Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Методология науки
Избранное
Публичные лекции
Лекции для школьников
Библиотека «Династии»
Интервью
Опубликовано полностью
В популярных журналах
Из Книжного клуба
Статьи наших друзей
Статьи лауреатов «Династии»
Выставка
Происхождение жизни
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»



ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке
на Youtube
в Instagram



Новости науки

 
20.02
Экстракт из старых сородичей ускоряет старение

16.02
Открыт бензольный дикатион — пирамида с шестикоординационным углеродом

15.02
Детектор ATLAS увидел рассеяние света на свете

14.02
Кембрийское ископаемое Saccorhytus поместили в основание эволюционной линии вторичноротых

13.02
Эволюционные последствия генных дупликаций удалось оценить количественно






Главная / Библиотека / Избранное версия для печати

Пётр Турчин,
Коннектикутский университет

Приложение. Моделирование структурно-демографических механизмов

Вид Земли из космоса ночью. Косвенный показатель плотности населения вкупе с экономической развитостью — яркость ночного света. Фото с сайта newsdesk.si.edu
Вид Земли из космоса ночью. Косвенный показатель плотности населения вкупе с экономической развитостью — яркость ночного света. Фото с сайта newsdesk.si.edu

Модель 1. Динамика численности населения и внутренних конфликтов в аграрных империях

Пусть N(t) — численность населения в момент времени t; S(t) — накопленные государственные ресурсы (которые мы можем измерять в каких-либо реальных единицах, например в тоннах зерна); а W(t) — интенсивность внутренних вооруженных конфликтов (оцениваемая, например, как доля смертности, вызываемая такими конфликтами). Чтобы начать выведение уравнений, предположим, что функция зависимости душевой нормы избыточной продукции с от численности населения N убывающая (это закон падения прибыли Рикардо; Ricardo 1817). Предположив для простоты, что эта функция линейна, получим

ρ(N) = c1(1 — N/K)

Здесь c1 — некий постоянный коэффициент пропорциональности, а K — численность населения, при которой избыточная продукция равна нулю. Таким образом, при N > K избыточная продукция отрицательна (население производит меньше пищи, чем ему необходимо для самоподдержания). Чтобы вывести формулу для N, начнем с экспоненциального уравнения (Turchin 2003a):

dN/dt = rN,

а затем преобразуем его, предположив, что удельная скорость роста популяции (в пересчете на душу населения) представляет собой линейную функцию от душевой нормы избыточной продукции, то есть r = c2с(N). Принимая оба эти предположения, мы приходим к логистической модели популяционного роста:

dN/dt = r0N(1 – N/K)               (1)

где r0 = c1c2 есть скорость роста населения в оптимальных условиях (intrinsic rate of population growth), а параметр K, как мы теперь видим, представляет собой емкость среды (Gotelli 1995).

Государственные ресурсы, S, меняются в зависимости от соотношения государственных доходов и государственных расходов. Если государство собирает постоянную долю избыточной продукции в виде налогов, то его доходы составляют c3с(N)N, где с(N)N — это суммарная избыточная продукция (то есть душевая норма избыточной продукции, помноженная на численность населения), а c3 — доля избыточной продукции, собираемая в виде налогов. Здесь предполагается, что государственные расходы пропорциональны численности населения. Основание для этого предположения состоит в том, что по мере роста численности населения государство должно тратить больше ресурсов на армию, органы охраны порядка, бюрократический аппарат и общественные работы. Суммируя все эти процессы, получим

dS/dt = ρ0N(1 – N/K) – βN               (2)

где ρ0 = c1c3 есть налогообложение на душу населения при низкой плотности, а β — государственные расходы в пересчете на душу населения.

Интенсивность вооруженных конфликтов, W, в отсутствие государства определяется равновесием частот инициации конфликтов и завершения конфликтов. Во-первых, предположим, что частота инициации конфликтов пропорциональна квадрату плотности населения. Эта формула выведена нами по аналогии с химической кинетикой (а также с членом уравнения Лотки–Вольтерры, отражающим смертность жертв в результате хищничества). Частота, с которой один индивидуум встречается с другим, что может привести к конфликту между ними, пропорциональна N, а суммарная частота встреч в популяции пропорциональна N2. Аналогия здесь крайне грубая, потому что, разумеется, причины человеческих конфликтов намного сложнее, но она служит удобной отправной точкой для моделирования (мы подставляли на место этой формулы и другие и получали при этом качественно идентичные результаты).

Во-вторых, предположим, что интенсивность конфликтов, в отсутствие событий, которые их инициируют, постепенно экспоненциально убывает с коэффициентом b. Это предположение отражает инертность вооруженных конфликтов: их интенсивность не может сойти на нет в одночасье, даже если прекратится действие всех факторов, вызывающих эти конфликты.

В-третьих, наличие государства должно оказывать ограничивающее действие на интенсивность внутренних вооруженных конфликтов. Мы моделируем этот процесс, предполагая, что W убывает пропорционально государственным ресурсам, S. Исходя из этих трех предположений, получаем следующее уравнение для показателя W:

                     (3)

Последняя составляющая обсуждаемой модели — петля обратной связи между W и N. Мы моделируем действие W и на демографию, и на производственные возможности общества. Демографический эффект моделируется исходя из предположения о том, что дополнительная смертность пропорциональна W. Кроме того, мы предполагаем, что на K, емкость среды, негативно влияют вооруженные конфликты: K(W) = kmax – cW. Совмещая все эти предположения воедино, получаем следующие уравнения:

           (4)

Для всех фигурирующих здесь переменных допустимы лишь неотрицательные значения.

Динамика, предсказываемая моделью (4), проиллюстрирована на рис. 7. В начале цикла происходит рост как численности населения (N), так и государственных ресурсов (S). Рост S подавляет внутренние вооруженные конфликты, в результате чего емкость среды K(W) возрастает до верхнего предела kmax. В то же время дополнительная смертность, вызываемая вооруженными конфликтами, снижается до нуля. Это приводит к быстрому росту N. Однако при некоторой численности населения, намного раньше, чем N приближается к kmax, прекращается рост государственных ресурсов (потому что государственные доходы отстают от государственных расходов), и S начинает падать с возрастающей скоростью, быстро достигая нуля. Распад государства приводит к росту внутренних вооруженных конфликтов, показатель которых быстро достигает максимального значения. Это означает, что K(W) снижается, а смертность повышается, что приводит к резкому снижению плотности населения. Сниженная численность населения постепенно делает возможным возобновление роста S, благодаря которому снижается W и начинается новый цикл.

Модель 2. Влияние динамики численности элит на численность населения и политическую нестабильность

В реальных аграрных обществах население не однородно, а разделено на классы. Чтобы проверить, как включение классовой структуры влияет на политико-демографические процессы, введем в модель деление населения на два социально-экономических слоя: простой народ и элиту. Простой народ производит продукт, элита изымает часть продукта на собственые нужды и нужды государства.

Исходные предпосылки модели заключается в следующем. Имеются три структурных переменных: численность простонародья (крестьян), численность элиты и накопленные государственные ресурсы. Рост численности простых людей приводит к уменьшению получаемого продукта на душу населения. Чтобы связать продукцию с динамикой населения, я предполагаю, что удельная скорость роста простого народа пропорциональна количеству ресурсов, доступных каждому работнику. Если ресурсы в расчете на одного крестьянина превышают некоторый порог, то численность крестьян увеличивается. С другой стороны, если изымается слишком высокая доля продукции, то численность крестьян уменьшается. Часть продукции изымается у крестьян на нужны государства.

Ключевой элемент модели — степень принуждения, которую элита способна применить по отношению к крестьянам. При низкой численности элиты, степень принуждения (и, таким образом, доля ресурсов, отнимаемая у крестьян) прямо пропорциональна численности элиты. Однако когда численность элиты увеличивается, знать не может отчуждать большее количество ресурсов чем то, что произведено. Таким образом, хотя увеличение численности элиты позволяет отчуждать у крестьян большую долю продукции, способность элиты отчуждать ресурсы уменьшается с ростом ее численности и ее душевой доход падает.

Динамика численности элиты смоделирована таким же образом, как динамика численности крестьян. Если душевые ресурсы элиты велики, то она растет путем самовоспроизведения и пополнения из среды простых людей. Если душевые ресурсы малы, то элита сокращается в результате сокращенного воспроизводства, увеличенной смертности и потери элитарного статуса. Однако очевидно, что пороговое количество ресурсов, необходимое для поддержания и воспроизведения элитного семейства, намного превышает соответствующий параметр для простого народа.

Как и в базовой модели, государственные ресурсы изменяются в результате взаимодействия доходов и расходов. По части доходов я предполагаю, что отчужденные ресурсы делятся между элитой (рента) и государством (налоги). Однако когда ресурсы, отчужденные у крестьян, достаточны для сохранения ожидаемого элитой уровня потребления, то она передает собранные налоги государству. Поскольку численность элиты растет, и каждое ее семейство получает уменьшающееся количество ресурсов для своего поддержания и воспроизводства, элита «прикарманивает» увеличивающуюся долю налогов. В истории знать использовала разнообразные приемы присвоения доходов государства. Во-первых, аристократы подавали властям прошения относительно налоговых послаблений, жалуясь на бедность. Во-вторых, они часто просто не передавали налоги государству, сохраняя их для себя (в том случае, когда землевладельцы сами собирали налоги). В-третьих, члены элиты в качестве должностных лиц использовали коррупцию, чтобы перевести предназначенные государству налоги в свои карманы и в сундуки своего клана. Во всех случаях конечный результат был одинаков: по мере того, как элиты беднели, государство получало уменьшающуюся долю продуктов, отчужденных у простого народа. Я моделирую эту динамику, предполагая, что каждое элитное хозяйство сохраняет ресурсы, необходимые, для поддержания себя, а затем передает установленную долю излишка государству.

Далее, по аналогии с выводом базовой модели я предполагаю, что расходы государства растут линейно с численностью элиты, потому что государство должно обеспечить ее членам занятость как офицерам, чиновникам и священникам (жрецам). Государственные расходы, связанные с увеличением численности простого народа, незначительны по сравнению с запросами элиты (добавление расходов, связанных с нуждами простого народа, усложняет модель и не влияет на результат).

На основе этих предпосылок разработано несколько моделей. В одной из них, названной моделью эгоистичной элиты, предполагается, что элита угнетает простых людей, несмотря на их бедность, и передает налоги государству только в том случае, если она удовлетворила собственные требования.

Численное исследование этой модели показало, что она дает три вида динамики населения и государства. Во-первых, для некоторых значений параметров элита не может получить установленную норму продукции и вымирает. Во-вторых, для некоторых значений параметров государство никогда не получает развития и траектория приближается к безгосударственному равновесию. В этом случае рост численности простых людей создает достаточную ресурсную базу, позволяющую элите быстро расти. Государство растет параллельно с начальной экспансией элиты. Однако поскольку элита растет, то все большее соотношение извлеченного продукта идет на то, чтобы поддерживать ее на минимальном уровне, и доля продукта для государства начинает уменьшаться. В то же время требования элиты к государству растут, и в некоторой точке расходы начинают превышать доходы. Также как в базовой модели, это, в конечном счете, ведет к краху государства. Тем временем, запросы элиты на произведенные крестьянами ресурсы становится настолько большими, что крестьяне остаются с недостаточным для поддержания жизни количеством продовольствия. В результате чрезмерного угнетения численность крестьян начинает уменьшаться. После наступления коллапса последующий период анархии характеризуется интенсивной эксплуатацией крестьян и ожесточенными конфликтами внутри элиты. В результате численность обеих популяций после некоторых колебаний приближается к равновесию. Режим одноразового государственного формирования/краха с дальнейшим безгосударственным равновесием (в отсутствии возмущений) — это динамика, типичная для большинства комбинаций параметров модели эгоистической элиты. Однако для некоторых значений параметров модель эгоистичной элиты демонстрирует третий вид поведения, в котором система подвергается устойчивым предельным циклам: формирование государства, крах, период анархии, затем другой эпизод формирования государства (Турчин 2007: рис. 7.3b). Один из способов смещения системы от устойчивого безгосударственного равновесия к повторяющимся циклам в том, чтобы увеличить показатель смертности элиты в отсутствии государства. Это изменение позволяет элитам быстро вымереть и сократиться до столь низкой численности, которая создает условия для увеличения крестьянского населения.

Динамика, которую не предсказывает модель эгоистичной элиты, — это возможность существования устойчивого равновесия между крестьянами и элитами при сформировавшемся государстве. Причина этого в том, что если численность элиты находится в равновесии с численностью простого народа, то она использует все отчуждаемые у народа ресурсы на собвтенные нужны, не передавая их государству. Очевидная модификация модели, ведущая к равновесию с сохранением государства, состоит в разрешении государству собрать не излишки элиты, а установленную долю общего продукта, отчужденного элитами у простых людей.

Этот результат вызывает вопрос. Модель предполагает, что даже в том случае, когда экономическая позиция элиты настолько отчаянная, что ее численность снижается, она не пытается черпать из потока налогов, движущихся от крестьян к государственной казне. В большинстве аграрных обществ сбором налогов управляли представители элиты. Вероятно предположить, что большинство аристократов будет чувствовать большую солидарность со своей семьей и кланом, нежели с государством. Таким образом, я думаю, что этот тип модели «самоотверженной элиты» — не очень реалистическое описание для большинства существовавших в истории аграрных государств.

Анализ моделей показывает, что предсказанная динамика населения и циклы крушения государства определяются, прежде всего, предположениями, которые мы делаем относительно элит. Этот теоретический результат поддерживает доводы о том, что элиты играют ключевую роль в крахе государства (Goldstone 1991).

Развитие моделей того, как характеристики элиты воздействуют на динамику государства, показало, что главные параметры, воздействующие на продолжительногсть цикла — максимальная скорость роста элиты и скорость роста минимального приемлемого для нее дохода. Быстрые циклы с периодом приблизительно в одно столетие (Турчин 2007: рис. 7.4а), получаются для высоких скорости прироста элиты (порядка 8%, что можно считать характерным для полигамных элит мусульманских стран). Рост численности простого народа замедляется периодическими распадами государства, но это влияние незначительно. Численное исследование параметров модели показало, что количество простого народа снижается более явно, когда мы увеличиваем способность элиты извлекать ресурсы (увеличивая максимальную долю продукции простых людей, которая может быть отчуждена элитой).

Эмпирическая проверка предсказаний этой модели была проведена А. В. Коротаевым (Korotayev, Khaltourina 2006) в исследовании динамики численности населения средневекового Египта. Он показал, что в VII веке со сменой христианства на ислам в Египте сократилась продолжительность циклов с многовековых до менее чем столетних (средняя продолжительность циклов 70–80 лет в период с VII по XVIII век).


Комментарии (27)


 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия