Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Методология науки
Избранное
Публичные лекции
Лекции для школьников
Библиотека «Династии»
Интервью
Опубликовано полностью
В популярных журналах
Из Книжного клуба
Статьи наших друзей
Статьи лауреатов «Династии»
Выставка
Происхождение жизни
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»



ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке
на Youtube
в Instagram



Новости науки

 
16.01
Описан новый надтип архей, к которому относятся предки эукариот

11.01
Многолетнее исследование черных ворон в Испании выявило преимущества коммунального гнездования

09.01
Эмоциональное восприятие музыки зависит от генов

05.01
Вставка генома вольбахии может приводить к развитию новой половой хромосомы у ее хозяев

04.01
Межгрупповые конфликты у шимпанзе связаны с повышенным уровнем окситоцина






Главная / Библиотека / Избранное версия для печати

Брайан Дэвис (Brian Davies),
профессор математики Лондонского Кингс Колледжа

Простые конечные группы

Третий кризис, о котором пойдет речь, также связан с излишней сложностью, но он в определенном смысле более серьезный. Поскольку ни о каком использовании компьютеров в данном случае речь не идет, здесь мы не можем отделаться заявлениями о недопустимости компьютерных доказательств в так называемой «чистой математике». Более того, пример, который я приведу, относится к одному из центральных разделов современной математики — к теории групп.

В 1970-е годы более сотни специалистов по теории групп образовали своеобразный консорциум, целью которого было представить полную классификацию простых конечных групп. Задача была поставлена крайне трудоемкая, и ее решение остается единственным примером использования «поточного метода» и «разделения труда» в чистой математике. Под общим руководством Даниэля Горенштейна проблема была разбита на «пакеты» задач, которые поручили различным группам математиков всего мира. Через десять лет интенсивной работы удалось составить полную классификацию всех простых конечных групп, состоящую из трех бесконечных счетных семейств и 26 так называемых спорадических групп с особыми свойствами. Существование спорадической группы с самым большим порядком, получившей прозвище «монстр», удалось доказать только при помощи компьютера. К счастью, кризис, разразившийся вокруг этой проблемы, можно обсуждать не вникая в детали классификации групп. Не обязательно даже вообще знать, что такое простая конечная группа.

В 1980-е годы случилось нечто не менее интересное, чем сама классификация групп. Сначала произошел внешне позитивный сдвиг: вроде бы удалось найти метод доказательства существования «монстра» без использования компьютера. Было решено объединить усилия различных групп математиков для проведения массированной проработки нащупанного доказательства, но вместо ожидаемого результата было выявлено множество пробелов в ранее принятых доказательствах. Большую часть дыр удалось залатать, но одна оказалась настолько серьезной, что заявления о том, что получена полная классификация простых конечных групп, были в 1990 году признаны преждевременными. Со временем этот пробел был заполнен доказательством Ашбахера и Смита, и опять тогда казалось, что доказательство вполне корректно [3]. Интересно, что из двадцати томов этого окончательного доказательства до сих опубликованы лишь неполные пять, и это спустя четверть века после того, как теорема была «доказана»; подробнее см. [3], [27]. Михаэль Ашбахер, один из самых заинтересованных участников проекта, не исключает, что в один прекрасный день может быть открыта новая простая конечная группа. Если ее характеристики окажутся родственными характеристикам какой-либо из известных групп, это еще не страшно. Однако Ашбахер не исключает и возможности открытия принципиально новой простой конечной группы, и тогда всю работу по их классификации можно начинать заново; см. [4]. Отметим также, что и Жан-Пьер Серр весьма скептически относится к полноте и корректности имеющегося доказательства [24].

Ашбахер считает доказательство «внешне достаточно крепким». Под этим он подразумевает, что выявленные недостатки пока что удавалось исправлять за счет умеренных объемов дополнительной работы, не затрагивая основной линии доказательства. К сожалению, это не означает, что доказательство корректно. Сила любого доказательства определяется слабейшим из его звеньев, и тот факт, что до сегодняшнего дня выпадавшие звенья удавалось относительно безболезненно заменять новыми, не гарантирует, что это будет раз за разом удаваться и в дальнейшем. Если представить себе такое доказательство в виде сети, в которой разрыв отдельных нитей не угрожает целостности всей сети, то нельзя исключить, что где-то в этой сети осталась дыра, достаточно большая для того, чтобы муха смогла через нее проползти. Подавляющее большинство мух (в нашем случае — простых конечных групп) поймано, но не обязательно все.

Сама идея сравнения математических знаний с паутиной взаимосвязанных фактов снижает роль линейной логики и переводит вопрос математического доказательства в вероятностную плоскость, что неизбежно ведет к излишней структурной сложности. Эта идея не нова, но сами математики обратились к ней сравнительно недавно. Подобную аналогию приводит, в частности, Ашбахер [4], проводя параллель между современной математикой и биологией как информационно емкой наукой, изобилующей различными способами организации данных, по контрасту с «классической математикой».

Что касается завершения проекта окончательной классификации конечных групп (в смысле публикации исчерпывающего итогового доклада), то оно находится под угрозой срыва в связи с выбытием из строя ведущих участников в силу естественных возрастных причин. Еще лет десять, и большинство из них уйдет из жизни или из математики, и останется слишком мало ученых, достаточно глубоко понимающих проблему, чтобы завершить классификацию. Но даже если проект увенчается исчерпывающим итоговым докладом, в мире, наверное, не найдется и десяти математиков, которые будут вправе утверждать, что они понимают хотя бы основные линии многотомного доказательства.

Итак, мы пришли к следующей ситуации. Решение задачи, формулируемой в нескольких предложениях, занимает десятки тысяч страниц текста. Доказательство целиком и последовательно не записано, скорее всего записано никогда не будет и, наконец, не может быть полностью понято ни одним отдельно взятым индивидом. Полученные результаты, тем не менее, важны и широко используются при решении различных задач в рамках теории групп, при этом их корректность остается под большим вопросом.

Не исключено, конечно, что в один прекрасный день найдется более простой подход к решению проблемы классификации групп; но точно так же не исключено, что этого не произойдет. Ашбахер скептически относится к возможности существования относительно простого доказательства, учитывая тот факт, что оцениваемая общая длина (всё еще не записанного) имеющегося доказательства за прошедшие четверть века нисколько не сократилась. Из работы Тьюринга следует, что существуют теоремы, доказательство которых во много раз длиннее их формулировки: фактически, соотношение этих двух длин может быть произвольно большим. Коэн считает, что «подавляющее большинство даже элементарных вопросов теории чисел средней сложности выходят за рамки разумного понимания» [13]. Так что в будущем приходится ожидать лишь новых открытий подобного рода.


Комментарии (31)


 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия