетка при броске. В решении было принято, что она может вращаться как угодно, и поэтому при приземлении может располагаться любым способом относительно поверхности. А вот если рассматривать вращение монетки только в одной плоскости, то и получается, что возможные направления вектора силы тяжести составляют окружность, а условие на равенство вероятностей означает, что ребро монетки должно быть видно из ее центра под углом 60°.

Разные модели приводят к разным вероятностным пространствам — это нормально. Мне кажется, что в данном случае поведение монетки лучше описывается именно моделью из решения. Некоторым подкреплением здесь служит байка о том, что Джон фон Нейман, которому задали вопрос этой задачи, когда он садился в такси, сообщил таксисту свой адрес и сразу же ответил. Причем, ровно так, как в решении. Правда это или нет — не знаю, но эта байка сопровождает задачу о «толстой» монете уже давно. Например, она приводится в прекрасной книжке Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».

Что касается трюка в решении, благодаря которому не пришлось площадь поверхности сферического слоя, то этот факт — площадь слоя поверхности сферы между двумя параллельными плоскостями зависит только от расстояния между плоскостями (и не зависит от их положения относительно сферы) — можно установить разными способами. Например, можно «в лоб» найти эту площадь — найдя соответствующий интеграл. Или можно провести более «геометрическое» рассуждение (см. Spherical Surfaces and Hat Boxes). Кстати, оказывается, что площадь такого сферического слоя равна площади слоя, который эти же плоскости высекают на поверхности цилиндра, описанного вокруг данной сферы. Видимо, поэтому этот факт в англоязычной литературе называют «Теоремой о шляпных коробках» (Hat-Box Theorem).

Этот трюк, например, позволяет относительно просто решить следующую непростую задачку. Привожу ее формулировку ниже, а решение примерно через неделю появится в комментариях к этой задаче.

На плоскости нарисован круг радиуса 1. Имеется набор полосок бумаги бесконечной длины с параллельными краями. Полоски могут быть разной толщины, известно лишь, что их суммарная толщина меньше 1. Существует ли набор полосок с такими свойствами, которым можно покрыть полностью данный круг?


4
Показать комментарии (4)
Свернуть комментарии (4)

  • Олег Чечулин  | 11.12.2016 | 21:02 Ответить
    Проблема в том, что нам не известен ни радиус монеты, ни её диаметр ;-)
    Поэтому правильный ответ на эту задачу в той формулировке, которая дана в условии, такой: толщина может быть любой положительной величиной. То есть, в Вашем решении нужно сделать ещё один шаг - перейти от формулы с диаметром к правильному ответу.
    Но этого же ответа можно достичь исходя из непрерывности функции вероятности выпадания ребра от отношения толщины к радиусу. При нулевом отношении толщины к радиусу (классическая вероятностная монета, эталон которой хранится в Парижской палате мер и весов :-) ) эта вероятность равна нулю, а при бесконечном (игла) - единице. Ясно, что вероятность 1/3 находится где-то посередине между этими крайностями, при некотором конечном отношении ширины к радиусу. Ну а поскольку радиус монеты может быть любым положительным, то и толщина монеты, следовательно, тоже может быть любой положительной ;-)
    Умение решать именно ту задачу, что задана в условии, а не ту, условие которой домыслилось при прочтении условия на основе жизненного опыта, очень важно. Очень многие олимпиадные задачи (например, по программированию) содержат подобные ловушки. Да и задачники по математической логике такими задачами не брезгуют.
    Не усложняйте себе жизнь :-)
    Ответить
  • pale  | 12.12.2016 | 01:09 Ответить
    Для поставленной задачи - с учётом ПРИМЕЧАНИЯ - верно как раз второе решение, а не первое, т.е. толщина монеты равна D/3^0.5.
    Ещё раз обратимся к Примечанию: "... падает без подскоков, как бы замирая на мгновение сразу после касания, после чего спокойно опускается... в зависимости от своего положения при касании с поверхностью." При такой постановке нас интересует исключительно взаимное расположение точки касания и центра масс монеты, а обе эти точки всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ребру (не забываем, что наша монета "прямой круговой цилиндр с равномерно распределённой массой"). И в этой плоскости ищутся не длины дуг (при чём здесь дуги?!) а углы: очевидно, угол между линиями, проведёнными через центр от одного угла прямоугольника (в сечении монеты) до другого, должен быть равен углу между одной из этих линий и осью монеты. И описанная сфера к решению задачи в такой постановке не имеет никакого отношения.
    Ответить
    • CMOS > pale | 12.12.2016 | 14:21 Ответить
      Фокус в том, что до момента касания монета вращается случайным образом, и мы обязательно должны учитывать все возможности такого случайного вращения. Необходимо помнить, что эта задача - математическая, и мы не учитываем гироскопического эффекта, который с большой вероятностью заставил бы монету вращаться вокруг только одной оси. Как правило, реальная подброшенная "классическим способом" монета вращается вокруг оси, параллельной плоскости стола, и для такого вращения справедливо решение "толщина монеты равна D/3^0.5".

      В общем же "математическом" случае, ось вращения монеты в момент касания будет находиться под случайным углом к плоскости стола. В некоторых из этих случайных случаев ребру может повезти настолько, что у других сторон совсем не будет шанса выпасть (имеем в виду те случаи, когда угол наклона оси вращения монеты близок к 90 градусам).

      Таким образом, вероятности будут смещены в сторону выпадения ребра, и для уравнивания шансов сторон нам портебуется более тонкая монета, толщина которой равна D/8^0.5.
      Ответить
  • drfent  | 13.12.2016 | 10:03 Ответить
    Прочитал послесловие и расстроился.
    > Мне кажется, что в данном случае поведение монетки лучше описывается именно моделью из решения. Некоторым подкреплением здесь служит байка о том, что Джон фон Нейман...
    Проблема в том, что это решение нефизично, т.е. не учитывает закон сохранения момента импульса, приданного монетке в момент броска. Закон сохранения меняет равномерное распределение вероятности падения монетки на точки сферы. В результате этого единственным вариантом, при котором вероятность выпадения ребра и каждой из сторон будет одинаковой, является придание момента импульса, перпендикулярного нормали из стороны монетки, что, соответственно, приводит нас к решению с 1/(3^(1/2)).
    Отсылаю к этой замечательной статье, где теоретическое рассмотрение вопроса также было подкреплено экспериментом:
    https://www.seas.harvard.edu/softmat/downloads/2011-13.pdf
    Слова про то, что подкреплением решения служит некая байка, несколько неуместны на данном сайте.
    Ответить
Написать комментарий

Другие задачи


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»