Теория противоречивости бытия

Александр Музыкантский
«В мире науки» №3, 2007

Теория противоречивости бытия (изображение: «В мире науки»)

Когда речь заходит о самых выдающихся открытиях ХХ века, обычно называют теорию относительности Эйнштейна, квантовую механику, принцип неопределенности Гейзенберга. Однако многие крупные ученые — математики и философы — к числу величайших достижений научной мысли минувшего столетия относят и теорему Гёделя. Ведь если эпохальные прорывы в области физики дали возможность человеческому разуму постичь новые законы природы, то работа Гёделя позволила лучше понять принципы действия самого человеческого разума, и оказала глубокое влияние на мировоззрение и культуру нашей эпохи.

Кто же такой Гёдель?

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Австро-Венгрии, в моравском городе Брно (в ту пору он назывался Брюнн). В 18 лет он поступил в Венский университет, где сначала изучал физику, но через два года переключился на математику. Известно, что такая смена научных интересов произошла во многом под влиянием книги Бертрана Рассела «Введение в философию математики». Еще одним источником, оказавшим существенное влияние на формирование Гёделя как ученого, было его участие в работе «Венского кружка». Под этим именем в историю науки вошло собрание блестящих ученых — математиков, логиков, философов, которые регулярно собирались в Вене с конца 20-х и до середины 30-х гг. прошлого века. В работе Венского кружка в разное время участвовали такие ученые, как Рудольф Карнап, Отто Нейрат, Герберт Фейгль, Мориц Шлик. С их деятельностью связывают становление философского позитивизма. Но фактически тематика кружка охватывала осмысление общего места научного знания в познании природы и общества. Несколько международных конференций, организованных в разных европейских научных центрах, позволяют говорить о выдающейся роли, которую сыграл венский кружок в становлении фундаментального научного знания ХХ века. Курт Гёдель принимал участие практически во всех «четверговых» заседаниях кружка и в организованных им международных конференциях. Деятельность кружка в Австрии прервалась в 1936 году, когда его руководитель Мориц Шлик был убит студентом-нацистом на ступенях Венского университета. Большинство членов кружка эмигрировали в США. Туда же перебрался и Курт Гёдель. Со временем он получил американское гражданство, работал в Институте высших исследований в Принстоне. В том же городе он и умер в 1978 году. Такова была внешняя канва его жизни. Знакомые и коллеги по работе запомнили его как человека замкнутого, болезненно ранимого, отрешенного от окружающего мира, полностью погруженного в свои мысли.

Курт Гёдель (1906—1978). Фото: «В мире науки»
Курт Гёдель (1906—1978). Фото: «В мире науки»

О том, что логическое постижение мира занимало главное место в жизни ученого, говорит любопытная деталь его биографии. В 1948 году, когда решался вопрос о получении им американского гражданства, Гёдель должен был в соответствии с принятой процедурой сдать что-то вроде устного экзамена по азам американской конституции. Подойдя к вопросу со всей научной добросовестностью, он досконально изучил документ, и пришел к выводу, что в США законным путем, без нарушения конституции может быть установлена диктатура. Подобное открытие чуть не стоило ему провала на испытаниях, когда он вступил в дискуссию с принимавшим зачет чиновником, который, разумеется, считал основной закон своего государства величайшим достижением политической мысли. Друзья, среди которых был Альберт Эйнштейн, выступивший одним из двух поручителей Гёделя при получении им гражданства, уговорили его повременить с развертыванием своей аргументации хотя бы до принесения присяги. Позднее история получила любопытный эпилог: четверть века спустя другой американец, Кеннет Эрроу, удостоился Нобелевской премии за доказательство в общем виде утверждения, к которому пришел Гёдель, изучив американскую конституцию.

Что же доказал Гёдель?

Прежде чем перейти к изложению теоремы, обессмертившей имя Гёделя, необходимо хотя бы вкратце рассказать о том, перед какими проблемами оказалась к концу 20-х годов прошлого века математика, точнее, ее раздел, выделившийся на рубеже XIX—ХХ вв. и получивший название «основания математики».

Но вначале, пожалуй, стоит остановиться на школьном курсе геометрии, который и сейчас во многом повторяет «Начала» Евклида, написанные более 2 тыс. лет тому назад. В традиционных учебниках сначала приводятся некоторые утверждения (аксиомы) о свойствах точек и прямых на плоскости, из них путем логического построения в соответствии с правилами «аристотелевской» логики выводится справедливость разных важных и полезных геометрических фактов (теорем). Например, одна из аксиом утверждает, что через две точки проходит одна и только одна прямая, другое утверждение — знаменитый пятый постулат, от которого отказался Лобачевский в своей неевклидовой геометрии, — касается параллельных прямых, и т. д. Истинность аксиом принимается как нечто очевидное и не требующее доказательств. Заслуга греческого геометра в том, что он постарался изложить всю науку о пространственном расположении фигур как набор следствий, вытекающих из нескольких базовых положений.

В конце XIX века все пробелы евклидовых «Начал» (с точки зрения возросших требований математиков к строгости и точности своих рассуждений) были заполнены. Итогом новейших исследований стала книга немецкого математика Давида Гильберта «Основания геометрии».

Успех методики Евклида побудил ученых распространить его принципы и на другие разделы математики. После геометрии настала очередь арифметики. В 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано впервые сформулировал аксиомы арифметики, казавшиеся до смешного очевидными (существует нуль; за каждым числом следует еще число и т. д.), но на самом деле абсолютно исчерпывающие. Они играли ту же роль, что и постулаты великого грека в геометрии. Исходя из подобных утверждений, с помощью логического рассуждения можно было получить основные арифметические теоремы.

В тот же период немецкий математик Готлиб Фреге выдвинул еще более амбициозную задачу. Он предложил не просто аксиоматически утвердить основные свойства исследуемых объектов, но и формализовать, кодифицировать сами методы рассуждений, что позволяло записать любое математическое рассуждение по определенным правилам в виде цепочки символов. Свои результаты Фреге опубликовал в труде «Основные законы арифметики», первый том которого вышел в 1893 году, а второй потребовал еще десяти лет напряженной работы и был полностью завершен лишь в 1902 году.

С именем и научными изысканиями Фреге связана, пожалуй, одна из самых драматических историй в развитии науки о числах. Когда второй том был уже в печати, ученый получил письмо от молодого английского математика Бертрана Рассела. Поздравив коллегу с выдающимися результатами, Рассел, тем не менее, указал на одно обстоятельство, прошедшее мимо внимания автора. Коварным «обстоятельством» был получивший впоследствии широкую известность «парадокс Рассела», представлявший собой вопрос: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом? Фреге не смог немедленно разрешить загадку. Ему не оставалось ничего другого, как только добавить в послесловии к выходящему из печати второму тому своей книги полные горечи слова: «Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение...» Огорченный математик взял академический отпуск в своем университете, потратил массу сил, пытаясь подправить свою теорию, но всё было тщетно. Он прожил еще более двадцати лет, но не написал больше ни одной работы по арифметике.

Однако Расселу удалось вывести вариант формальной системы, позволяющий охватить всю математику и свободный от всех известных к тому времени парадоксов, с опорой именно на идеи и работы Фреге. Полученный им результат, опубликованный в 1902 году в книге Principia Mathematica (написанной совместно с Алфредом Нортом Уайтхедом), фактически стал аксиоматизацией логики, а Давид Гильберт считал, что его «можно рассматривать как венец всех усилий по аксиоматизации науки».

Была и еще одна причина столь пристального интереса математиков к основаниям своей дисциплины. Дело в том, что на рубеже XIX и ХХ столетий в теории множеств были обнаружены противоречия, для обозначения которых был придуман эвфемизм «парадоксы теории множеств». Наиболее известный из них — знаменитый парадокс Рассела — был, увы, не единственным. Более того, для большинства ученых было очевидно, что за открытием новых странностей дело не станет. Их появление оказало на математический мир, по выражению Гильберта, «катастрофическое воздействие», поскольку теория множеств играла роль фундамента, на котором возводилось всё здание науки о числах. «Перед лицом этих парадоксов надо признать, что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце надежности и истинности — понятия и умозаключения, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?», — сокрушался Гильберт в своем докладе на съезде математиков в июне 1925 года.

Таким образом, впервые за три тысячелетия математики вплотную подошли к изучению самых глубинных оснований своей дисциплины. Сложилась любопытная картина: любители цифр научились четко объяснять, по каким правилам они ведут свои вычисления, им оставалось лишь доказать «законность» принятых ими оснований с тем, чтобы исключить любые сомнения, порождаемыми злополучными парадоксами. И в первой половине 20-х годов великий Гильберт, вокруг которого сложилась к тому времени школа блестящих последователей, в целой серии работ наметил план исследований в области оснований математики, получивший впоследствии название «Геттингенской программы». В максимально упрощенном виде ее можно изложить следующим образом: математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:

  1. Математика является полной, т.е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.
  2. Математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.
  3. Математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.

Фактически программа Гильберта стремилась выработать некую общую процедуру для ответа на все математические вопросы или хотя бы доказать существование таковой. Сам ученый был уверен в утвердительном ответе на все три сформулированные им вопроса: по его мнению, математика действительно была полной, непротиворечивой и разрешимой. Оставалось только это доказать.

Более того, Гильберт полагал, что аксиоматический метод может стать основой не только математики, но и науки в целом. В 1930 году в статье «Познание природы и логика» он писал: «...даже в самых обширных по своему охвату областях знания нередко бывает достаточно небольшого числа исходных положений, обычно называемых аксиомами, над которыми затем чисто логическим путем надстраивается всё здание рассматриваемой теории».

Какими были бы для дальнейшего развития науки последствия успеха Гильберта и его школы? Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к системе аксиом, то их можно было бы ввести в вычислительную машину, способную по программе, следующей общим логическим правилам, обосновать любое утверждение (то есть доказать теорему), вытекающее из исходных утверждений.

Будь теория Гильберта реализована, работающие в круглосуточном режиме суперкомпьютеры непрерывно доказывали бы всё новые и новые теоремы, размещая их на бесчисленных сайтах «всемирной паутины». Вслед за математикой «аксиоматическая эпоха» наступила бы в физике, химии, биологии и, наконец, очередь дошла бы и до науки о человеческом сознании. Согласитесь, окружающий нас мир, да и мы сами, выглядели бы в подобном случае несколько иначе.

Однако «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мира, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гёдель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет.

В 1930 году на конференции, организованной «Венским кружком» в Кенигсберге, он сделал доклад «О полноте логического исчисления», а в начале следующего года опубликовал статью «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах». Центральным пунктом его работы были формулировка и доказательство теоремы, которая сыграла фундаментальную роль во всём дальнейшем развитии математики, и не только ее. Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто». Тем самым Гёдель дал отрицательный ответ на первое утверждение, сформулированное Гильбертом.

Любопытно, что на этой же конференции с докладом на тему «Каузальное знание и квантовая механика» выступил Вернер Гейзенберг. В этом докладе были намечены первые подходы к его знаменитым «соотношениям неопределенности».

Выводы Гёделя произвели в математическом сообществе эффект интеллектуальной бомбы. Тем более что вскоре на их основе были получены опровержения двух других пунктов программы Гильберта. Оказалось, что математика неполна, неразрешима, и ее непротиворечивость нельзя доказать (в рамках той самой системы, непротиворечивость которой доказывается).

Теорема Гёделя

С тех пор прошло три четверти века, но споры о том, что же всё-таки доказал Гёдель, не утихают. Особенно жаркие прения идут в околонаучных кругах. «Теорема Гёделя о неполноте является поистине уникальной. На нее ссылаются всякий раз, когда хотят доказать «всё на свете» — от наличия богов до отсутствия разума», — пишет выдающийся современный математик В. А. Успенский.

Если оставить в стороне многочисленные подобные спекуляции, то нужно отметить, что ученые разделились в вопросе оценки роли Гёделя на две группы. Одни вслед за Расселом считают, что знаменитая теорема, которая легла в основу современной математической логики, тем не менее, оказала весьма незначительное влияние на дальнейшую работу за пределами данной дисциплины — математики как доказывали свои теоремы в «догёделевскую» эпоху, так и продолжают доказывать их и по сей день.

Что же касается фантасмагорического видения компьютеров, непрерывно доказывающих всё новые теоремы, то смысл подобной деятельности у многих специалистов вызывает большое сомнение. Ведь для математики важна не только формулировка доказанной теоремы, но и ее понимание, поскольку именно оно позволяет выявить связь между различными объектами и понять, в каком направлении можно двигаться дальше. Без такого понимания теоремы, генерируемые на основе правил формализованного вывода, представляют собой лишь своего рода «математический спам», — таково мнение сотрудника кафедры математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ Александра Шеня.

Похожим образом рассуждал и сам Гёдель. Тем, кто упрекал его в разрушении целостности фундамента математики, он отвечал, что по сути ничего не изменилось, основы остались по-прежнему незыблемыми, а его теорема привела лишь к переоценке роли интуиции и личной инициативы в той области науки, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для подобных достоинств.

Гёдель и Эйнштейн (фото: «В мире науки»)
Гёдель и Эйнштейн (фото: «В мире науки»)

Однако некоторые ученые придерживаются другого мнения. Действительно, если считать умение логически рассуждать основной характеристикой человеческого разума или, по крайней мере, главным его инструментом, то теорема Гёделя прямо указывает на ограниченность возможностей нашего мозга. Согласитесь, что человеку, воспитанному на вере в бесконечное могущество мысли, очень трудно принять тезис о пределах ее власти.

Скорее уж речь может идти об ограниченности наших представлений о собственных ментальных возможностях. Многие специалисты полагают, что формально-вычислительные, «аристотелевские» процессы, лежащие в основе логического мышления, составляют лишь часть человеческого сознания. Другая же его область, принципиально «невычислительная», отвечает за такие проявления, как интуиция, творческие озарения и понимание. И если первая половина разума подпадает под гёделевские ограничения, то вторая от подобных рамок свободна.

Наиболее последовательный сторонник подобной точки зрения — крупнейший специалист в области математики и теоретической физики Роджер Пенроуз — пошел еще дальше. Он предположил существование некоторых квантовых эффектов невычислительного характера, обеспечивающих реализацию творческих актов сознания. И хотя многие его коллеги критически относятся к идее наделить человеческий мозг гипотетическими квантовыми механизмами, Пенроуз со своими сотрудниками уже разработал схему эксперимента, который должен, по их мнению, подтвердить их наличие.

Одним их многочисленных следствий гипотезы Пенроуза может стать, в частности, вывод о принципиальной невозможности создания искусственного интеллекта на основе современных вычислительных устройств, даже в том случае, если появление квантовых компьютеров приведет к грандиозному прорыву в области вычислительной техники. Дело в том, что любой компьютер может лишь всё более детально моделировать работу формально-логической, «вычислительной» деятельности человеческого сознания, но «невычислительные» способности интеллекта ему недоступны.

Такова лишь небольшая часть естественнонаучных и философских споров, вызванных опубликованной 75 лет назад математической теоремой молодого Гёделя. Вместе с другими великими современниками он заставил человека иначе взглянуть на окружающий мир и на самого себя. Величайшие открытия первой трети ХХ века, в том числе теорема Гёделя, а также создание теории относительности и квантовой теории, показали ограниченность механистически-детерминистской картины природы, созданной на основе научных исследований двух предшествующих столетий. Оказалось, что и пути развития мироздания, и нравственные императивы подчиняются принципиально другим закономерностям, где имеют место и неустранимая сложность, и неопределенность, и случайность, и необратимость.

Однако последствия великого научного переворота не исчерпываются уже упомянутыми. К началу ХХ века идеи лапласовско-ньютоновского детерминизма оказывали огромное влияние на развитие общественных наук. Вслед за корифеями классического естествознания, представлявшими природу в виде жесткой механической конструкции, где все элементы подчиняются строгим законам, а будущее может быть однозначно предсказано, если известно текущее состояние, жрецы деятели общественных наук рисовали человеческое общество, подчиненное непреложным закономерностям и развивающееся в заранее заданном направлении. Одной из последних попыток сохранить подобную картину мира был, по-видимому, марксизм-ленинизм, приверженный концепции «единственно верного научного учения», составной частью которого было «материалистическое понимание истории». Достаточно вспомнить ленинскую идею построения социалистического общества по типу «большой фабрики».

Изображение: «В мире науки»

Постепенно с огромным трудом идеи о сложности, случайности, неопределенности, утвердившиеся в естественнонаучной картине мироздания, стали проникать и в социальные и гуманитарные науки. В обществе непредрешенность реализуется через феномен личной свободы индивидуума. Именно присутствие в природе человека в качестве субъекта, осуществляющего вольный и непредсказуемый выбор, делает исторический процесс сложным и не подчиняющимся никаким непреложным законам вселенского развития.

Однако нельзя не заметить, что обретение новой картины сложного мира в нашей стране происходило с огромным трудом. Господствовавшая семь десятилетий идеология тяготела к детерминизму лапласовского типа как философии всеобщего авторитарного порядка. Именно такой принцип предопределенности лежал в основе мечты, никогда не покидавшей правящую советскую бюрократию, об обществе-фабрике, управляемой жесткими законами иерархии. И поэтому всякий раз, как речь заходила о сложности, плюрализме, разнообразии, будь то теория относительности, квантовая механика, генетика, кибернетика, социологические исследования, психоанализ и т. д., — сразу включался механизм идеологической цензуры, который имел своей целью изгнать все упоминания о свободе и из природы, и из общества. Увы, косное наследие до сих пор мрачной тенью довлеет над умами многих наших соотечественников и современников. Свидетельством тому — инициируемые властью мучительные поиски новой «национальной идеологии», которая могла бы занять место, освободившееся в связи с кончиной коммунистической доктрины.

Так Курт Гёдель и его великие современники заставили нас по-новому взглянуть и на «звездное небо над головой, и на нравственный закон внутри нас», и на общество, в котором мы живем.


22
Показать комментарии (22)
Свернуть комментарии (22)

  • hrych  | 31.03.2007 | 19:31 Ответить
    Хорошая статья. Жаль только, что не приведено доказательство теоремы.
    А с выводами вообще что-то непонятно: это призыв ничего не планировать и не пытаться, что, мол, все равно все по воле случая?
    Вспоминается расхожая байка из серии "Американской мечты", как человек всю жизнь пролежал на диване в мечтах о миллионе, а потом "озарился" идеей крепления телефона на пояс и стал миллионером!
    Ответить
    • multan > hrych | 02.02.2011 | 22:38 Ответить
      Апокриф (в смысле – мой конспект лекций) гласит:
      Оригинальное (Гёделево) доказательство теоремы - 80 страниц текста.
      За 40 лет математики ужали его до 40 страниц. (Сам ни того ни другого доказательства я не видел)

      Доказательство Такахары (см. в книге Месарович, Такахара "Общая теория систем: математические основы") - треть страницы (+ три страницы лемм +надо разобраться в формализме, который сделал эту книгу мамой сложной математической книгой ХХ столетия). (Размеры этого доказательства я измерил лично – свидетельствую – размеры именно таковы)

      Есть, правда доказательство Светланы Новиковой (для систем в смысле Саймана) - один рисунок. Рисунок на полстраницы, но абсолютно простой, доказательство буквально на пальцах. Вот оно: на 02/02/2011 ссылка http://sic.ici.ro/sic1997_1/Th1.htm
      Доказательство на Figure 1. "Exact (grafical-number) image... ".

      Объяснение доказательства (Подпись под тем же рисунком в другой статье того же автора - и сети не выложенной)

      1. Каково бы ни было у системы число связей - вне системы их будет по крайней мере на одну меньше. Так что за конечное число шагов получаем систему, связи которой не определены (неопределимую в понятиях исходной системы). Что и показывает рисунок.

      Если число связей бесконечно - всё ещё проще: слабее связано = меньше связей. Если их число - бесконечно, то "меньше" = меньше мощность множества связей. (Это означает, что число всех чисел и число чётных - одно и тоже (=имеет одинаковую мощность). Это общеизвестный факт из теории множеств.) А число возможных мощностей бесконечных множеств - конечно (не более четырёх, насколько я помню). То есть за четыре шага мы приходим к конечному числу связей. (Математики это рубят без всяких комментариев, поэтому в подписи к рисунку и статье это не оговаривается)

      Всё. Теорема доказана

      2. Дополнительное объяснение. Доказательство проводится для систем в смысле Саймана. По-русски нужное значение можно примерно уловить как окоём, охват ): система в которой связи внутри системы сильнее внешних связей (ср. подпись под рисунком по ссылке)

      Теория множеств - система в смысле Саймана: поскольку элементы множества в принципе лишены структуры, то есть их внутренние связи бесконечно сильнее, чем связи между элементами.

      Т.о. доказательство покрывает все всех математические теории основанные на теории множеств.

      3. В данной статье система в смысле Саймана названа «системой (kind) c одноуровневым горизонтом» (горизонт = англ. Outlook = бел. cветагляд = далягляд = кругагляд (включите знание славянского). По-русски это можно приблизительно передать как «окоём», или в каком то смысле - «охват», но не «телом», а – «глазом». Понятие (помимо прочего) передаёт смысл теоремы Гёделя: для любой формальной системы кроме её собственных выражений («непосредственного охвата») существует внешний «круг» (набор выражений) – который можно увидеть (сформулировать), но нельзя достичь (проверить= подтвердить или опровергнуть). Причём развивает понимание: Теорема Гёделя доказывала существование одного внешнего выражения. Ясно, что их много. Понятие (английское и оригинальное - беларуское) и создаёт соответсвтующую картинку.

      И упаси вас Боги переводить world outlook по словарю как «мировоззрение». Получится бред: мировоззрение – как термин означат взгляд на вещь снаружи. Светагляд и outlook – изнутри. И в данной теории эта разница как раз существенная, ключевая, абсолютно необходимая. Не зря в беларуском понятие «светагляда» отличается от «светапогляда» (отличие именно в том, что «светапогляд» = мировоззрение)

      4. То же доказательство приведено ещё в 5-10 статьях. Все - по английски или по-беларуски. По-русски - не ищите: переводов нет и не будет из-за авторских прав.
      Ответить
  • mkoshelev50  | 02.04.2007 | 10:40 Ответить
    Статья действительно интересная. Но выводы ...?
    Действительно важна не только формулировка теоремы но и её понимание, которое проявляется в интерпритации.
    У автора странное понимание свободы.
    Возможности выбора у индивида весьма ограничены, покрайней мере в психологии это аксиома (см. У.Томаса) Человеческие действия, поступки, жизненный выбор просчитываются до движения руки и до произнесения той или иной фразы. (См.работу спецслужб). В любой ситуации у человека, возможность выбора 30 процентов, а вариантов действий как правило2-3.
    "Непредсказуемость выбора"- это или незнание объективных законов мироздания или идеологическая зашоренность автора.
    В вопросе о своде выбора, как во всём имеются две крайности, два полюса: полное отрицание своды выбора, или безграничная свобода выбора.Сегодня маятник отклонился до предела в в сторону последней позиции. Будем ждать когда он придёт в состояние устойчивого равновесия.
    Ответить
    • allex27 > mkoshelev50 | 08.05.2007 | 23:55 Ответить
      состояние устойчивого равновесия-состояние хаоса (См.второй закон термодинамики).
      Человеческие действия, поступки, жизненный выбор ПРИНЦИПИАЛЬНО НЕВОЗМОЖНО просчитать (См.принцип неопределенности Гейзенберга).
      Ответить
    • Vlad-mir > mkoshelev50 | 28.10.2011 | 12:30 Ответить
      Сам факт существования выбора, характеризует человеческую НЕ свободу. Потому что любой выбор это колебание из-за не знания или не понимания того, что для него является истинным (полезным). Просчитать "человеческие действия, поступки, жизненный выбор" становится возможным лишь в том случае, когда человек живет и действует в "закрытой" общепринятой системе мышления, которую необходимо сначала увидеть (определить факт нахождения исследуемого объекта в известной системе). Если же человек способен выходить за пределы "закрытой" системы, которая, в свою очередь, может быть закрытой для этого высшего уровня и так до бесконечности, то "просчет" его действий стремится к нулю, если просчитывающий субъект остается в пределах той "закрытой" системы, аксиомами которой он оперирует . В этом смысле "Непредсказуемость выбора" это аспект сознания, вектор которого постоянно направлен в бесконечность или к "максимуму" (Николай Кузанский), как врожденное свойство нашей сущности стремиться к абсолютной свободе и свойственен только творческому сознанию человека,в свою очередь, разум которого не зацикливается на той закрытой системе, в которой он в настоящее время находится.( а вот что именно "заставляет" человека "зацикливаться" это другой вопрос и не менее глубокий, уходящий своими корнями в стремление к небытию из-за подчиненности человеческого ума, воли, чувств причине побуждающей его к этому действию ...)
      Ответить
  • akiko  | 05.04.2007 | 13:34 Ответить
    А по-моему очень даже верный вывод сделан. Человек является непредсказуемым субъектом природы, но и в предсказуемом человеческом обществе (вплоть до просчитанного движения руки под пристальным вниманием спецслужб :-)) существуют индивидуумы которые в рамках принятой систмы не могут быть ни опровергнуты, не доказаны. А если заглянуть в историю то именно отдельные люди и делали исторический процесс.
    Ответить
  • britvin  | 21.04.2007 | 21:12 Ответить
    Если рассматривать"внематематическое"влияние теоремы Гёделя,то вряд ли стоит сводить проблему к"ограниченности наших представлений о
    собственных ментальных возможностях".И это ничего,что кому-то трудно принять тезис об"ограниченности возможностей нашего мозга",о пределах власти"бесконечно могущественной мысли".Если не отрицать того,что материя первична,а сознание вторично,то"могущество"сознания там и заканчивается,где исчезает материя(где она исчезает - другой вопрос).
    Что такое"НИЧЕГО"(т.е. отсутствие материи и её производных -времени и пространства)осознать невозможно,т.к. осознать - означает смоделировать в сознании,а СМОДЕЛИРОВАТЬ ПОСРЕДСТВОМ ВТОРИЧНОГО(сознания) ОТСУТСТВИЕ ПЕРВИЧНОГО(материи) НЕВОЗМОЖНО. (Простая иллюстрация: дерево - первично,бумага - вторична; взяв ножницы и клей,мы из бумаги не сможем смастерить непротиворечивую модель мира,в котором не существует деревьев - ибо,откуда же тогда взялась сама бумага,из которой всё смоделировано?)Т.е.,налицо принципиальная ограниченность возможностей сознания.Так что,эксперимент Пенроуза вряд ли даст планируемый результат.
    Ответить
    • allex27 > britvin | 09.05.2007 | 00:05 Ответить
      аксиома о первичности материи противоречит фундаментальным принципам логики и современным научным фактам.
      Ответить
      • britvin > allex27 | 09.05.2007 | 13:43 Ответить
        Конечно,первичность материи(также,как и сознания) - никакая не аксиома.Просто,люди,как правило,склонны к одному из двух основных типов мировоззрения.
        А на "современность" научных фактов ссылаться не годится,ибо
        "современность" - почти синоним "модности".
        Ответить
        • Vlad-mir > britvin | 28.10.2011 | 12:50 Ответить
          Но любое мировоззрение имеет свое материальное воплощение. Идея первичности материи воплотилась в атеистический гуманизм,который в свою очередь привел к всевозможного рода социальным катастрофам , в основе которых это абсолютизация человеческого разума. В аксиомах такого мышления всего навсего отсутствовал Первичный Разум, как начало всего сущего, в том числе и самой материи. Фейербаховская идея Бога "как стремления человеческого разума в бесконечность", по сути, отвергающая причину существования самого человеческого разума, а значит и фундамента, на котором и к которому он (разум) должен стремится лишает действия разума смысловой опоры со всеми вытекающими последствиями: обожествление человеческого разума,т.е создание идола, т.е. лжи об истинном порядке вещей.
          Ответить
  • olddaos  | 10.05.2007 | 19:26 Ответить
    Что меня всегда удивляло в такого рода рассуждениях--так это неправомерные обобщения...Все представители точных наук развивают свою дисциплину и находят в ней новые направления далеко не с помощью чисто формального автомата, генерирующего правила. Для совершения открытий они пользуются своим мозгом, механизм работы которого неизвестен никому. Поэтому и нельзя говорить о том, что Геделевская теорема определила какие-либо границы познания, которые (если ограничены) определяются возможностями этого самого органа. А математическая теорема ( и в частности, теорема Геделя) -- это элемент Математической Теории, и не больше. Поэтому по моему мнению разговоры о том, что многие великие математические результаты непосредственно применимы к другим научным дисциплинам и даже способны быть распространенными во вненаучную область -- это просто схоластика и словоблудие. Поправьте меня, если я не прав.
    Ответить
    • Ches > olddaos | 15.05.2007 | 16:36 Ответить
      Надеюсь Вы знакомы с историей науки. Будете ли Вы отрицать связь геометрии Фалеса и его последователей с логикой и философией, а также влияние геометрии на Аристотелевскую логику?
      Насколько я помню, ученики греческих философов учились логически мыслить изучая геометрию. И именно в геометрии логика обрела свою доказательную силу.
      Если Вы признаете указанные связь и влияние, то связь логики с методологией научного мышления и познания, как естественных, так и гуманитарных наук, тем более очевидна.
      Лично мне это позволяет считать, что подобное влияние математики на общественное сознание (особенно научное) уже имело место быть, а потому возможно и в наше время.
      Насколько указанная теорема имеет общеметологический характер проверяется путем оценки результатов применения ее к другим научным направлениям. Если она позволяет нащупать новые подходы, открыть новые горизонты развития, то, тем самым доказывается ее общеметодологический характер.
      Можно выдвинуть предположение, что также, как в свое время геометрия дала импульс развитию рационализма, основанному на логике, точно также методология математики данной теоремой демонстрирует пределы рационализма, оставляя место для других способов познания, которые существовали задолго до осознания человечеством законов логики, и чья познавательная сила выглядит сейчас менее убедительной на фоне результатов "фабрики по производству знаний", именуемой логикой.
      Что касается выводов автора статьи, то, по-моему, он увлекся фантазированием, пытаясь продемонстрировать ее методологический потенциал. Но без этого в науке, вполне возможно, не обойтись. Есть предмет для критики.
      Ответить
    • сталинГ > olddaos | 19.08.2007 | 02:10 Ответить
      Если даже теория Г "лишь элемент",то это не факт отрицающий её реальность..реальность.и.истинность её ПРИМЕНЕНИЯ И потому определение"схоластичности,словоблудия"-скорее эмоциональное несогласие с ФАКТОМ,доказывающим свою истинность в строго локальной области.
      Собственно Гедель и говорит об относительности понятийных реалий..Об их взаимозависимости и НЕЗАМКНУТОСТИ на каждой внутри себя.
      Ответить
  • jeremiahduggan  | 22.05.2007 | 17:22 Ответить
    http://www.larouchepub.com/russian/phys_econ/physec_chap_2.html
    Ответить
  • VX  | 08.01.2008 | 11:32 Ответить
    Называется "смешали в кучу коней и людей". Начали с науки, закончили мировоззренческими убеждениями автора, которому "не нравится" Маркс, материализм, идея искусственного интеллекта и вообще рационализм.

    Что доказал Гедель? Недостаточность КОНЕЧНОГО множества аксиом. Аксиомы вводим мы сами. Это своего рода инструмент измерения окружающего мира. Имея в руках эталонный метр, мы предполагаем "все есть длина" (одномерная величина) и начинаем измерять. Рано или поздно мы сталкиваемся с двухмерным явлением и вынуждены ввести еще одно определение (аксиому) - площадь (не идеальный квадратный метр, а саму идею. Воспользовавшись принципом индукции, мы можем определить размерность как таковую, после чего столкнемся со структурным явлением, для которого нужно вводить другие аксиомы. И ТАК ДАЛЕЕ.

    То есть, в принципе, Гедель показал, что возможность применения конечного множества инструментов (аксиом) всегда ограничена, рано или поздно возникнет потребность в формулировке новых, которые в свою очередь можно будет использовать для новых применений и так далее. Следовательно:
    - разрешить все задачи в принципе конечными средствами невозможно; и наряду с тем
    - для любой конкретной задачи можно сформулировать набор инструментов, с помощью которого она может быть решена.

    Критики рационализма делают не что иное, как подмену понятий: открытую развивающуюся систему - разум, позволяющий формулировать аксиомы, они подменяют замкнутым конечным автоматом и показывают всю нелепость такой подмены (которую сами же и осуществили). То есть, говорят они, если изолированный компьютер не может что-то сделать, то и человеку над этим думать бесполезно, наука как таковая "ничего не решает", а следует молиться или лизать пятки гуру. Обыкновенный иррационализм.

    Аргументы о невычислимости - излюбленный конек всяческих противников ИИ и сторонников метафизических теорий, вроде Пенроуза. То есть, утверждают они, раз человеческий разум придумывает что-то новое, а компьютер только жует заложенные к него байты, то и смоделировать разум невозможно. Ага, поскольку не будет связи с астралом:) Щас!

    Этим самым "астралом", "загадочным" источником неопределенности, является вполне реальный внешний мир. Только во взаимодействии с миром рождается то, что принято называть разумом. И "человечность" разума определяется качеством этого взаимодействия. Лишенный обратной связи мозг попросту уснет мертвым сном, если биологически и не умрет, то будет бесконечно получать по внешним каналам все те же 00, из которых никакого разума не получится.

    Таким образом, возникают совершенно другие выводы. Что свобода интеллекта проистекает не из его внутреннего "бесконечно сложного" устройства, в поисках которого пенроузы лезут на квантовый уровень, а из открытости внешнему миру. Что проявляется, а следовательно и существует, разум исключительно во взаимодействии и в действии как таковом. Что его носителем является вполне материальная и принципиально воспроизводимая (моделируемая) система, которой необходим всего лишь подходящий источник внешних данных - пока они поступают, система развивается. Что Декарт все-таки был прав. И что Свобода - это не изоляция, а взаимодействие, баланс между порядком и хаосом.

    Кстати, воспроизводимость субъекта - это прямое следствие его материальных ограничений. Объем структуры, которую необходимо воспроизвести для эффективной функциональности, вполне ограничен. Квантовые и другие метафизические бредни не опровергают законы эволюции (как правило, иррационалисты не хотят происходить от животных, но это их проблемы), а опровергаются ими. Атомы, которые составляют процессор, содержат такие же электроны, которые подчиняются тем же квантовым эффектам, что и атомы в нейронах человеческого мозга. Вот только влияние квантового шума на эти системы устраняется механизмами избыточной надежности. В процессоре - искусственными (которые чем меньше масштаб, тем сложнее реализовать), в мозгу - естественными, выдержавшими миллионы лет эволюции. Что там квантовая, даже генетическая информация в природе многократно продублирована и содержит кучу унаследованного мусора из жизни предков. А это несколькими уровнями выше. Все эти пенроузы часто забывают, что весь биологический процесс - это непрерывный круговорот атомов (и гораздо более крупных молекулярных структур) в организме, которые регулярно приходят извне, движутся по законам химии и биохимии и уходят из организма, и за жизнь человека они полностью сменяются несколько раз. Мне кажется, что желание любыми средствами доказать, что "я" - это крошечный электрон или что-то запредельное, а не продукт взаимодействия несмышленого носителя с общественным разумом - это не более чем отчаянная попытка оправдать свой эгоцентризм, мол, это не я, это "оно", а я где-то там в облаках и не меняюсь. Извращенное понимание свободы.

    Тем более нелепыми являются аргументы, якобы, для воспроизведения разума его необходимо "полностью понять", что, разумеется, невозможно и следовательно, задача не имеет решения. Такие рассуждения - бред сивой кобылы. Для воспроизведения системы необходимо всего лишь воспроизвести ее определяющие свойства. Это сообщение я сейчас отправлю по абсолютно неразумным каналам, которые вовсе не обязаны его понимать. Компьютеры, которые его обрабатывают, не то что не понимают русского языка, на них даже кодировка такая может быть не установлена, важно, что данные передаются. "Понимать" - задача получателя информации, но не среды ее передачи. Как говорят американцы, если ты выглядишь как утка, крякаешь как утка, плаваешь как утка, жрешь то что жрет утка, то ты и есть утка. То же в отношении ИИ. Что считать интеллектом, а что не считать, это не более чем принятая в обществе "аксиома".

    Глупо полагать, будто решив конкретную задачу конкретными средствами - разработав альтернативный способ воспроизводства носителей интеллекта и улучшив возможности интеллекта существующего (что происходит уже давно и непрерывно - сначала естественным путем, а теперь искусственным), мы в один прекрасный момент решим ВСЕ проблемы и не сможем ставить новые (это как раз и опроверг Гедель). Но любые конкретные проблемы, которые мы можем сформулировать, принципиально разрешимы - главное задать эти самые аксиомы. Псевдонаучных же "проблем" всегда можно насобирать целый ворох и сокрушаться над их "неразрешимостью", например - "я-сегодняшний это я-вчерашний или нет?". Впрочем, для человека разумного эти "проблемы" не препятствия, а инструменты для развития мышления и генераторы аксиом для общества. Сегодня считается, что "я" уникален и определяется состоянием тела, а "я-вчерашний" юридически равен "я-сегодняшнему", но любая система конечных правил имеет свои ограничения (опять Гедель), что показал еще Христос своей идеей всепрощения против реактивной мести (то есть, что я-сегодняшний может измениться и избавиться от наследия я-вчерашнего), и если общество, зацикленное на статичных правилах, деградирует, то вырабатывание новых и в некоторых случаях переоценка старых - залог развития. Критическое мышление ни в коем случае не может угрожать актуальным базовым общечеловеческим ценностям, поскольку оно их не опровергает, зато "идолов" прошлого безжалостно выбрасывает, что может пугать цепляющихся за этих идолов реакционеров. Примеры таких идолов - имевшие смысл в прошлом ограничения на секс, питание, хозяйственную, общественную и политическую деятельность, без которых земляне 21 века вполне обходятся, что однако внушает ужас в религиозных и околорелигиозных авторитетов, которые тут же начинают обвинять мир в "аморальности". Мир, однако, вполне себе без них обходится, утверждая новые принципы и сохраняя те из старых, которые работают. Это наглядно показали те же Маркс и Энгельс, которых автор, похоже, недолюбливает. Тем не менее факт налицо: мы живем в мире условностей, которые сами же для себя и создаем, причем большая часть из них лишняя, а остальные, наоборот, нужные.

    Утверждение, что якобы несколькими "простыми и понятными" законами можно создать "идеальное" общество, это никакой не рационализм, это фундаментализм, застывшее мракобесие, в статике разума нет, он в динамике. Так как "рацио" означает разум (открытый, здоровый, человеческий), применять этот термин к попыткам свести все к замкнутым автоматам - пожалуй, величайшая смысловая ошибка 20 века. Недостаток автомата не в его происхождении, а в его замкнутости на себя. Настоящий рационализм, философия Разума, это ни в коем случае не детерминизм и уж никак не иррациональное мракобесие, можно назвать его "рационализм 2.0", что подчеркивает динамичность и постоянную эволюцию этой философии.
    Ответить
    • vovannoviy > VX | 23.08.2011 | 09:01 Ответить
      И я присоединяюсь и благодарю за великолепный комментарий, тоже получил удовольствие от прочтения.
      Ответить
      • Vlad-mir > vovannoviy | 17.10.2011 | 14:44 Ответить
        Мне тоже понравился комментарий VX. Но,рассуждая о динамике интеллекта, его эволюции, он забывает, что его сознание, используя все тот же инструмент (логику) находится в замкнутой системе. Это система мышления, опирающаяся на теорию эволюции, как раз и ограничивает сознание, при чем, создавая иллюзию его развития, которая в реале оказывается ничем иным, как интеллектуальным фракталом. Вопрос лишь в том:"Почему чье-либо сознание выбирает для себя ту или иную систему аксиом?" А это не что иное, как вера. Т.е. источником сознания является вера,а логика, как инструмент сознания, оперируя аксиомами этой веры выстраивает логически связанные между собой множества.
        Причем говоря, что "мы живем в мире условностей, которые сами же для себя и создаем, причем большая часть из них лишняя, а остальные, наоборот, нужные", это прямое выражение своей беспомощности, так как в аксиомах такого мышления отсутствует понимание того почему "мы живем в мире условностей, которые сами же для себя и создаем".
        Ответить
    • Гёдель > VX | 18.06.2014 | 12:21 Ответить
      Для VX. "Квантовые и другие метафизические бредни не опровергают законы эволюции (как правило, иррационалисты не хотят происходить от животных, но это их проблемы), а опровергаются ими."
      Квантовая механика бредни? Да вы бредите. Бред на почве марксо-дарвиновского идиотизма для плебеев/люмпенов/чандалы. Пенроуз пишется с большой буквы.)
      Может расскажете о двущелевом эксперименте. Что об этом говорит убогий маркс...? )
      Ответить
  • pta.sistem  | 09.08.2010 | 21:21 Ответить
    Ответ на комментарий VX jn 08.01.2008:
    1.Пожалуй, единственно правильный и исчерпывающий комментарий.
    2.Действительно, и теорема Геделя и Ваш комментарий показывают условия превращения развивающейся Науки в догматическую застойную среду.Что неизбежно и происходит - до очередного "рождения" Нового.
    3.Поскольку все природные объекты, в том числе и Интеллект - открытые Системы, то и условия из взаимодействия постоянно изменяются и являются непрерывным процессом. И только условно, для определенных наблюдателей, эти объекты выделяются по избираемым самими наблюдателями признакам из процесса, в виде "объектов". Поэтому, в случае с Интеллектом, никаких ограничений для его совершенствования не существует, кроме: а)его внутренней динамичности; б)природной ограниченности бытия координаты его пребывания в Мироздании. На которую он, при всем желании, не в состоянии.
    4.Рад был увидеть подтверждение, может быть в чем-то крамольной своей мысли о коренном, пожалуй, даже цивилизационном, различии нашего общества от западного. Одним из классических свойств Западного мира является "запаздывающее осмысление" динамики движения - сначала, после получения какого-либо знания, бездумный - уже ж все ясно - рывок. До удара "мордой" об стенку. И только потом - стоп! - а почему? И следующий цикл - точно такой же.На том же самомнении - Мы самые - самые...!Жертвы? Так они же сами и виноваты - зато Прогресс!. Может меня слегка занесло... Все равно, благодарю Вас за редкое в наши дни удовольствие от прочитанного. Эдуард
    Ответить
  • hrenovina  | 07.05.2011 | 22:32 Ответить
    Любое проявление жизни и существования не терпит покоя покой есть не существование, не существование не требует ни множеств ни одиночеств теряется смысл, замысел и бесконечное число чисел.Поэтому не удивительно всё на поверхности и ничего невидно.Так будет всегда.Колейдоскоп предугадать не возможно.И заниматься сочетанием математики и морали...
    Судить по некотырым вещам о целом да нам это целое никогда и не откроется во всяком случае в зримом мире .А вот всеобщая любовь насущная жизненная необходимость.Совесть как её следствие.
    Ответить
  • crohodor  | 06.12.2012 | 02:14 Ответить
    Выскажу свои не основанные на серьезном знании философии соображения.
    1. Некоторые комментарии напоминают небезызвестный корчеватель.
    2. Логические парадоксы известны давно. "Все, что я сказал, - ложно."
    3. Только в математике логика явлляется основным средством получения новых знаний. В других областях интеллектуальной деятельности роль их обеих была вспомогательной. Здесь эмоции и интересы побеждали логику. Так язычник Аристотель был незыблемый авторитетом христианства много веков. Но его логику дополнили генетическим критерием истины. В Библии сказано... Наша родина возродила этот принцип.
    4. Попытка автора статьи применить теорему Геделя ко всему не может быть оправдана. Глубоко убежден в отсутствии детерминизма в органическом мире вообще и общественной жизни в частности, но не на основании теоремы Геделя.
    Частный парадаокс: До 1941 учебного года в курсе "Основания математики" студентам ХГУ не упоминали. Это не помешало выйти из его стен А.В.Погорелову.
    Ответить
  • crohodor  | 06.12.2012 | 02:19 Ответить
    Поправка. Не упоминали теоремы Геделя. !!
    Ответить
Написать комментарий
Элементы

© 2005-2017 «Элементы»