1. Формулировка парадокса Зенона

Ахиллес бежит за черепахой. Изначально между ними было некое определенное расстояние.
Когда Ахиллес добегает до места, где находилась черепаха, она успевает переместиться на какое-то расстояние. Когда Ахиллес преодолевает и это расстояние, черепаха снова отползает от того места, где была раньше и так до бесконечности. Отсюда делается вывод, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

P.S. Скорость у Ахиллеса больше, чем у черепахи. И обе скорости не изменяются.

Переведем этот парадокс на математический язык и убедимся в обратном.

Пусть начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой равно , а скорости Ахиллеса и черепахи соответственно и .

За время , которое Ахиллес преодолевает расстояние



черепаха отползет на расстояние :




Когда за время Ахиллес преодолевает и это расстояние



черепаха снова отползает и между ними расстояние будет :




Таким образом, на i-шаге за время , которое Ахиллес преодолевает расстояние между ним и черепахой



черепаха отползает на расстояние :



В парадоксе утверждается, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, т.е. что сумма промежутков времени



бесконечна, т.е.


2. Решение парадокса

Сначала найдем обычным способом время T, за которое Ахиллес догонит черепаху.
Расстояние, которое преодолеет Ахиллес, догнавший черепаху, больше расстояния, которое за это время пройдет черепаха, на :

, откуда




Теперь преобразуем полученный ранее ряд (1) следующим образом:






Остается доказать, что ряд



где , сходится и его сумма, с учетом (2), равна:



Думаю, это несложно сделать :)

А значит, утверждение парадокса о том, что Ахиллес никогда не догонит черепаху (что сумма данного ряда бесконечна) - ложно.

Видимость парадокса здесь создается тем, что конечный интервал (времени, пространства) может быть представлен бесконечной суммой меньших интервалов.
Время сложения бесконечного ряда - бесконечно.
Время, как сумма бесконечного ряда - конечно.


Таким образом, никакие пределы точности измерений для решения парадокса Зенона не требуются.