Открыты трехмерные солитоны

Открытие новых типов солитонов случается редко, но каждый раз оно сопровождается бурным прогрессом в теории нелинейных дифференциальных уравнений (изображение с сайта www.lboro.ac.uk)
Открытие новых типов солитонов случается редко, но каждый раз оно сопровождается бурным прогрессом в теории нелинейных дифференциальных уравнений (изображение с сайта www.lboro.ac.uk)

После тридцатилетнего поиска найдены нелинейные дифференциальные уравнения, обладающие трехмерными солитонными решениями. Ключевой стала идея «комплексификации» времени, которая может найти дальнейшие приложения в теоретической физике.

При изучении какой-либо физической системы вначале идет этап «первоначального накопления» экспериментальных данных и их осмысление. Затем эстафета передается теоретической физике. Задача физика-теоретика состоит в том, чтобы на основании накопленных данных вывести и решить математические уравнения для этой системы. И если первый шаг, как правило, не представляет особой проблемы, то второй — точное решение полученных уравнений — зачастую оказывается несравненно более трудной задачей.

Так уж получается, что эволюция во времени многих интересных физических систем описываются нелинейными дифференциальными уравнениями: такими уравнениями, для которых не работает принцип суперпозиции. Это сразу лишает теоретиков возможности использовать многие стандартные приемы (например, комбинировать решения, разлагать их в ряд), и в результате для каждого такого уравнения приходится изобретать абсолютно новый метод решения. Зато в тех редких случаях, когда такое интегрируемое уравнение и метод его решения находится, решается не только исходная задача, но и целый ряд смежных математических проблем. Именно поэтому физики-теоретики иногда, поступаясь «естественной логикой» науки, вначале ищут такие интегрируемые уравнения, а уже затем пытаются найти им применения в разных областях теорфизики.

Одним из самых замечательных свойств таких уравнений являются решения в виде солитонов — ограниченных в пространстве «кусочков поля», которые перемещаются с течением времени и сталкиваются друг с другом без искажений. Являясь ограниченными в пространстве и неделимыми «сгустками», солитоны могут дать простую и удобную математическую модель многих физических объектов. (Подробнее о солитонах см. популярную статью Н. А. Кудряшова Нелинейные волны и солитоны // СОЖ, 1997, № 2, с. 85–91 и книжку А. Т. Филиппова Многоликий солитон.)

К сожалению, разных видов солитонов известно очень мало (см. Портретную галерею солитонов), и все они не очень подходят для описания объектов в трехмерном пространстве.

Например, обычные солитоны (которые встречаются в уравнении Кортевега—де Фриза) локализованы всего лишь в одном измерении. Если такой солитон «запустить» в трехмерном мире, то он будет иметь вид летящей вперед бесконечной плоской мембраны. В природе, однако, такие бесконечные мембраны не наблюдаются, а значит, исходное уравнение для описания трехмерных объектов не годится.

Не так давно были найдены солитоноподобные решения (например, дромионы) более сложных уравнений, которые локализованы уже в двух измерениях. Но и они в трехмерном виде представляют собой бесконечно длинные цилиндры, то есть тоже не очень физичны. Настоящие же трехмерные солитоны найти до сих пор не удавалось по той простой причине, что неизвестны были уравнения, которые могли бы их произвести на свет.

На днях ситуация изменилась кардинальным образом. Кембриджскому математику А. Фокасу, автору недавней публикации A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (19 May 2006), удалось сделать существенный шаг вперед в этой области математической физики. Его короткая трехстраничная статья содержит сразу два открытия. Во-первых, он нашел новый способ выводить интегрируемые уравнения для многомерного пространства, а во-вторых, он доказал, что эти уравнения имеют многомерные солитоноподобные решения.

Оба этих достижения стали возможны благодаря смелому шагу, предпринятому автором. Он взял известные уже интегрируемые уравнения в двумерном пространстве и попробовал рассмотреть время и координаты как комплексные, а не вещественные числа. При этом автоматически получилось новое уравнение для четырехмерного пространства и двумерного времени. Следующим шагом он наложил нетривиальные условия на зависимость решений от координат и «времен», и уравнения стали описывать трехмерную ситуацию, зависящую от единственного времени.

Интересно, что такая «кощунственная» операция, как переход к двумерному времени и выделению в нем новой временной оси, не сильно попортила свойства уравнения. Они по-прежнему остались интегрируемыми, и автору удалось доказать, что среди их решений имеются и столь желанные трехмерные солитоны. Теперь ученым остается записать эти солитоны в виде явных формул и изучить их свойства.

Автор выражает уверенность, что польза от разработанного им приема «комплексификации» времени вовсе не ограничивается теми уравнениями, которые он уже проанализировал. Он перечисляет целый ряд ситуаций в математической физике, в которых его подход может дать новые результаты, и призывает коллег попытаться применить его в самых разнообразных областях современной теоретической физики.

Игорь Иванов


6
Показать комментарии (6)
Свернуть комментарии (6)

  • Аматор  | 25.05.2006 | 10:52 Ответить
    "...найдены нелинейные дифференциальные уравнения, обладающие трехмерными солитонными решениями".

    Наверное, имеются в виду уравнения с одной неизвестной фунуцией пространственных координат и времени?

    Потому что уже давно известны устойчивые 3-мерные (монополи 'т Хоофта-Полякова) и 4-мерные (инстантоны)солитонные решения нелинейных уравнений квантовой теории поля. Устойчивость достигается за счёт введения дополнительных(!) функций - калибровочных полей, - обладающих нетривиальной топологией. Эти солитоны называются топологическиими.
    Ответить
    • spark > Аматор | 25.05.2006 | 11:56 Ответить
      Да, конечно, спасибо за добавку. Тут речь идет об одном-единственном скалярном поле.
      Ответить
    • svn > Аматор | 07.05.2007 | 16:51 Ответить
      здраствуйте. а могли бы вы поподробней расказать об истории солитонов, именно в снвреное время. зараннее благодарю.
      Ответить
  • dbayuk  | 25.05.2006 | 14:41 Ответить
    Насколько я помню, про комплексификацию пространства Миньковского рассказывал в своем знаменитом курсе на мехмате Ю. И. Манин почти тридцать лет назад. А еще до того, что-то подобное делал Пенроуз.
    Ответить
  • Аматор  | 29.05.2006 | 10:27 Ответить
    Эффект памяти, обусловленный существованием солитонов в задаче Ферми-Паста-Улама.

    Как известно, задача Ферми-Паста-Улама состоит в том, что в одномерной цепочке осцилляторов, связанных слабыми нелинейными силами, энергия, первоначально сообщенная одной моде, вместо равномерного распределения по всем модам, периодически распределяется между несколькими модами. Эта периодичность или эффект памяти обусловлен существованием солитонов.

    Мне понадобилась информация об этих солитонах. Такую информацию я нашел в Лекции 2 на стр.12 книги Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. РХД. 2002 г. Научный редактор: член-корр. РАН В. В. Напалков. Рецензенты: Отдел дифф. уравн. Института математики УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор Л.А.Калякин; гл. науч. сотр. Института механики УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор А. В. Жибер Эта лекция доступна на http://shop.rcd.ru/details/250.

    К своему удивлению идентичный этой лекции текст я нашел на стр. 16 книги Р.Додд и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Под А.Б.Шабата М.Мир. г.1988.

    Ни Новокшенов, ни Додд не дают обяснения столь замечательному совпадению. Возможно это явление обусловлено эффектом памяти в задаче Ферми-Паста-Улама ?
    Ответить
  • oriensgemma  | 27.06.2006 | 14:34 Ответить
    есть постоительный предел для мысле формы это пылинка - нитка - сетка - клетка.
    в этой редакции солитон - струна - дуальный объект - трёх гранная пирамида.
    начало теории АД Линде про первые 10-30 секунд и подразумевают солитоновую "пену" а дальше по нарастающей ......
    Ответить
Написать комментарий

Другие новости


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»