Затмения Ио и скорость света

Задача

Датский астроном Оле Рёмер еще в XVII веке заметил странную особенность в затмениях Ио тенью Юпитера. Вам предлагается повторить «путь осознания», который прошел Рёмер прежде чем опубликовать 7 декабря 1676 года в журнале Journal des savants один из самых важных результатов современной науки — обоснование того, что скорость света конечна, и первую попытку ее вычислить.

На рисунке 1 показан «вид сверху» на Юпитер и Ио, а также схематично изображено, как происходит затмение.

Рис. 1.

Рис. 1.

С помощью этой схемы ответьте на следующие вопросы.

    1) Почему начало затмений наблюдается только половину года? Какой момент затмения Ио можно наблюдать в другую половину года и почему?
    2) Период обращения Ио вокруг Юпитера составляет 42 часа 28 минут. Однако если внимательно изучить времена начала затмений, то можно заметить, что затмения происходят не ровно с интервалом в один период. Таблицу с измерениями моментов начала затмений с 14 декабря 1994 года по 31 мая 1995 года можно скачать отсюда (в этом текстовом файле каждая строка соответствует одному затмению, формат: номер затмения, его дата и время начала в часах и минутах). Убедиться в том, что затмения происходят чуть чаще, чем надо, можно, взяв, например, начало 1-го (16/12/94 03:06) и 70-го затмения (17/04/95 05:37). Если отсчитать 70 периодов, то получится, что 70-е затмение должно было произойти 17/04/95 в 05:51, то есть на 14 минут позже, чем оно произошло. В чем дело? Объясните несоответствие.

Используя данные из таблицы, а также зная, что расстояние от Земли до Солнца составляет примерно 149,6 млн км, определите скорость света. Оцените погрешность ваших расчетов и подумайте, что еще можно было бы учесть, чтобы расчеты оказались более точными.

Примечания. В решении задачи не обязательно использовать все данные из таблицы. Для определения относительного положения планет в нужную дату может пригодиться сайт solarsystemscope.com.


Подсказка 1

Определите (например, при помощи упомянутого в условии сайта) положение Земли относительно Юпитера во время 1-го затмения (16 декабря 1994 года) и 95-го затмения (31 мая 1995 года).


Подсказка 2

Можно даже не смотреть на относительное положение Земли и Юпитера, а решить задачу «количеством». Для всех затмений найдите разницу t' − t между ожидаемым и наблюдаемым временем начала затмения Ио и постройте график зависимости этой разницы от наблюдаемого времени t. Подумайте, почему график имеет такую форму? Можно ли из него определить скорость света?


Решение

Сначала ответим на вопросы. На схемах на рисунке 2 показаны два варианта взаимного расположения Земли и Юпитера. Затмение Ио для наблюдателя с Земли начинается либо когда спутник либо входит в область за Юпитером относительно Земли (левая схема, точка А), либо когда спутник загораживается тенью Юпитера (правая схема, точка А). Конец затмения в обоих вариантах обозначен буквой Б.

Рис. 2.

Рис. 2.

Собственно, эти схемы и объясняют, почему начало «настоящего» затмения Ио, то есть вхождение в солнечную тень Юпитера, видно только половину года. А вторую половину года виден конец затмений Ио тенью Юпитера.

Если посмотреть на взаимное расположение Земли и Юпитера в моменты, указанные в первой и последней строках таблицы (рис. 3), то можно заметить, что 14 декабря 1994 года Юпитер находится почти в соединении с Землей (в противоположной стороне от Солнца на одной прямой с ним), а 31 мая 1995 года — в противостоянии (на той же стороне относительно Солнца, что и Земля, на одной прямой с ним). Видно, что в процессе орбитального движения планет существенно меняется расстояние между Землей и системой «Юпитер — Ио». Поэтому причина, по которой интервалы между затмениями могут отставать или опережать друг друга, — это задержка из-за конечности скорости света.

Рис. 3.

Рис. 3.

Отсчитывая периоды Ио от 0-го затмения (14 декабря 1994 года, 8 часов 37 минут), можно посчитать, что затмение должно было случиться 31 мая 1995 года в 11 часов 44 минуты, то есть на 18 минут позже, чем на самом деле. Это именно те 18 минут, которые «тратит» свет, чтобы пролететь разность путей от Ио в соединении и в противостоянии. А разница эта составляет 2 а. е. (а. е. — астрономическая единица — это, по определению, среднее расстояние от Земли до Солнца).

В принципе, не обязательно знать положение Земли для того, чтобы провести расчёты. Можно построить график зависимости опережения t' − t от времени наблюдения t (где t' — ожидаемое время начала (конца) затмения, а t — реальное время). График показан на рисунке 4: получается замечательная синусоида, «амплитуда» которой и определяет максимальную задержку (18 минут).

Рис. 4.

Рис. 4.

Теперь вычислить скорость света, основываясь на полученных данных. 18 минут — это 1080 секунд, поэтому скорость света вычисляется так: 2·149,6·106/1080 ≈ 277 037 километров в секунду. Как известно, на самом деле скорость света примерно равна 299 792 км/с, что почти на 8% больше нашего результата. Рёмер в 1676 году получил значение порядка 220 000 км/с, что меньше реальной скорости на целых 26%. Погрешность Рёмера, очевидно, возникла из-за отсутствия точных хронографов и телескопов, а также из-за ошибок в определении расстояния от Земли до Солнца.

Однако даже с современными возможностями мы почему-то получили число, не очень близкое к действительному значению. В чем же дело?

В первую очередь, конечно, следует заметить, что моменты начала затмения нам даны с точностью до полуминуты. Это уже дает 0,5/18 ≈ 2,8% погрешности, но все еще не объясняет отклонение в 8%. Тут необходимо вспомнить, что Юпитер на самом деле не стоит на месте, а вращается вокруг Солнца с периодом 12 лет, то есть за полгода он смещается по своей орбите на 15°. На рисунке 5 показано, как на самом деле меняется взаимное расположение Земли и Юпитера. В итоге разность хода составляет не ровно 2 а. е., а чуть меньше. Это, если грубо прикинуть, дает погрешность еще 0,5/12 ≈ 4,2%, так как мы пренебрегли полугодом относительно 12 лет. Такая оценка не совсем точна, но по порядку величины дает понять, насколько примерно мы могли ошибиться.

Рис. 5.

Рис. 5.


Послесловие

В 1610 году Галилео Галилей открыл четыре спутника Юпитера. Это открытие оказалось полезным не только с точки зрения научного интереса, но и с практической точки зрения, так как затмения спутников происходили с хорошей периодичностью. В XVII–XVIII веках такая периодичность была достаточной, чтобы всегда иметь под рукой «небесные часы», с помощью которых можно было четко определять относительное время в любой точке земного шара.

Рис. 6. Записи Галилея с наблюдениями движений спутников Юпитера

Рис. 6. Записи Галилея с наблюдениями движений спутников Юпитера. Изображение с сайта darkwing.uoregon.edu

В эпоху географических открытий человечество столкнулось с проблемой определения координат. Широту легко найти по высоте Полярной звезды над горизонтом, а с долготой дело обстояло сложнее. Этот вопрос был настолько важен, что британским парламентом в 1714 году была учреждена огромная по тем временам премия за решение этой проблемы для флота: приз составлял £10 000 при погрешности в 60 морских миль, £15 000 при погрешности в 40 миль и £20 000 при погрешности в 30 миль.

Для определения географической долготы необходимо было знать время на нулевом меридиане (в Гринвичской обсерватории) и местное время. Местное время легко находится по высоте светил над горизонтом. Однако время на нулевом меридиане узнать неоткуда, и для этого как раз и необходимы были «небесные часы»: можно было узнать местное время затмения, и, зная точно, в какое именно время должно произойти затмения спутника по Гринвичу, вычислить относительное время и, соответственно, географическую долготу.

Несмотря на то, что способ определения долготы по времени затмений спутников Юпитера был предложен Галилеем за сто лет до учреждения премии, премия все равно была учреждена, потому что этот способ был неудобен для применения на кораблях: из-за качки Юпитер и его спутники почти невозможно зафиксировать в поле зрения телескопов того времени. Так что этот метод применяли в основном на суше, хотя он и оставался единственным способом сколько-нибудь надежного определения долготы до изобретения в 1730 году Джоном Гаррисоном точного морского хронометра (доведен до практического использования он был в 1735 году).

Кстати, зимой 1671–1672 годов Жан Пикар и Оле Рёмер (в обсерватории Тихо Браге Ураниборг на острове Вен) одновременно с Джованни Кассини (в Парижской обсерватории) наблюдали затмение Ио, что помогло им вычислить разность географических долгот между Ураниборгом и Парижем.

Примерно в то время, наблюдая за затмениями Ио, Оле Рёмер и заметил, что моменты затмений происходят не через строго определенные промежутки времени, а слегка сдвигаются в течение года. Эти задержки и опережения Рёмер интерпретировал как доказательство конечности скорости света и получил первую в истории оценку этой величины, приведенную выше.

Большинство античных ученых считало скорость света бесконечной. Это убеждение преобладало до XVII века. Но даже тогда лишь Галилео Галилей и Роберт Гук допускали, что скорость света конечна и очень велика, в то время как те же Иоганн Кеплер, Рене Декарт и Пьер Ферма по-прежнему отстаивали бесконечность скорости света.

Оценка Рёмера была улучшена только спустя полвека, в 1728 году, когда после открытия аберрации света, английский астроном Джеймс Брэдли получил более точное значение скорости света — 308 000 км/с. В дальнейшем это значение постоянно уточнялось во все более и более изощренных и сложных экспериментах. Сейчас значение скорости света принято равным 299 792,5 км/с.


10
Показать комментарии (10)
Свернуть комментарии (10)

  • persicum  | 22.10.2016 | 07:23 Ответить
    Открытие Ремера получило признание современников?
    Ответить
    • haykh > persicum | 22.10.2016 | 10:33 Ответить
      В некотором роде, мнения разделились, так как измерения были ужасно неточными. Вот, кстати, (https://archive.org/stream/philosophicaltra02royarich#page/397/mode/1up) сохранилась запись (переведённая на английский) его выступления с презентацией в королевской Академии Наук Парижа результатов его измерений. Про реакцию учёных можно почитать тут: https://www.wikiwand.com/en/R%C3%B8mer's_determination_of_the_speed_of_light#/Initial_reactions
      Ответить
  • Олег Чечулин  | 22.10.2016 | 14:47 Ответить
    А эксцентриситеты орбит какой процент погрешности дают?
    Ответить
    • haykh > Олег Чечулин | 22.10.2016 | 21:35 Ответить
      Не оценивал, но очевидно, что по сравнению с остальным - очень малый. Юпитер почти не движется за полгода, поэтому эксцентричность орбиты не так важна. Для Земли - мы смотрим 2 противолежащие точки, там тоже не так важно какой эксцентриситет.
      Ответить
      • Олег Чечулин > haykh | 23.10.2016 | 07:58 Ответить
        Эти 2 противолежащие точки могут оказаться на концах малой оси, а могут - на концах большой оси. Длина большой оси 299196522 км, а вот какова длина малой оси? Что-то нигде не могу найти...
        Ответить
        • Олег Чечулин > Олег Чечулин | 23.10.2016 | 13:16 Ответить
          Ой. Выпало из внимания, что в решении рассматриваются точки возле точек солнцестояния...
          Ответить
        • haykh > Олег Чечулин | 25.10.2016 | 02:52 Ответить
          Ну примерно 299154797 км, т.е. отличается на 0.01%. Т.е. в принципе, вы могли ошибиться примерно на этот малый процент, что ничто, по сравнению с ошибкой в ~1%.

          P.S. Малая полуось = большая полуось * корень из (1 - e^2), где e - эксцентриситет.
          Ответить
  • Guzhelya  | 09.12.2016 | 20:57 Ответить
    В статье много несостыковок:
    В начале статьи приведен период обращения спутника Юпитера 42 часа 28 минут. Происхождение этого значения не указано. Если умножить это значение на 95 обращений, то получим: 4034 часа 20 минут. Это должно быть истинным временем 95-и обращений спутника Ио. Время же 95-и затмений, вычисленное по таблицам (от нулевого затмения 14.12.94 в 08 ч. 37 м. до 95-го затмения 31.05.95 в 11ч. 26 м.) составляет 4034 часа 49 минут. То есть, на 29 минут больше «истинного» времени. А должно быть меньше, и авторы «расчёта» утверждают, что оно по расчёту получилось меньше на 18 минут. Отсюда очевидно, что значение истинного периода обращения спутника Юпитера, указанное в статье, не верное. В подтверждение своих слов авторы приводят график опережения времени светового сигнала на участке приближения Земли к точке противостояния, из которого видно, что опережение составляет 18 минут. Но на этом графике вычерчено только 90 периодов обращения спутника, вместо 95-и обращений, и опять же не ясно, для какой величины истинного периода обращения рассчитывался и строился этот график.
    Если же мы определим истинное время 95-и обращений как среднее время на симметричных участках пути относительно линии противостояния, то мы получим: 4035 часов 10 минут. Отсюда, время опережения светового сигнала на участке приближения, составит 21 минуту (4035 ч. 10м. – 4034 ч. 49 м.=21 м.).
    Если же мы воспользуемся истинным периодом обращения спутника Ио, вычисленным Рёмером: 42 ч. 28 м. 31,25 с., то мы получим время опережения светового сигнала, примерно, на 20,5 минут.
    Кроме того авторы статьи считают, что за время 95-и обращений Земля приблизилась к Юпитеру на расстояние 2 а.е. Это, конечно, не так, поскольку Земля приближается к Юпитеру на расстояние 2 а.е. за время 112 обращений спутника Ио.
    Погрешность своих вычислений, авторы также оценили не верно. Погрешность таблиц они учли с одним знаком (в сторону приближения к 300 000 км/с). В то время как эту погрешность надо учитывать со знаками +-. То есть, эта погрешность нейтральная и никуда не приближает полученное значение. Погрешность же от перемещения Юпитера они учли вообще с противоположным знаком. То есть, учёт этой погрешности, на самом деле, удаляет расчётное значение от общепринятого (300 000 км/с).
    Ответить
    • haykh > Guzhelya | 14.02.2017 | 09:00 Ответить
      Пардон, отсчитывать надо со 2й даты, т.е. с 16/12/94 03:06. Тогда, действительно, разница с последней датой получится 166.3472 дня, а теоретически должно быть 166.3603 дня (т.е. 94 полных периода). Это даёт как раз разницу в 18.774 минуты.

      Спасибо, что заметили. Но это становится очевидным, как только вы построите график.
      Ответить
      • Guzhelya > haykh | 23.02.2017 | 16:04 Ответить
        Уважаемый Айк!
        Не принципиально, с какого затмения начинать отсчёт, с нулевого или с первого. Но важно правильно указать все исходные данные для выполнения расчёта и указать источник, из которого взяты эти исходные данные.
        Я вынужден повторяться, но в статье Вы не указали источник, откуда взят период обращения спутника Ио 42 часа 28 минут.
        В последнем сообщении Вы также не указали источник, откуда взято время 94-х полных обращений спутника Ио 166,3603 суток.
        Если разделить 166,3603 на 94 получим период обращения спутника 42 часа 28 минут 29,9 секунды, что значительно ближе к истине, чем период обращения указанный в статье. Но и это значение не соответствует результатам наблюдений за обращениями спутника, приведенными в таблицах 1994-1995 г.
        Истинное время 94-х обращений спутника Ио может быть рассчитано с использованием упомянутых таблиц как среднее значение 94-х обращений спутника на участках приближения Земли к точке противостояния и удаления Земли от точки противостояния.
        На участке приближения Земли:
        Затмение №1 произошло 16.12.94 в 3 часа 06 минут. Затмение №95 произошло 31.01.95 в 11 часов 26 минут. Суммарное время 94-х обращений спутника, составило: 166 суток 8 часов 20 минут.
        На участке удаления Земли:
        Выход спутника из тени после нулевого обращения состоялся 02.06.95 в 8 часов 06 минут.
        Выход спутника из тени после 94 обращения состоялся 15.11.95 в 17 часов 09 минут. Суммарное время 94 обращений спутника, составило: 166 суток 09 часов 03 минут.
        Среднее время 94-х обращений, равно: 166 суток 08 часов 41,5 минут.
        Отсюда, опережение светового сигнала на участке приближения Земли к точке противостояния, составило: 21,5 минут.
        Пользуясь программой Stellarium 0. 13. 3., найдём:
        В момент затмения 16.12.94 года, расстояние от Земли до Юпитера составляло 6,281 А.е. В момент затмения 31.01.95 года, расстояние от Земли до Юпитера было равно 4,326 А.е. То есть за время 94-х полных обращений спутника, Земля приблизилась к Юпитеру на 1,955 А.е. Световой сигнал пришёл раньше на 21,5 минут.
        Следовательно, скорость света на этом участке, равна: 226 719 км/с. Примерно такую же величину скорости света получил и Рёмер.
        Поскольку погрешность таблиц затмений спутника Ио 1994-1995 г. составляет +_0,5 минут, то максимальная погрешность в определении суммарного времени 94-х обращений спутника составляет +_1 минуту. С такой же погрешностью определено и среднее время 94-х обращений спутника. С такой же погрешность определено и время опережения светового сигнала (21,5 минуты) на участке приближения Земли к Юпитеру. Отсюда, относительная погрешность времени опережения светового сигнала составляет около 5%.
        Следовательно, значение скорости света (226 719 км/с) также определено с погрешностью +_5%. При этом значение скорости света (226 719 км/с), вычисленное методом Рёмера, не соответствует значению скорости света (300 000 км/с), полученному в лабораторных условиях на поверхности Земли. Но пытаться уравнять эти величины не правильно, поскольку условия для распространения света вблизи поверхности Земли и в далёком космосе различны.
        Ответить
Написать комментарий

Другие задачи


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»